河北省武邑中学2020届高三下学期质检数学（文）试题

河北省武邑中学2020届高三下学期质检数学（文）试题

河北武邑中学2019-2020学年高三年级下学期第二次质检考试 数学试题（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.‎ ‎3.选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效.‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解集合再求并集即可.‎ ‎【详解】因为,,所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查集合的运算与二次不等式的求解以及指数函数的值域等.属于基础题.‎ ‎2.已知是虚数单位，且复数，且是实数，则实数的值为( )‎ A. 6 B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据复数运算公式求出，由于是实数，再根据复数的性质，令虚部为0，即可求出结果．‎ ‎【详解】，∴，∵是实数，∴，得，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数四则运算以及复数是实数的等价条件，根据复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．‎ ‎3.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 根据四个列联表中的等高条形图可知，‎ ‎ 图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，‎ ‎ 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．‎ ‎4.设，，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用倍角公式求得的值，利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数关系式求得的值，进而求得的值，最后利用正切差角公式求得结果.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目.‎ ‎5.大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”‎的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则大衍数列中奇数项的通项公式为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接代入检验，排除其中三个即可．‎ ‎【详解】由题意，排除D，，排除A，C．同时B也满足，，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解．‎ ‎6.椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，如果的中点在轴上，那么是的（ ）‎ A. 7倍 B. 6倍 C. 5倍 D. 4倍 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得轴，再利用通径的长度的一半，可求得，利用椭圆的定义可求得，即可得答案；‎ ‎【详解】设的中点为，为的中位线，‎ 轴，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义和通径等知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎7.如图所示，某几何体的正视图与俯视图均为边长为4的正方形，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的,再求体积.‎ ‎【详解】根据三视图，结合题意，原几何体为正方体截去一个圆柱的四分之一而得到的，如图所示 平面的面积为， 故该几何体的体积，‎ 故选B. ‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图求几何体的体积问题，关键时看懂三视图，能还原出原几何体的形状，属于中档题.‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数和单调性的关系，判断函数的单调性，再判断函数的变化趋势，即可得到答案．‎ ‎【详解】解：的定义域为，‎ 恒成立，‎ 在，单调递增，‎ 当时，，函数单调递增，故排除，，‎ 当时，，，‎ ‎，故排除，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的识别，关键是掌握函数的单调性和函数值的变化趋势，属于中档题．‎ ‎9.已知函数与轴交于点，距离轴最近的最大值点，若，且，恒有，则实数的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与轴交于点，则，可得，最大值点,则， 且，由五点作图法知，解得，求出的表达式，，且，恒有，则在单调，由三角函数的单调性，可得出答案.‎ ‎【详解】由题意得，的最大值点,则.‎ 与轴交于点，则，，所以 又的最大值点，即，由五点作图法知，解得，‎ ‎∴，‎ ‎，且，恒有，则在单调.‎ 则，又（0，）是函数包含原点增区间的子区间，‎ 所以（﹣a，a）是包含原点增区间的子集，‎ 令，. ‎ 解得，. ‎ ‎∴，∴，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查根据三角函数的图象求函数解析式，根据单调性区间求参数的最值，属于中档题.‎ ‎10.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”‎ 诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出关于的对称点，根据题意，则为最短距离，即可得答案；‎ ‎【详解】设点关于直线的对称点，设军营所在区域为的圆心为，‎ 根据题意，为最短距离，先求出的坐标，‎ 的中点为，直线的斜率为1，‎ 故直线为，‎ 由，解得，，‎ 所以，‎ 故，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查点关于直线对称及圆外一点到圆上点距离的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎11.