【数学】2021届一轮复习人教A版高考备考：高中数学易错点80个学案

【数学】2021届一轮复习人教A版高考备考：高中数学易错点80个学案

高中数学易错点梳理附详细解析 ‎ 数学(精品课)中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。下面总结了高考复习中的高中数学易错点分析梳理，希望同学们在今后的学习中引以为戒，对这些列出来的易错点别中招了。‎ 一、集合与简易逻辑 易错点1 对集合表示方法理解存在偏差 ‎【问题】1: 已知，求。‎ 错解：‎ 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。‎ 正确结果：‎ ‎【问题】2: 已知，求。‎ 错解： ‎ 正确答案：‎ 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为为点集。‎ 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。‎ 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集 ‎【问题】: 已知，且，求 的取值范围。‎ 错解：[-1，0）‎ 剖析：忽视的情况。‎ 正确答案：[-1，2]‎ 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合就有可能忽视了，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。‎ 易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性 ‎【问题】: 已知1∈{,, }，求实数的值。‎ 错解： ‎ 剖析：忽视元素的互异性，其实当时，==1；当时， ==1；均不符合题意。‎ 正确答案：‎ 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。‎ 易错点4 命题的否定与否命题关系不明 ‎【问题】: 写出“若，则”的否命题。‎ 错解一：否命题为“若，则”‎ 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。‎ 错解二：否命题为“若，则”‎ 剖析：知识不完整，的否定形式应为。‎ 正确答案：若，则 反思：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误①概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；②审题不够细心。‎ 易错点5 充分必要条件颠倒出错 ‎【问题】:已知是实数，则“且”是“且”的 ‎ A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 错解：选B 剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。‎ 正确答案：C 反思：对于两个条件，如果，则是的充分条件，是的必要条件，如果，则是的充要条件。判断充要条件常用的方法有①定义法；②集合法；③等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明。‎ 易错点6 对逻辑联结词及其真值表理解不准 ‎【问题】: 命题p：若a、b∈R，则是的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞，则 ‎ A“”为假 B“”为真 C D ‎ 错解一：选或 ‎ 剖析：对真值表记忆不准，本题中，因此“”为真，而“”为假。‎ 错法二：选 ‎ 剖析：基础不牢，在判断命题真假时出错。‎ 正确答案：D 反思：含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：‎ ‎“”——有真则真；“”——有假则假；“”——真假相反。‎ 易错点7 否定全称、特称命题出错 ‎【问题】写出下列命题的否定：‎ ① ‎：对任意的正整数x, ；‎ ② q：存在一个三角形，它的内角和大于；‎ ③ r:三角形只有一个外接圆。‎ 错解：①：对任意的正整数x, ；‎ ‎②：所有的三角形的内角和小于；‎ ③存在一个三角形有且只有一个外接圆。‎ 剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。‎ 正确答案：①：存在正整数x, 使；‎ ‎②：所有的三角形的内角和都不大于；‎ ③存在一个三角形至少有两个外接圆。‎ 反思：全称命题，它的否定，特称命题，它的否定。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论，而且还要对量词“”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。‎ 二、函数与导数 易错点8 求函数定义域时条件考虑不充分 ‎【问题】: 求函数y=+的定义域。‎ 错解：[-3，1] ‎ 剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为=1对任意实数成立。‎ 正确答案：‎ 反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③对数的真数大于零；④零的零次幂没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集。‎ 易错点9 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”‎ ‎【问题】已知函数求函数的值域。‎ 错解：设，，，，。‎ 剖析：知识欠缺，求函数定义域时，应考虑.‎ 正确答案：‎ 反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：‎ ‎①若已知的定义域为,其复合函数的定义域可由不等式解出即可；②若已知的定义域为 ,求的定义域，相当于x∈[a,b]时，求的值域（即 的定义域）。‎ 易错点分析10 判断函数奇偶性时忽视定义域 ‎【问题】1: 判断函数的奇偶性。‎ 错解：原函数即，∴为奇函数 ‎ 剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。‎ 正确答案：非奇非偶函数。‎ ‎【问题】2: 判断函数的奇偶性。‎ 错解：，∴为偶函数 ‎ 剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。‎ 正确答案：既奇且偶函数。‎ 反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x都有，则为奇函数；如果对定义域内任意x都有，则为偶函数，如果对定义域内存在使，则不是奇函数；如果对定义域内存在使，则不是偶函数。‎ 易错点11 求复合函数单调区间时忽视定义域 ‎【问题】: 求函数的增区间。‎ 错解一：∵外层函数为减函数，内层函数减区间为，∴原函数增区间为。‎ 剖析：基础不牢，忽视定义域问题 错解二：∵，函数定义域为，又内层函数在 为增函数，在为减函数，∴原函数增区间为。‎ 剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。‎ 正确答案：‎ 反思：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。‎ 易错点12 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论 ‎【问题】: 函数的图象与轴只有一个交点，求实数m的取值范围。