- 2021-06-11 发布 |
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文档介绍
高中数学必修1教案第二章 2_2_1 第1课时对数函数
2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对 数 [学习目标] 1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程. [知识链接] 1.=4,(64)=. 2.若2x=8,则x=3;若3x=81,则x=4. [预习导引] 1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 2.常用对数和自然对数 (1)常用对数:通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg N. (2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.718 28…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记为ln N. 3.对数与指数的关系 当a>0,且a≠1时,ax=N⇔x=logaN. 4.对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)loga1=0(a>0,且a≠1). (3)logaa=1(a>0,且a≠1). 要点一 指数式与对数式的互化 例1 将下列指数式与对数式互化: (1)2-2=;(2)102=100; (3)ea=16;(4)64=; (5)log39=2;(6)logxy=z. 解 (1)log2=-2. (2)log10100=2,即lg 100=2. (3)loge16=a,即ln 16=a. (4)log64=-. (5)32=9. (6)xz=y. 规律方法 1.对数式与指数式的互化图: 2.并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有a>0且a≠1,N>0时,才有ax=N⇔x=logaN. 跟踪演练1 下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A.e0=1与ln 1=0 B.8=2与log82= C.log24=2与4=2 D.log33=1与31=3 答案 C 解析 由指对互化的关系:ax=N⇔x=logaN可知A、B、D都正确;C中log24=2⇔22=4. 要点二 对数基本性质的应用 例2 求下列各式中x的值: (1)log2(log4x)=0; (2)log3(lg x)=1; (3)log(-1)=x. 解 (1)∵log2(log4x)=0,∴log4x=20=1, ∴x=41=4. (2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,∴x=103=1 000. (3)∵log(-1)=x, ∴(-1)x==-1,∴x=1. 规律方法 1.对数运算时的常用性质:logaa=1,loga1=0. 2.使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用;对于多重对数符号的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质. 跟踪演练2 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的x值. (1)log2x=-;(2)logx25=2; (3)log5x2=2. 解 (1)由log2x=-,得2=x, ∴x=. (2)由logx25=2,得x2=25. ∵x>0,且x≠1,∴x=5. (3)由log5x2=2,得x2=52, ∴x=±5. ∵52=25>0,(-5)2=25>0, ∴x=5或x=-5. 要点三 对数恒等式alogaN=N的应用 例3 计算:3-2+103lg3+. 解 3-2+103lg3+ =3×3-24×2+(10lg3)3+(2)-1 =3×5-16×3+33+5-1=-. 规律方法 对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用.这就要求首先要牢记对数恒等式,对于对数恒等式alogaN=N要注意格式:(1)它们是同底的;(2)指数中含有对数形式;(3)其值为对数的真数. 跟踪演练3 求值:(1)9;(2)5. 解 (1)9=(32)=3=4. (2)5=5·5=5×2=10. 1.2x=3化为对数式是( ) A.x=log32 B.x=log23 C.2=log3x D.2=logx3 答案 B 解析 ∵2x=3,∴x=log23. 2.若log3x=3,则x等于( ) A.1 B.3 C.9 D.27 答案 D 解析 ∵log3x=3,∴x=33=27. 3.有下列说法: ①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成对数式; ③以10为底的对数叫做常用对数; ④以e为底的对数叫做自然对数. 其中正确命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C 解析 对于②,(-2)3=-8不能化为对数式,∴②不正确,其余正确. 4.已知log2x=2,则x=________. 答案 解析 ∵log2x=2,∴x=4, ∴x=4==. 5.若lg(ln x)=0,则x=________. 答案 e 解析 ∵ln x=1,∴x=e. 1.对数概念与指数概念有关,指数式和对数式是互逆的,即ab=N⇔logaN=b(a>0,且a≠1,N>0),据此可得两个常用恒等式:(1)logaab=b;(2)alogaN=N. 2.在关系式ax=N中,已知a和x求N的运算称为求幂运算,而如果已知a和N求x的运算就是对数运算,两个式子实质相同而形式不同,互为逆运算. 3.指数式与对数式的互化 一、基础达标 1.2-3=化为对数式为( ) A.log2=-3 B.log(-3)=2 C.log2=-3 D.log2(-3)= 答案 C 解析 根据对数的定义知选C. 2.有以下四个结论:①lg(lg 10)=0;②ln(ln e)=0;③若10=lg x,则x=10;④若e=ln x,则x=e2.其中正确的是( ) A.①③ B.②④ C.①② D.③④ 答案 C 解析 lg(lg 10)=lg 1=0,ln(ln e)=ln 1=0,故①②正确;若10=lg x,则x=1010,③错误;若e=ln x,则x=ee,故④错误. 3.若log3(log2x)=1,则x-等于( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 ∵log3(log2x)=1,∴log2x=3, ∴x=23=8,则x-== . 4.方程2=的解是( ) A.x= B.x= C.x= D.x=9 答案 A 解析 ∵2==2-2, ∴log3x=-2,∴x=3-2=. 5.已知loga2=m,loga3=n,则a2m+n等于( ) A.5 B.7 C.10 D.12 答案 D 解析 ∵am=2,an=3,∴a2m+n=a2m·an =(am)2·an=12. 6.ln 1+log(-1)(-1)=________. 答案 1 解析 ln 1+log(-1)(-1)=0+1=1. 7.求下列各式中的x. (1)logx27=; (2)log2x=-; (3)logx(3+2)=-2; (4)log5(log2x)=0; (5)x=log27. 解 (1)由logx27=,得x=27,∴x=27=32=9. (2)由log2x=-,得2=x, ∴x==. (3)由logx(3+2)=-2,得3+2=x-2, 即x=(3+2)=-1. (4)由log5(log2x)=0,得log2x=1.∴x=21=2. (5)由x=log27,得27x=,即33x=3-2, ∴x=-. 二、能力提升 8.若logx=z,则( ) A.y7=xz B.y=x7z C.y=7xz D.y=z7x 答案 B 解析 由logx=z,得xz=, ∴()7=(xz)7,则y=x7z. 9.对数式log(a-2)(5-a)=b,实数a的取值范围是( ) A.(-∞,5) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞) 答案 C 解析 由log(a-2)(5-a)必满足 得2<a<5且a≠3, ∴a∈(2,3)∪(3,5). 10.方程9x-6·3x-7=0的解是________. 答案 x=log37 解析 设3x=t(t>0), 则原方程可化为t2-6t-7=0, 解得t=7或t=-1(舍去),∴t=7,即3x=7. ∴x=log37. 11.(1)若f(10x)=x,求f(3)的值; (2)计算2+3. 解 (1)令t=10x,则x=lg t, ∴f(t)=lg t,即f(x)=lg x ∴f(3)=lg 3. (2)2+3=23·2+ =23×3+=24+27=51. 三、探究与创新 12.已知logax=4,logay=5(a>0,且a≠1),求A=的值. 解 由logax=4,得x=a4,由logay=5,得y=a5, 所以A==x·[(x·y-2)] =x·=x·y =(a4)·(a5)=a=a0=1. 13.已知logab=logba(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1). 求证:a=b或a=. 证明 设logab=logba=k, 则b=ak,a=bk,∴b=(bk)k=bk2, ∵b>0,且b≠1,∴k2=1, 即k=±1.当k=-1时,a=; 当k=1时,a=b.∴a=b或a=,命题得证.查看更多