2018-2019学年内蒙古赤峰二中高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年内蒙古赤峰二中高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古赤峰二中2018-2019学年高二上学期第二次月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数满足，其中是虚数单位，则复数的虚部为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,虚部为,故选C.‎ ‎2．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内， 恒成立．因为在(－1，1)内可导且单调递增，所以在(－1，1)内，恒成立．以上推理中( )‎ A． 大前提错误 B． 小前提错误 C． 结论正确 D． 推理形式错误 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增,.‎ ‎【详解】‎ 在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，恒成立，故大前提错误，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 函数在某个区间内的单调性与函数在这个区间的导函数之间关系：‎ ‎（1）若函数在某个区间内有，则函数在这个区间内单调递增（递减）；‎ ‎（2）若函数在某个区间内是增函数（减函数），则.‎ ‎3．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程有有理根，那么， ， 中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）‎ A． 假设， ， 不都是偶数 B． 假设， ， 至多有两个是偶数 C． 假设， ， 至多有一个是偶数 D． 假设， ， 都不是偶数 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选D.‎ 考点：命题的否定.‎ ‎4．的值为（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ 考点：微积分基本定理．‎ ‎5．①已知是三角形一边的边长，是该边上的高，则三角形的面积是，如果把扇形的弧长，半径分别看作三角形的底边长和高，可得到扇形的面积是；②由 ，可得到，则①、②两个推理过程依次是（ ）‎ A． 类比推理、归纳推理 B． 类比推理、演绎推理 C． 归纳推理、类比推理 D． 归纳推理、演绎推理 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．‎ 详解：‎ ‎①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理； ②由特殊到一般，故推理为归纳推理． 故选：A．‎ 点睛：本题考查的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，熟练掌握三种推理方式的定义及特征是解答本题的关键．‎ ‎6．用数学归纳法证明：“”时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出与时左边的代数式，两式相除化简即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 用数学归纳法证明 时，‎ 时,左侧，‎ 时，左侧，‎ 从到左边需增乘的代数式是 ‎ ，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.‎ ‎7．已知抛物线C： 的焦点为为抛物线C上任意一点，若，则的最小值是( )‎ A． B． 6 C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线上的点到焦点距离到准线的距离，‎ 到准线的距离到准线的距离．‎ 的最小值是，‎ 故选D．‎ ‎8．如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是( ) ‎ A． B． C． D． 0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.‎ ‎【详解】‎ 以AC的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则：‎ ‎,，，，‎ 向量,，‎ ‎ .‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．将正整数排成下表：‎ 则在表中，数字2017出现在（ ）‎ A． 第44行第80列 B． 第45行第81列 C． 第44行第81列 D． 第45行第80列 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可知第行有个数字，前行的数字个数为个，进而根据与2017大小关系进而判断出2017所在的行数，再根据和第 ‎45行的数字个数，从而求得2017所在的列.‎ ‎【详解】‎ 由图可知第行有个数字，‎ 前行的数字个数为个，‎ ‎，且，‎ 在第45 行，‎ 又，且45行有个数字，‎ 在第，‎ 数字2017出现在第45行第81列，故选B .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的前项和公式，以及归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎10．函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 解：因为 可见在x>0时，01，f(x)递减，则可排除C,D，然后看最大值x=1时，为-1/2，因此图像选B ‎11．已知双曲线的左，右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)‎ A． B． C． 2 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义可得,结合, 可得，根据焦半径的范围，可得到关于的不等式，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据双曲线的定义可得,结合, ‎ 可得，由焦半径的范围可得，‎ ‎，解得 ‎， ‎ 即双曲线的离心率的最大值为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线定义、离心率以及双曲线的简单性质，属于中档题. 求离心率范围问题应利用圆锥曲线中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的最值.本题是利用双曲线的定义求出焦半径，利用焦半径构造出关于的不等式，最后解出的最值.‎ ‎12．设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由，即函数为单调递增函数，令，则，把不等式转化为，进而转化为，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数满足，即，‎ 令，则，即函数为单调递增函数，‎ 令，则，‎ 所以不等式，即，转化为，即，即 ‎ 又由，所以，‎ 所以不等式可转化为，所以，即，解得，‎ 即原不等式的解集为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了构造新函数，利用导数判定函数的单调性，求解不等式问题，其中解答中，根据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，合理利用新函数的单调性求解不等式是解答的关键，着重考查了构造思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为，积分下限为，曲线与直线在第一象限所围成饿图形的面积是，即围成的封闭图形的面积为．‎ 考点：利用定积分求解曲边形的面积.‎ ‎14．已知为虚数单位，复数满足，则_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求得,再代入复数模的计算公式求解.‎ ‎【详解】‎ 由，得，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的摸这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎15．已知下列等式： ，，，，…，，则推测 __________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知中的等式，分析根号中分式分子和分母的变化规律，得到a，b值．‎ 详解：由已知中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…，‎ 归纳可得：第n个等式为：‎ ‎ ‎ 当n+1=10时，a=10，b=99，‎ 故a+b=109，‎ 故答案为：109.