‎ 错解：由解得 ‎ 剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑的情况。‎ 正确答案：‎ 反思：在二次型函数中，当时为二次函数，其图象为抛物线；当时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：‎ 解集为 解集为 易错点13 用函数图象解题时作图不准 ‎【问题】: 求函数的图象与直线的交点个数。‎ 错解：两个 ‎ 剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。‎ 正确答案：三个 反思：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。‎ 易错点14 忽视转化的等价性 ‎【问题】1: 已知方程有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数m的取值范围。‎ 错解：∵方程有且只有一个根在区间（0，1）内，∴函数的图象与轴在（0，1）内有且只有一个交点，∴，解得 ‎ 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到△=0情况。‎ 正确答案：m<2且m=9/4 ‎ ‎【问题】2:函数的图象大致是（ ） ‎ 剖析：①在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。‎ ‎②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。‎ 正确答案：D 反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。‎ 易错点15 分段函数问题 ‎【问题】1:.已知是R上的增函数，求a的取值范围。‎ 错解： ‎ 剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视在分界点附近函数值大小关系。‎ 正确答案：‎ ‎【问题】2:设函数，求关于x的方程解的个数。‎ 错解：两个 剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程分两种情况来解。‎ 正确答案：三个 反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。‎ 易错点16 函数零点定理使用不当 ‎ ‎【问题】若函数在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线，且在（-2,2）内有一个零点，则f(-2)·f(2)的值 （ ）‎ ‎ A 大于0 B 小于0 C 等于0 D 不能确定 错解：由函数零点存在定理知，f(-2)·f(2)<0，故选B 剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则f(-2)·f(2)<0，否则f(-2)·f(2)≥0.‎ 正确答案：D 反思：函数零点定理是指如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。‎ 易错点17 混淆两类切线的概念 ‎【问题】: 若直线y = kx与曲线相切试求k的值。（提示y=kx即过原点的切线） ‎ 错解：，∴斜率， ‎ 剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。‎ 正确答案：‎ 反思：曲线在点P处的切线”P为切点且P在曲线上，而“过点P的切线”仅能说明点P在曲线的切线上。‎ 易错点18 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系 ‎【问题】:函数在x=1处有极值10，求的值。‎ 错解：由解得 剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把为极值的必要条件当作充要条件。‎ 正确答案：a=4,b=-11‎ 反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是两侧异号。。‎ 易错点19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 ‎【问题】:若函数在上为减函数，求实数的取值范围。‎ 错解：由在上恒成立，∴ ，解得 ‎ 剖析：概念模糊，错把在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上时满足题意。‎ 正确答案：‎ 反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。‎ 易错点20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 ‎【问题】: 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有可能的是______.‎ 错解：选 ‎ 剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于，且两边值符号相反，故0和2为极值点；又因为当时，，当时，，所以函数在上为增函数，在上为减函数。‎ 正确答案：C 反思：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。‎ 易错点21求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。‎ 例是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数 剖析：求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。‎ 解析：（1）利用（或）求得a=1.‎ ‎（2）由即，设,则由于故，，而所以 反思：（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。‎ ‎（2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。‎ ‎【练3】函数的反函数是（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、 ‎ 答案：B 三、数列 易错点22 由求时忽略对“”检验 ‎【问题】:已知数列｛｝的前n 项和，求。‎ 错解：由解得 ‎ 剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了成立的条件n≥2，实际上当n=1时就出现了S0，而S0是无意义的，所以使用求，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个表示，尚需检验。‎ 正确答案：‎ 反思：在数列问题中，数列的通项与其前n 项和之间关系如下，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛｝的与关系时，先令求出首项，然后令求出通项，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令求出通项，也不对进行检验。‎ 易错点23 忽视两个“中项”的区别 ‎【问题】: 是成等比数列的 （ ）‎ A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分有不必要条件 错解： C ‎ 剖析：思维不缜密，没有注意到当 时，可能为0。‎ 正确答案：B 反思：若成等比数列，则为和的等比中项。由定义可知只有同号的两数才有等比中项， “”仅是“为和的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。