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（ ）‎ A 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，所以在上的投影为，而恰好为中点，故考虑，所以 点睛：和三角形外心有关的，多联系投影的应用，式子两边点击向量，出模长．‎ ‎12.已知定义在上的函数对任意都满足，且当时，，则函数的零点个数为( )‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，则，‎ 此时有，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数是周期为2的周期函数．‎ 令，则，‎ 由题意得函数的零点个数即为函数的图象与函数的图象交点的个数．‎ 在同一坐标系内画出函数和函数的图象（如图所示），‎ 结合图象可得两函数的图象有三个交点，‎ ‎∴函数的零点个数为3.选B．‎ 点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法 ‎(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题 ‎13.若满足约束条件，则的最小值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 做出满足条件的可行域，根据图形即可求出的最小值.‎ ‎【详解】做出满足的可行域，如下图所示（阴影部分），‎ 当目标函数过时，取得最小值为. 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合求线性目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎14.利用随机模拟方法计算和所围成图形的面积.首先利用计算机产生两组0-1区间的均匀随机数，，，然后进行平移和伸缩变换，，，若共产生了个样本点，其中落在所围成图形内的样本点数为，则所围成图形的面积可估计为________.（结果用，表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平移和伸缩变换可得点落在矩形区域内，再利用几何概型的概率计算，估计面积，即可得答案；‎ ‎【详解】，，‎ 落在长为4，宽为4的正方形区域内，其面积为，‎ 设和所围成图形的面积为，‎ ‎，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查随机模拟估计面积、几何概率模型的应用，考查数形结合思想，考查运算求解能力.‎ ‎15.已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的方程的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且，都位于第一象限，且，，‎ 可知为的三等分点，设，将坐标用表示，并代入双曲线方程，即可得到离心率的值.‎ ‎【详解】由双曲线的方程的左右焦点分别为，，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且，都位于第一象限，且，，‎ 可知为的三等分点，且，‎ 点在直线上，并且，则，，‎ 设，则，‎ 解得，，即，‎ 代入双曲线的方程可得，解得，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的几何性质，离心率的求法，考查转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出，，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，转化为，的齐次式，然后转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式），即可得（的取值范围）.‎ ‎16.点为棱长是正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得经过球的球心，动点P的轨迹为经过点B且与垂直的平面被球所截所得的截面圆的圆周．‎ 由几何知识可得，平面为过点B且与垂直的平面，由题意得截面圆即为的内切圆．结合题意可得为边长等于的等边三角形，故内切圆的半径为，所以周长为．‎ 答案：‎ 三、解答题 ‎17.为利于分层教学，某学校根据学生的情况分成了，，三类，经过一段时间的学习后在三类学生中分别随机抽取了1个学生的5次考试成绩，其统计表如下：‎ 类 第次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 分数（小于等于）150‎ ‎145‎ ‎83‎ ‎95‎ ‎72‎ ‎110‎ ‎，；‎ 类 第次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 分数（小于等于）150‎ ‎85‎ ‎93‎ ‎90‎ ‎76‎ ‎101‎ ‎，；‎ 类 第次 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 分数（小于等于）150‎ ‎85‎ ‎92‎ ‎101‎ ‎100‎ ‎112‎ ‎，；‎ ‎（1）经计算已知，的相关系数分别为，，请计算出学生的的相关系数，并通过数据的分析回答抽到的哪类学生学习成绩最稳定；（结果保留三位有效数字，越大认为成绩越稳定）；‎ ‎（2）利用（1）中成绩最稳定的学生的样本数据，已知线性回归方程为，利用线性回归方程预测该生第九次的成绩.‎ 参考公式：（1）样本的相关系数；‎ ‎（2）对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎【答案】（1），类学生；（2）135.2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据公式计算，比较的大小，即可得答案；‎ ‎（2）根据回归直线经过样本点的中心，可求得的值，再将代入方程求得的值，即可得答案；‎ ‎【详解】（1）根据题意，可知类学生的 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 相关系数，‎ 又因，则类学生学习成绩最稳定 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 所以预测该生的第九次成绩约为135.2.