‎ 点睛：归纳推理是数学中一种重要的推理方法，是由特殊到一般、由个别到全部的推理，常见的是在数列中的猜想，其关键在于通过所给前几项或前几个图形，分析前后联系或变化规律，以便进一步作出猜想．‎ ‎16．已知函数在上不单调，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ 此题考查导数的应用；，所以当时，原函数递增，当原函数递减；因为在上不单调，所以在上即有减又有增，所以 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)．‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；‎ ‎(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．‎ ‎【答案】（1）e（2）（y＝(1－e)x－1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；‎ ‎（2）设切点为（x0，y0），求出函数的切线方程，求出k即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.‎ 设切点为(x0，y0)，‎ ‎∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①‎ f′(x0)＝1－＝k，②‎ ‎①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.‎ 若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.‎ ‎∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数的几何意义的应用，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，要求熟练掌握导数的应用．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2， .‎ ‎（1）求证：PD⊥平面PAB； ‎ ‎（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件得平面PAD，因此，再结合 ，可得PD⊥平面PAB。（2）取AD的中点O，连PO，CO，可证得OP,OA,OC两两垂直，建立空间直角坐标系，用向量的运算求解。‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD, AB⊥AD，‎ ‎∴平面PAD，‎ ‎∵平面PAD，‎ ‎∴,‎ 又，‎ ‎∴ PD⊥平面PAB。‎ ‎（2）取AD的中点O，连PO，CO。‎ ‎∵，‎ ‎∴CO⊥AD，‎ ‎∵PA=PD，‎ ‎∴PO⊥AD，‎ ‎∴OP,OA,OC两两垂直，‎ 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，‎ 则。‎ ‎∴。‎ 设平面PCD的一个法向量为，‎ 由 ，得。‎ 令，则。‎ 设直线PB与平面PCD所成角为，‎ 则.‎ ‎∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为。‎ 点睛：利用向量法求线面角的方法：‎ ‎(1)分别求出斜线和它在平面内的投影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；‎ ‎(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面的夹角．即设直线l的方向向量和平面α的法向量分别为m，n，则直线l与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos〈m，n〉|。‎ ‎19．已知函数 .‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调性．‎ ‎【答案】（1）f（x）的极小值为4，无极大值．（2）当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)当时，求出函数的导数，由求方程的根，判断所求根两边导函数的符号即可得到函数的极值；(2) 求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间.‎ ‎.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），‎ 当a=2时，， ，‎ 令f′（x）=0，解得x= ，‎ 当0＜x＜时，f′（x）＜0；‎ 当x≥时，f′（x）＞0‎ 又∵f（）=2+2=4‎ ‎∴f（x）的极小值为4，无极大值．‎ ‎（2）‎ 当a＜﹣2时，﹣＜，‎ 令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣或x＞，‎ 令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；‎ 当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，‎ 令f′（x）＜0 得 0＜x＜或x＞﹣，‎ 令f′（x）＞0 得 ＜x＜﹣ ；‎ 当a=﹣2时，，‎ 综上所述，当a＜﹣2时f（x）的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；‎ 当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；‎ 当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.‎ ‎20．已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，侧面是等腰直角三角形，，，点是棱的中点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）平面ACD，又EM//BF，所以平面ACD，所以平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求得两个法向量,，求出二面角。‎ 试题解析：‎ ‎（I）证明：取AC的中点F，连接BF，‎ 因为AB＝BC，所以，平面ABC,所以CD.‎ 又所以平面ACD.①‎ 因为AM=MD，AF=CF，所以.‎ 因为 ，所以//MF，‎ 所以四边形BFME是平行四边形.所以EM//BF.②‎ 由①②,得平面ACD，所以平面平面；‎ ‎（II）BE平面ABC，‎ 又，‎ 以点B为原点，直线BC、BA、BE分别为x,y,z轴，‎ 建立空间直角坐标系B-xyz.‎ 由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).‎ 由中点坐标公式得，,，‎ 设向量为平面BMC的一个法向量，则即 令y=1,得x=0，z=－1，即,‎ 由（I）知，是平面ACD的一个法向量. ‎ 设二面角B－CM－A的平面角为，‎ 则，‎ 又二面角B－CM－A为锐二面角，故.‎ ‎21．已知椭圆的左右焦点分别为，长轴长为4， 的面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过的直线交椭圆于两点,且,求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由已知条件求出椭圆的标准方程 ‎⑵设 由，代入点坐标计算结果 ‎【详解】‎ ‎（1） ‎ ‎（2）设直线的方程为 与椭圆联立并化简得 ‎ 设，则 由得 ‎ ‎，解得 ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与椭圆的位置关系，并求解三角形面积，在解题过程中联立直线与椭圆方程，运用韦达定理来求三角形的面积。‎ ‎22．已知函数 ‎（Ⅰ）若函数在上为增函数，求正实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先求出函数的增区间为， 应为其子集，故可求实数的范围.‎ ‎（Ⅱ）方程在上有两个实数根可以转化为直线与函数的图像有两个不同的交点，利用导数刻画的图像后可以得到实数的取值范围.‎ 详解：（Ⅰ） ，‎ 因为为正实数，由定义域知，所以函数的单调递增区间为.‎ 因为函数在上为增函数，所以，所以.‎ ‎（Ⅱ）因为方程在区间内恰有两个相异的实根，故 方程在区间内恰有两个相异的实根即 方程在区间内恰有两个相异的实根.‎ 令，则，‎ 当时， ， 在为减函数；‎ 当时， ， 在为增函数. ‎ 的图像如图所示：‎ 要使函数的图象与函数的图象在区间内恰有两个交点，则要满足，所以的取值范围为.‎ 点睛：含参数的方程的解的个数的讨论，可以参变分离后转化为动直线与定曲线的交点的个数.定曲线的刻画需以导数为工具讨论函数的单调性、极值及区间端点处的函数值等.‎