‎ 易错点24在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。‎ ‎【问题】已知数列是等差数列，且 ‎（1）求数列的通项公式（2）令求数列前项和的公式。‎ 剖析：本题根据条件确定数列的通项公式再由数列的通项公式分析可知数列是一个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。‎ 解析：（1）易求得 ‎（2）由（1）得令（Ⅰ）则（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）（注意错过一位再相减）得当当时 综上可得：‎ 当当时 反思：一般情况下对于数列有其中数列和分别为等差数列和等比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。‎ ‎【练】已知当时，求数列的前n项和 答案：时当时.‎ 易错点25:不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。‎ 例、求…．‎ 剖析：本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。‎ 解：由等差数列的前项和公式得，∴，取，，，…，就分别得到，…，∴‎ ‎．‎ 反思：“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求，方法还是抓通项，即，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，如：，求其前项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。‎ ‎【练】求和＋＋＋…＋．‎ 答案：…＝‎ 易错点26 等比数列求和时忽视对讨论 ‎【问题】:在等比数列｛｝中，为其前n 项和，且，求它的公比q。‎ 错解： ，解得 ‎ 剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q是否等于1进行讨论，导致失误。‎ 正确答案：‎ 反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0，等比数列的其前n项和为分段函数，其中当q=1时，。而这一点正是我们解题中被忽略的。‎ 易错点27 用错了等差、等比数列的相关公式与性质 ‎【问题】:已知等差数列｛｝的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和。‎ 错解一：170 ‎ 剖析：基础不实，记错性质，误以为成等差数列。‎ 错解二：130 ‎ 剖析：基础不实，误以为满足。‎ 正确答案：210‎ 反思：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。‎ 易错点28 用错位相减法求和时项数处理不当 ‎【问题】:求和。‎ 剖析：①考虑不全面，未对进行讨论，丢掉时的情形。 ‎ ‎②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。‎ ‎③将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。‎ 正确答案：‎ 反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一项；②一个等比数列的前n-1项和；③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共项，有时只有项。另外，如果公比为字母需分类讨论。‎ 易错点29利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）‎ ‎【问题】等差数列的首项，前n项和，当时，。问n为何值时最大?‎ 剖析：等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。‎ 解析：由题意知=此函数是以n为变量的二次函数，因为，当时，故即此二次函数开口向下，故由得当时 取得最大值，但由于，故若为偶数，当时，最大。‎ 当为奇数时，当时最大。‎ 反思：数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由知数列中的点是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如前n项和所对应的数列必为一等比数列的前n项和。‎ ‎【练】 设是等差数列，是前n项和，且，，则下列结论错误的是（）‎ A、 B、 C、 D、和均为的最大值。‎ 答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）‎ 易错点30解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。‎ ‎【问题】已知关于的方程和的四个根组成首项为的等差数列，求的值。‎ 剖析：注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。‎ 解析：不妨设是方程的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程的另一根是此等差数列的第四项，而方程的两根是等差数列的中间两项，根据等差数列知识易知此等差数列为：故从而=。‎ 反思：等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列，若，则；对于等比数列，若，则；若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列；若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列等性质要熟练和灵活应用。‎ ‎【练14】已知方程和的四个根组成一个首项为的等差数列，则=（） A、1 B、 C、 D、‎ 答案：C 易错点31 数列中的最值错误 ‎【问题】:在等差数列｛｝中，，，求此数列的前几项和最大。‎ 剖析：①解题不细心，在用等差数列前n和求解时，解得n=12.5，误认为n=12.5。‎ ‎②考虑不全面，在用等差数列性质求解得出=0时，误认为只有最大。‎ 正确答案：‎ 反思：数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，有时即使考虑了n为正整数，但对于n为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。‎ 四、三角函数 易错点32 求解时忽略角的范围 ‎【问题】1: 在中，=,=，求，的值。‎ 错解：cosA=±，sinB=±‎ 剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。‎ 正确答案：cosA=，sinB=‎ ‎【问题】2: 在中，为锐角，且，求的值。‎ 错解： 先求出sin()=，∵，∴‎ 剖析：知识残缺，由于为锐角，所以。又由于正弦函数在上不是单调函数，所以本题不宜求sin()，宜改求cos()或tan()。‎ 正确答案：‎ ‎【问题】1: 在中，已知a=,b=,B=,求角A 错解：用正弦定理求得，∴‎ 剖析：基础不牢，忽视隐含条件出错。‎ 正确答案：‎ 反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。‎ 易错点33 求关于最值时忽视正、余弦函数值域 ‎【问题】:已知，求的最大值。