‎ ‎【点睛】本题考查相关系数的计算及应用、回归方程的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.‎ ‎18.已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列的通项公式，. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 由是，的等差中项得,则，可得，所以得到，由通项公式可求得，从而得到答案. (2) ,用裂项相消法求和.‎ ‎【详解】（1）由是，的等差中项得，‎ 所以，解得，‎ 由，得，解得或，因为，所以. ‎ 所以，. ‎ ‎（2）由（1）可得，. ‎ 所以 ‎，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差等比数列的基本性质和用裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎19.如图，四边形是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为60°.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知，，可得平面，即可证明结论；‎ ‎（2）过做，交于，连，根据（1）可得平面，得到为异面直线与直线所成的角，在求出，中可得出 ‎，求出，用等体积法，即可求解.‎ ‎【详解】（1）∵，，，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，.‎ ‎（2）过做，交于，连，‎ ‎，，为中点，‎ 平面，平面，，‎ 为异面直线与直线所成的角，‎ ‎，在中，由余弦定理得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 设点到平面的距离为，‎ ‎，‎ 点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系，证明直线与直线垂直，应用等体积法求点到平面的距离，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.‎ ‎20.已知抛物线，过点分别作斜率为，的抛物线的动弦、，设、分别为线段、的中点．‎ ‎（1）若为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎（2）若，求证直线恒过定点，并求出定点坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，定点．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，，利用“点差法”确定的值，从而求出直线的方程；‎ ‎（2）求出直线的方程，利用韦达定理以及探究直线过哪个定点.‎ ‎【详解】（1）设，，则①，②．‎ ‎①－②，得 ．‎ 又因为是线段的中点，所以 所以，． ‎ 又直线过，所以直线的方程为；‎ ‎（2）依题设，直线的方程为，即，‎ 亦即，代入抛物线方程并化简得 ．‎ 所以， ‎ 于是，，． ‎ 同理，，．‎ 易知，所以直线的斜率．‎ 故直线的方程为，‎ 即．此时直线过定点．‎ 故直线恒过定点．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题，考查数形结合思想、考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，，求证：．‎ ‎【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别令，求出单调性；‎ ‎（2）设，则， 要证：，即证：‎ ‎，而，令，，等价于， ，证明的单调性即可.‎ ‎【详解】（1）函数定义域为 ，‎ 令得，令得，‎ 故在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2），不妨设，则， ‎ 要证：，即证：……（*），‎ 而，令，，‎ ‎（*）等价于， ，‎ 设，，‎ ‎ ‎ 令，在恒成立，‎ 则在单调递增，故，故在单调递增，‎ 故，故原命题得证．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知曲线的极坐标方程为（，），点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，、均异于原点，且，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）：，:（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数,可得曲线的普通方程，利用可得直角坐标方程；‎ ‎（2）将曲线化为极坐标方程，利用极坐标方程的几何意义，结合辅助角公式，即得解.‎ ‎【详解】（1）曲线的参数方程为,消去参数，‎ 可得曲线的普通方程为：‎ 故：曲线的极坐标方程为.‎ 又 故：的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）曲线：化为极坐标方程为 设点，，依题设知，‎ 所以 由知 因为，故或 因此或 ‎【点睛】本题考查了极坐标，参数方程与一般方程的互化，以及利用极坐标的几何意义解决线段长度问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.‎ ‎23.已知函数，．‎ 解不等式；‎ 若对任意的，均存在，使得成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意得，所以，解得；（2）由题意，，，，所以，解得或．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)由，得，‎ ‎∴，得不等式的解为 ‎ ‎(Ⅱ)，‎ ‎，‎ 对任意的均存在，使得成立，‎ ‎ ，‎ ‎ ，解得或，‎ 即实数的取值范围为：或．‎ 点睛：本题考查绝对值不等式．绝对值不等式的求解，掌握基本解法即可．绝对值的三角不等式考查技巧性较高，形式上需要满足定义域及系数的统一，本题的另一个难点就是题意的理解转化，得到值域的包含关系．‎