‎ 错解：令，得，通过配方、作图解得的最大值为 剖析：本题虽注意到的值域，但未考虑到与相互制约，即由于-1≤siny≤1，‎ ‎∴必须同时满足。‎ 正确答案：‎ 反思：求关于最值的常规方法是通过令（或cosx）将三角函数的最值问题转化为关于的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。‎ 易错点34 三角函数单调性判断错误 ‎【问题】:已知函数y=cos(-2x)，求它的单调减区间。‎ 错解： ≤-2x≤‎ 剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。应化成y=cos(2x-)求解 正确答案：‎ 反思：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。‎ 易错点35 图象变换的方向把握不准 ‎【问题】: 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A向右平移个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位 错解一：C ‎ 剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。‎ 错解二：D ‎ 剖析：基础不牢，弄错了平移方向。‎ 正确答案：A 反思：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，‎ 平移的量为。‎ 易错点36没有挖掘题目中的确隐含条件，忽视对角的范围的限制而造成增解现象。‎ 例、已知，求的值。‎ 剖析：本题可依据条件，利用可解得的值，再通过解方程组的方法即可解得、的值。但在解题过程中易忽视这个隐含条件来确定角范围，主观认为的值可正可负从而造成增解。‎ 解析：据已知（1）有，又由于，故有，从而即（2）联立（1）（2）可得，可得。‎ 反思：在三角函数的化简求值过程中，角的范围的确定一直是其重点和难点，在解题过程中要注意在已有条件的基础上挖掘隐含条件如：结合角的三角函数值的符号、三角形中各内角均在区间内、与已知角的三角函数值的大小比较结合三角函数的单调性等。本题中实际上由单位圆中的三角函数线可知若则必有,故必有。‎ ‎【练】已知，则的值是 。‎ 答案：‎ 易错点37 由图象求函数解析式忽略细节 ‎【问题】：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数.‎ ‎(1)求这段时间的最大温差. ‎ ‎(2)写出这段曲线的函数解析式。‎ 剖析：解此类题前两步一般不会错。但在求时，多数学生由于点的位置取得不当，致使求得的值不好取舍。‎ 正确答案：（1） （2）‎ 反思：由三角函数图象求（）的解析式一般分三个步骤：①由函数的最大（小）值求振幅；②由函数的周期求；③由曲线上的最高（最低）点求初相的一般解，但有范围限制时一定要注意在指定的范围内求解。‎ 易错点38:对正弦型函数及余弦型函数的性质：如图象、对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。‎ 例、如果函数的图象关于直线对称，那么a等于（ ）‎ A. B.－ C.1 D.－1‎ 剖析：数的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y轴平行，而对称中心是图象与x轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当时，y=0，导致解答出错。‎ 解析：（法一）函数的解析式可化为，故的最大值为，依题意，直线是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即 ‎，解得.故选D ‎（法二）依题意函数为,直线是函数的对称轴,故有，即：，而 故，从而故选D.‎ ‎（法三）若函数关于直线是函数的对称则必有，代入即得。‎ 反思：对于正弦型函数及余弦型函数它们有无穷多条对称轴及无数多个对称中心，它们的意义是分别使得函数取得最值的x值和使得函数值为零的x值，这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。‎ ‎【练】（1）已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和ω的值.‎ 答案：或。‎ ‎（2设函数的，图象的一条对称轴是直线，求 答案：=‎ 易错点39利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。‎ 例、在中，。求的面积 剖析：【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角C，则相应的三角形内角A即可确定再利用即可求得。但由于正弦函数在区间内不严格格单调所以满足条件的角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。‎ 解析：根据正弦定理知：即得，由于即满足条件的三角形有两个故或.则或故相应的三角形面积为或.‎ 反思：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在中，已知a,b和A解的情况如下：‎ （1） 当A为锐角 ‎（2）若A为直角或钝角 ‎【练】如果满足，，的三角表恰有一个那么k的取值范围是（ ）‎ A、 B、 C、 D、或 答案：D 五、平面向量 易错点40 概念模糊 ‎【问题】：下列五个命题：‎ ① 向量与共线，则P1、P2、O、A必在同一条直线上；‎ ② 如果向量与平行，则与方向相同或相反；‎ ③ 四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是=；‎ ④ 若∣∣=∣∣，则、的长度相等且方向相同或相反；‎ ⑤ 由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。‎ 其中正确的命题有______个。‎ 错解：选①错，向量与共线，则直线P1P2与直线OA可能平行；选②错，若为零向量，则命题不正确；选③错，=则四点P1，P2，O，A可能共线；选④错，∣∣=∣∣，只能说明、的长度相等但确定不了方向；选⑤错；零向量与任何向量平行。‎ 正确答案：0‎ 反思：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。在复习时不仅要理解这些概念，而且还要掌握向量与实数、向量运算与实数运算异同点。‎ 易错点41 忽视平面向量基本定理的成立条件 ‎【问题】：下列各组向量中，可以作为基底的是 ‎①=（0，0），=（1，-2）; ②=（-1，2），=（5，7）;‎ ‎③=（3，5），=（6，10）; ④=（2，-3），=（4，-6）;‎ 错解：选①或③或④‎ 正确答案：②‎ 剖析：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。‎ 反思：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。‎ 易错点42向量与解三角形的交汇。‎ 例、ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3＋4＋5=。①求数量积，·，·，·；②求ΔABC的面积。‎ 剖析：第1由题意可知3、4、5三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。‎ 解析：①∵||=||=||=1由3＋4＋5=得：3＋4=－5两边平方得：92＋24·＋162=252∴·=0同理：由4＋5=－3求得·=－由3＋5=－4求得·=－ ‎②由·=0,故=||||=由·=－得cos∠BOC=－ ∴sin∠BOC=－∴=||||sin∠BOC=，由·=－得cos∠COA=－∴sin∠COA=∴=||||sin∠COA=即=＋＋=＋＋= ‎【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。‎ ‎【练40】（1）△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且cosB＝。（1）求cotA+cotC的值；（2）设，求的值。‎ 答案：（1）（3）。‎ ‎（2）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且·=－2，①求向量；‎ ‎②若，其中A、C是△ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|+|的取值范围.答案：①或②‎ 易错点43解析几何与向量的数量积的性质如涉及模、夹角等的结合。‎ 例、已知椭圆C：上动点到定点,其中的距离的最小值为1.（1）请确定M点的坐标（2）试问是否存在经过M点的直线,使与椭圆C的两个交点A、B满足条件（O为原点）,若存在,求出的方程,若不存在请说是理由。‎ 剖析：此题解题关键是由条件知从而将条件转化点的坐标运算再结合韦达定理解答。‎ 解析：设，由得故由于且故当时，的最小值为此时，当时，取得最小值为解得不合题意舍去。综上所知当是满足题意此时M的坐标为（1，0）。‎ ‎（2）由题意知条件等价于，当的斜率不存在时，与C的交点为，此时，设的方程为，代入椭圆方程整理得，由于点M在椭圆内部故恒成立，由知即，据韦达定理得，代入上式得得不合题意。综上知这样的直线不存在。‎ 反思：在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标运算，从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式。此题解答具有很强的示范性，请同学们认真体会、融会贯通。‎ ‎【练】已知椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，以右焦点为圆心，过另一焦点的圆被右准线截的两段弧长之比2:1,为此平面上一定点，且.（1）求椭圆的方程（2）若直线与椭圆交于如图两点A、B，令。求函数的值域答案：（1）（2）‎ 易错点44 忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别 ‎【问题】：已知向量的夹角为钝角，求实数x的取值范围为 错解： ‎ 剖析：概念模糊，错误地认为为钝角 正确答案：‎ 反思：为钝角不共线 ‎ 六、不等式 易错点45不等式性质应用不当 ‎【问题】：已知，<β<，求函的取值范围。‎ 错解： ∵，<β<，∴，∴‎ 剖析：套用错误，不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减。‎ 正确答案：‎ 反思：不等式基本性质是不等式的基础，有些性质是条件不等式，在使用这些性质解题时，务必要检验成立条件，不能想当然套用，忽视了就会出错。‎ 易错点36 忽视等号同时成立的条件，扩大了范围 ‎【问题】：已知函数，且，求的取值范围。‎ 错解：先由求出a，b的范围，再用不等式性质求出的范围为[5，10]。‎ 剖析：知识残缺，多次使用同向相加性质，从而扩大了取值范围。‎ 正确答案：利用待定系数法或线性规划求解，的范围为[5，10]。‎ 反思：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式。‎ 易错点46 去分母时没有判断分母的符号 ‎【问题】：解不等式 错解：∵， ∴，解得 ‎ 剖析：基础不实，没有考虑分母的符号，直接去分母，应对进行分类讨论，或用数轴标根法求解。‎ 正确答案：‎ 反思：解分式不等式的依据是分式的基本性质a>b,c>0a c >b c；a >b,c<0a c 0时，动直线 在y轴上的截距越大，目标函数值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当B<0时，动直线在y轴上截距越大，目标函数值越小，截距越小，目标函数值越大。其中的系数的符号是解题的关键，也是同学们经常忽略的地方。‎ 七、立体几何 易错点50 不会将三视图还原为几何体 ‎【问题】：若某空间几何体的三视图如图所示，‎ 求该几何体的体积。‎ 错解： 如图该几何体是底面为边长正方形，高为1‎ 的棱柱，∴该几何体的体积为 剖析：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。‎ 正确答案：V=1‎ 反思：在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。‎ 易错点51 对斜二测法规则掌握不牢 ‎【问题】：已知的平面直观图△是边长为的正三角形，求的面积。‎ 剖析：①对用斜二测法画平面图形的直观图不熟悉；②不会将直观图还原成实际图形；‎ ‎③对一些等量关系不清楚。‎ 正确答案：‎ 反思：由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半。对此考生常见的错误有①不会建新坐标系，②不会用“倒过去”的方法还原几何体，③“位置规则”和“长度规则”不清楚。‎ 易错点52二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。‎ 例、 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1＝A1C1＝a，E为BB1的中点，若截面A1EC⊥侧面AC1．求截面A1EC与底面A1B1C1所成锐二面角度数．‎ ‎　解法1 ∵截面A1EC∩侧面AC1＝A1C．连结AC1，在正三棱ABC－A1B1C1中，‎ ‎　　‎ ‎　　∵截面A1EC⊥侧面AC1，‎ 数就是所求二面角的度数．易得∠A1AC1＝45°，故所求二面角的度数是45°．‎ ‎　解法2 如图3所示，延长CE与C1B1交于点F，连结AF，则截面A1EC∩面A1B1C＝AF．‎ ‎∵EB1⊥面A1B1C1，∴过B1作B1G⊥A1F交A1F于点G，‎ 连接EG，由三垂线定理知∠EGB1就是所求二面角的平面角．‎ ‎　　‎ ‎　　即所求二面角的度数为45°．‎ 反思二面角平面角的作法：（1）垂面法：是指根据平面角的定义，作垂直于棱的平面，通过这个平面和二面角两个面的交线得出平面角。（2）垂线法：是指在二面角的棱上取一特殊点，过此点在二面角的两个半平面内作两条射线垂直于棱，则此两条射线所成的角即为二面角的平面角；（3）三垂线法：是指利用三垂线定理或逆定理作出平面角；‎ ‎【练】如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，侧棱长为2，底面△ABC中，‎ ‎∠B=90°，AB=1，BC=，D是侧棱CC1上一点，且BD与底面所成角为30°.‎ ‎（1）求点D到AB所在直线的距离. （2）求二面角A1－BD－B1的度数.‎ 解析：①∵CC1⊥面ABC， ∠B=90°，∴DB⊥AB，‎ ‎ ∴DB的长是点D到AB所在直线的距离，‎ ‎∠DBC是BD与底面所成的角，即∠DBC=30°，‎ ‎∵BC=， ∴BD==2 .‎ ‎ ②过B1作B1E⊥BD于E，连A1E，∵BB1⊥AB，AB⊥BC，且BB1∩BC=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵A1B1∥AB，∴A1B1⊥平面BCC1B1，∵B1E⊥BD，∴A1E⊥BD，即∠A1EB1是面A1BD与面BDC1B1所成二面角的平面角. 连 B1D . ∵BC=‎ ‎，BD=2，∴CD=1 .∵CC1=2，∴D为CC1的中点 ∴S△BDB1=SBCC1B1 ∴B1E·BD=BC·CC1 即 B1E·2=·2∴B1E=在Rt△A1B1E中，‎ tan∠A1EB1=‎ 易错点53 空间点、线、面位置关系不清 ‎【问题】：给定下列四个命题： ‎ ‎①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ‎ ‎②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ‎ ‎③垂直于同一直线的两条直线相互平行；. ‎ ‎④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. ‎ 其中为真命题的是 ‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ ‎ 错解：A 剖析：①空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断；‎ ‎②空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。‎ 正确答案：D 反思：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。‎ 易错点54 平行关系定理使用不当 ‎【问题】：正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且，给出下列四个命题：（1）；（2）C1Q // 面APC；（3）A，P，M三点共线；（4）面MNP // 面APC.正确序号为（ ）‎ A、（1）（2） B、（1）（4） C、（2）（3） D、（3）（4）‎ 错解：A、B、D 剖析：空间线面关系模糊，定理不熟悉，未能推出MN在平面APC内而导致错误。‎ 正确答案：C 反思：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理的应用条件。如在证明直线a//平面α时，不能忽略直线a在平面α外。证明有关线线，线面，面面平行时使用定理应注意找足条件，书写规范，推理严谨。‎ 易错点55 　垂直关系定理使用不当 ‎【问题】：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥‎ AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB= 4AN，M、S分别为PB、BC的中点。‎ ‎①证明：CM⊥SN；‎ ‎②求SN与平面CMN所成角的大小.‎ 剖析：①在利用线面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时，‎ 只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两 条直线是否相交，不符合定理的条件；②在求线面角时，没有 说明找角的过程。‎ 反思：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。‎ 易错点56 利用空间向量求线面角几种常见错误 ‎【问题】：如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 ,若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的余弦值。 ‎ 剖析：本题在求得平面DCEF的一个法向量=（0，0，2）及 ‎=(－1,1,2)后，可得cos<,> =·‎ 可能出现的错误为：;‎ 正确答案：‎ 反思：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。‎ 易错57 二面角概念模糊 ‎【问题】： 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点在侧棱上，。 ‎ ‎①证明：是侧棱的中点；‎ ‎②求二面角的余弦值。 ‎ 剖析：本题在求得平面、的法向量=(，1，1)，=(，0，2)后，然后计算出cos=；接着可能错误地以为二面角余弦值为，其实本题中的二面角是钝角，仅为其补角。‎ 正确答案：‎ 反思：若两个平面的法向量分别为，，若两个平面所成的锐二面角为，则；若两个平面所成二面角为钝角，则。总之，在解此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。‎ 利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有①不会将空间问题转化为向量问题；②不会建系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使用定理出错，⑤书写不规范。‎ 八、解析几何 易错点58 倾斜角与斜率关系不明 ‎【问题】：下列命题正确的为_______________。‎ ‎①任何一条直线都有倾斜角，都有斜率；②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；‎ ‎③平行于x轴的直线，倾斜角为00或1800；‎ ‎④平行于y轴的直线，斜率不存在，所以倾斜角不存在；‎ 剖析：知识残缺，概念模糊。‎ 正确答案：无选项 反思：倾斜角和斜率分别从不同角度反映了直线的倾斜程度，但二者也有区别，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。解此类题常见错误有①弄错直线倾斜角的范围；②当直线与x轴平行或重合时，误认为倾斜角为00或1800；③不了解倾斜角与斜率关系。‎ 易错点58 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在 ‎【问题】：已知直线1: a x+2y+6=0和2: x+（a -1）y + a2-1=0，‎ ① 试判断1与2是否平行；②当1⊥2时，求a的值。‎ 剖析：本题中的直线为一般式，宜用②中的等价关系求解，如果用①中的等价关系求解，一定要考虑斜率不存在的情况。‎ 正确答案：（1） （2）‎ 反思：在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有两种：‎ ① 若直线1: ，2: ，则有 ‎1与2相交； 1∥2 ，且b1≠b2； 1⊥2 ‎ ‎②若直线，，则有1与2相交；‎ ‎1∥2；1⊥2 ‎ 两种方法各有优缺点，方法①简便易行，但仅适用于斜率存在的直线，方法②适用于任意的直线，但运算量较大。考生经常出错的是：用方法①但忽视对斜率的讨论。‎ 易错点59 平行线间的距离公式使用不当 ‎【问题】：求两条平行线1: 和2: 间的距离。‎ 错解：‎ ‎∴直线1与2的距离为2或1‎ 剖析：技能不熟，求两条平行线间的距离时，没有把x、y的系数化成相同。‎ 正确答案：‎ 反思：两条平行线之间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。若直线1: A x+By+C1=0和2: A x+By+C2=0(C1≠C2)，则直线1与2的距离为。常见的错误是忽视判断两直线中x、y系数是否相等。‎ 易错点60 误解“截距”和“距离”的关系 ‎【问题】：若直线与抛物线（y－1）2＝x －1在x轴上的截距相等，求a的值。‎ 错解：直线在x轴上的截距为，抛物线（y－1）2＝x －1在x轴上的截距为2，∴,解得a=±1 ‎ 剖析：概念模糊，错把截距当成距离。‎ 正确答案：a=－1‎ 反思：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。‎ 易错点61 忽视直线点斜式和斜截式方程适用范围 ‎【问题】：求过点（2，1）和（a，2）的直线方程。‎ 错解：先求出斜率，故所求直线方程为y－1=（x－2）‎ 剖析：知识残缺，未考虑k不存在的情况。‎ 正确答案：当a=2时，直线方程为x=2,当时，直线方程为y－1=（x－2）‎ 反思：点斜式和斜截式是两种常见的直线方程形式，应用非常广泛，但它们仅适用于斜率存在的直线。解题时一定要验证斜率是否存在，若情况不明，一定要对斜率分类讨论。‎ 易错点62 忽视直线截距式方程适用范围 ‎【问题】：直线经过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等，求直线方程。‎ 错解：设直线方程为（a≠0），将点P代入得a=5，∴的方程为x+y-5=0‎ 剖析：知识残缺，不了解截距式方程适用范围，漏掉直线过原点的情况。‎ 正确答案：x+y-5=0或3x-2y=0‎ 反思：直线的截距式方程为( ab≠0)， a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距。其适用范围为①不经过原点，②不与坐标轴垂直。‎ 易错点63 忽视圆的一般式方程成立条件 ‎【问题】：已知圆的方程为，过作圆的切线有两条，求a的取值范围。‎ 错解：∵过作圆的切线有两条，∴点A在圆外，∴, ∴ ‎ 剖析：技能不熟，忽视圆的一般式方程的充要条件。‎ 正确答案：‎ 反思：在关于x、y的二元二次方程中，当，表示一个圆；当时，表示一个点；当时，不表示任何图形。仅仅是曲线为圆的一个必要不充分条件，在判断曲线类型时，判断的符号至关重要，这也是考生易错点之一。‎ 易错点64 忽视圆锥曲线定义中的限制条件 ‎【问题】1：已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 ‎ A B C D ‎ 错解：或 剖析：概念模糊，由于|F1F2|=6，所以A选项无轨迹，B选项的轨迹为线段。‎ 正确答案：C ‎【问题】2：说出方程表示的曲线。‎ 错解：双曲线 剖析：知识不全，表示动点到定点的距离只差为8，且|PF1|>|PF2|，∴轨迹为以为焦点的双曲线的左支。‎ 正确答案：轨迹为以为焦点的双曲线的左支 反思：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错。‎ 易错点65 求椭圆标准方程时忽视“定位”分析 ‎【问题】：若椭圆的离心率，求的值是。‎ 错解：a2＝5，b2＝,∴c2＝5-, 又，∴=3‎ 剖析：技能不熟，没有考虑到焦点在y轴上的情形。‎ 正确答案：=3或 反思：确定椭圆标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。‎ 易错点66 利用双曲线定义出错 ‎【问题】：双曲线上一点P到焦点的距离为6，则P到另一焦点的距离为_______。‎ 错解：由双曲线的定义，所以 剖析：定义模糊，没有考虑到P是在双曲线的哪一支上，P应在双曲线左支上。‎ 正确答案：10‎ 反思：利用双曲线定义要考虑双曲线的两支，若P为双曲线左支上的点,则的最小值为c-a,‎ 若P为双曲线右支上的点,则的最小值为c+a。‎ 易错点67 求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置 ‎【问题】：已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上动点，求 的最小值。‎ 错解：∵为抛物线上动点,∴=到准线距离，∴的最小值为 剖析：审题出错，误认为点A在抛物线的内部，得到|PA|+|PF|的最小值就是A到准线的距离。实际上点在抛物线的外部，∴的最小值为.‎ 正确答案：‎ 反思：求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法：‎ ① 具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理；‎ ② 不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。‎ 在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错。‎ 易错点68 用“点差法”解决中点弦问题时忽视直线与曲线相交 ‎【问题】：已知双曲线，问过A（1，1）能否作直线交双曲线于两点，且A为线段中点，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由。‎ 错解：用“点差法”求出斜率k=2，故 的方程为 y=2x-1‎ 剖析：知识残缺，用“点差法”求解时，忽视了代入验证，其实此时，直线与双曲线不相交。‎ 正确答案：不存在 反思：用“点差法”解决双曲线中点弦问题步骤为①设弦两端点，代入曲线方程，②将两方程求差，并用中点公式求出弦所在直线的斜率，③写出弦的方程并代入验证，其中代入验证不可少。一般来说，以椭圆内任意一点为中点的弦一定存在；以双曲线和其渐近线所夹区域内的点为中点的弦一定不存在。‎ 易错点69 解决直线与圆锥曲线位置关系是易错的几个问题 ‎【问题】：求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线的方程。‎ 错解：设直线的方程为，消得，令△＝0，求出，∴直线 的方程为y=x+1‎ 剖析：知识残缺，遗漏直线斜率不存在的情况及消元后的方程可能为一次方程的情况。‎ 正确答案：‎ 反思：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。‎ 易错点70直线与双曲线的位置关系可通过分析直线方程与渐进线方程的位置关系，也可以联立直线方程与双曲线方程通过判别式，两种方法往往会忽视一些特殊情形。‎ ‎【问题】过点（0，3）作直线l，如果它与双曲线只有一个公共点，则直线l的条数是（ ）‎ A、1 B、2 C、3 D、4‎ 剖析：在探讨直线与双曲线的位置关系时，可以考虑直线方程与双曲线方程的解的情况，但容易忽视直线与渐进线平行的特殊情况，这时构成的方程是一次的。‎ 解析：用数形结合的方法：过点（0，3）与双曲线只有一个公共点的直线分两类。一类是平行于渐进线的，有两条；一类是与双曲线相切的有两条。如图所示： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎O y x ‎(0,3)‎ 故选（D）‎ 反思直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种：‎ 一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程。‎ （1） 若，直线与双曲线相交，有两个交点；若，直线与渐进线平行，有一个交点。‎ （2） 若，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点。‎ （3） 若，直线与双曲线相离，没有公共点。‎ y x O 二是可以利用数形结合的思想。‎ ‎【练】如图已知双曲线的中心在原点，‎ 右顶点为A（1，0）P、Q在双曲线的右支上，点M（m，0）到 直线AP的距离为1。‎ ‎（1）若直线AP的斜率为1，且，求实数m的取值范围。‎ 解析：（1）如图，由条件得直线AP的方程为，即 ‎ 点M到直线AP的距离为1。，即 o A Q P M 解得m的取值范围是 ‎ ‎ 九、概率与统计 易错点71 互斥事件与对立事件关系模糊 ‎【问题】：某城市有两种报纸甲报与乙报供居民们订阅。记A=“只订甲报”，B=“至少订一种报”，C=“至多订一种报”，D=“不订甲报”，E=“一种报也不订”。判断下列事件是不是互斥事件？如果是互斥事件，再判断是不是对立事件。‎ ‎①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤E与C 错解：选①或③或④或⑤‎ 剖析：识记错误，两类事件的概念不清。‎ 正确答案：②是互斥事件，是对立事件 反思：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。‎ 易错点72 使用概率加法公式没有注意成立条件 ‎【问题】：投掷一枚均匀的骰子，事件A=“朝上一面的点数为奇数”，B=“朝上一面的点数不超过3”，求。‎ 错解： ，P(B)= ，∴= +=1‎ 剖析：概念模糊，未验证公式成立条件。‎ 正确答案：‎ 反思：概率加法公式是指当事件A、B为互斥事件时，则有，否则只能使用一般的概率加法公式P(A+B)＝P(A)+P(B)- P(A∩B)。解此类题关键是要分清已知事件是由哪些互斥事件组成的，然后代公式P(A+B)＝P(A)+P(B)求解，若已知事件不能分解为几个互斥事件的和，则只能代一般的概率加法公式。‎ 易错点73 运用古典概型概率公式解题时计数出错 ‎【问题】：一个口袋中有大小相同的个黑球和个白球，从中不放回地依次摸出2个，求其中含有黑球的概率。‎ 错解：“含有黑球”的对立事件是“全为白球”， ∴‎ 剖析：计数出错，计算基本事件总数时考虑“顺序”，而求事件A包含的基本事件数个数时没考虑“顺序”。‎ 正确答案：‎ 反思：运用古典概型的概率公式解题时，需确定全部基本事件的个数，及所求事件A包含的基本事件数，然后代公式为。为此，计数是解题的关键，求解时①要分清是“分类”还是“分步”，分类时要不重不漏，分步时要注意连续性；②要分清“有序”还是“无序”， 有序用排列，无序用组合；③ 要分清“放回”还是“不放回”。 ‎ 易错点74 将其它问题转化为几何概型时出错 ‎【问题】：在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部任作一条射线CM，交线段AB于M，求“”的概率。‎ 错解：∵△ABC等腰直角三角形，∠C为直角，‎ ‎∴AB=AC，∴ ‎ 剖析：知识残缺，虽然射线在∠ACB的内部的分布是等可能的，‎ 但是点在线段上的分布不是等可能的。‎ 正确答案：‎ 反思：几何概型具有两大特点：一是试验的可能的结果为无限个；二是试验的结果在一个区域内均匀分布。解题的关键是判断试验的结果在哪个区域内是均匀的。‎ 易错点75 使用直方图解题时错把纵坐标当成频率 ‎【问题】：‎ 某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ).‎ A.108 B.90 C. 75 D45‎ 错解：产品净重小于100克的概率为0.050+0.100=0.15, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为，所以n=240，净重大于‎96 98 100 102 104 106 ‎ ‎0.150 ‎ ‎0.125 ‎ ‎0.100 ‎ ‎0.075 ‎ ‎0.050 ‎ 克 ‎ 频率/组距 ‎ ‎ ‎ 或等于98克并且小于104克的产品的概率为 ‎0.100+0.150+0.125+0.75=0.45,所以样本中净 重大于或等于98克并且小于104克的产品的 个数是240×0.45=108，故选A.‎ 剖析：不会看图，直方图的纵坐标不是频率,‎ 矩形的面积才是频率。‎ 正确答案：108 ‎ 反思：统计学的基本思想之一是用样本的频率分布估计总体的概率分布，其中最常用来表示频率分布图形是直方图。解与直方图有关的识图题时，一定要看清图中横坐标和纵坐标分别表示什么，单位是什么，唯有这样才能正确求解。‎ 易错点76 对样本数字特征认识不到位 ‎【问题】：下列判断正确的是（ ）‎ A 样本平均数一定小于总体平均数 B 样本平均数一定大于总体平均数 C 样本平均数一定等于总体平均数 D 样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 错解： 选 ‎ 剖析：概念不清，样本平均数仅仅用来估计总体平均数，没有必然的大小关系。‎ 正确答案：D 反思：统计学的另一基本思想是通过科学合理地获取样本，再通过对样本数据的处理，用样本数字特征去估计总体的相应数字特征。对此我们要有一个辩证的理解，即有时会出现偏差，而解决这一问题的方法是适度增加样本容量，当样本容量越大，它对总体接近程度越大，可信度越高。‎ 易错点77 在求离散型随机变量分布列时忽视所有事件概率和为1‎ ‎【问题】：某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有四次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第四次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9。求在一年内李明参加驾照考试的次数X的分布列。‎ 错解：随机变量可取1，2，3，4‎ ‎，，，‎ ‎∴李明参加驾照考试的次数X的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ p ‎0.6‎ ‎0.28‎ ‎0.096‎ ‎0.0216‎ 剖析：知识残缺，对事件“X=4” 不理解，“X=4”表示李明前3次均没通过，而第四次可能通过也有可能不通过，∴或利用性质求解。‎ 正确答案：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ p ‎0.6‎ ‎0.28‎ ‎0.096‎ ‎0.024‎ 反思：解答此类题常见的错误为①事件的概率不会求；②所求的事件概率不满足。对于②我们通常先求出一些简单事件的概率，如果某事件的概率不好求，在确保其它事件的概率正确的前提下，可用性质求解。‎ 十、其它 易错点78 对循环结构中控制条件理解存在偏差 ‎【问题】1：设计一个程序框图求的值。‎ 错解：‎ 剖析：概念不清，用图不准，第一处错误在于第二个框应是S=1而不是S=0；第二处错误在于判断框应是而不是。‎ ‎【问题】2：说出下面算法的程序功能，并改写为UNTIL语句。‎ s=1‎ n=2‎ i=1‎ WHILE i＜=63‎ ‎ s=s+n∧i ‎ i=i+1‎ WEND PRINT s ‎ END 错解：该程序功能为计算，对应UNTIL语句为：‎ s=1‎ n=2‎ i=1‎ DO ‎ s=s+n∧i ‎ i=i+1‎ LOOP UNTIL i >=63‎ PRINT s ‎ END 剖析：概念模糊，对两种循环的特点分辨不清，关系理解不透。事实上UNTIL语句后i >=63应改为i >63。‎ 反思：循环结构中一般有两个变量——累加（乘）变量和计数变量，累加（乘）变量是为了实现算法功能，计数变量是用来记录循环次数。解此类题关键是把握好两种循环结构特点及其它们的区别，设定好两种变量的初始值，根据循环次数确定好控制变量所满足的条件，必要时通过记录循环过程加以检验。‎ 易错点79 忽视数学归纳法中的归纳假设 ‎【问题】：用数学归纳法证明：‎ 错解：⑴当n=1时，命题显然成立；‎ ‎⑵假设时命题成立，即，‎ 那么当时，‎ ‎ ∴时命题也成立 由⑴、⑵可知，对于命题成立。‎ 剖析：知识残缺，在推证时命题也成立时，没有用到归纳假设。‎ 反思：数学归纳法仅适用于证明与自然数有关的命题命题，其步骤如下：‎ ‎⑴当（n0∈N+）时，验证命题成立；‎ ‎⑵假设n=k（k≥n0 ，k∈N+）时命题成立，推证时命题也成立；‎ 由⑴、⑵，当时命题成立。‎ 在上述过程中，第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，二者缺一不可。对此，考生常犯的错误是①忽视验证是命题真假情况；②在证明命题成立时，没有用到归纳假设。‎ 易错点80 忽视参数范围 ‎【问题】曲线与曲线的交点是：‎ 错解：（1，2）或 正解：（1，2）。要注意t>0这个限制。‎