人教A数学必修二空间几何体的表面积与体积学案 1.3.1 空间几何体的表面积与体积

人教A数学必修二空间几何体的表面积与体积学案 1.3.1 空间几何体的表面积与体积

1.3.1 空间几何体的表面积与体积 一、知识导学：1、了解求多面体表面 积的方法；2、理解柱、锥、台、球的表面积、体积 计算公式，并能灵活运用相关公式进行计算和解决有关实际问题。 二、基础知识： 1、（1）边长为 a 的正方体表面积等于__________；体积等于_________。 （2）长、宽、高分别为 a、b、c 的长方体的表面积等于____________； 体积等于________________。 一般地，我们可以把多面体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法， 求多面体的表面积。 例 1 棱长为 a，各面均为等边三角形 的四面体 S—ABC 的表面积为________。 体积为___________. 2、柱、锥、台、球的侧面积、表面积、体积计算公式： 圆柱 圆锥 圆台 图形 侧面积 S 圆柱侧=2 S 圆锥侧= S 圆台侧= 表面 积 S 圆柱表=2 S 圆锥表= S 圆台表= 体积 探究：（1）等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积比为____________， 等底、等高的圆锥、棱锥之间的体积比为____________。 （2）柱、锥、台的体积计算公式有何关系？ 从柱、锥、台的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为 与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令 S’=S 和 S’=0 便可以从台体的体积公式得到柱、 锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式。 另外：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式也可以统一为圆台的侧面积公式。 3、球的表面积： ； 球的体积： 。 例 2 一个圆台上、下底面半径分别为 10、20，母线与底面的夹角为 60°， 则圆台的表面积为_____________，体积为______ _______. 例 3 已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半， 且 AB=BC=CA=2，求球的表面积和体积。 rlπ rlπ ( )r R lπ + ( )r r lπ + ( )r r lπ + 2 2( )r rl Rl Rπ + + + V Sh=柱 1 3V Sh=锥 ' '1 ( )3V S S S S h= + +台 24S Rp= 34 3V Rp= A B C S O' O A BC F E C1 B1 A B C A1 三、达标训练： 1、长方体共顶点的三个面的面积分别是 2cm2，6cm2，9cm2， 那么这个长方体的体积为（ ） A． B． C． D． 2、把球大圆面积扩大到原来的 2 倍，那么它的体积扩大到原来的（ ） A．2 倍 B．4 倍 C．2 倍 D．8 倍 3、三个球的半径之比为 1：2：3， 那么最大球的体积与其它两球体积和的比是（ ） A．1：1 B．2：1 C．3：1 D．4：1 4、如果夹在两个平行平面间的圆锥、球、圆柱在平面内的射影为等圆， 那么它们的体积比为（ ） A． B．1：2：3 C． D．1：2：4 5、体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别是 S1、S2、 S3， 则它们的大小关系是（ ） A．S1 ＜ S2 ＜ S3 B．S1 ＜ S3 ＜ S2 C．S2 ＜ S3 ＜ S1 D．S2 ＜ S1 ＜ S3 6、半球内有一个内接正方体， 则这个半球的的体积与内接正方体的体积之比为（ ） A． B． C． D． 7、长方体的 12 条棱的总长度为 56cm，表面积为 112cm2， 那么长方体的对角线长为_______________。 8、圆锥的侧面母 线长为 3，侧面展开 所成的扇形的中心角等于 60°， 那么这个圆锥的底面积是__________________。 9、如果正四棱柱对角线长为 3.5cm，侧面的一条对角线长为 2.5cm， 那么这个棱柱的体积为__________ ______。 10、圆锥底面的半径为 10cm，轴截面是直角三角形，则圆锥的全面积是____cm2。 11、圆台的高是 8cm，上底半径、下底半径和母线长三者的比为 1：4：5， 那么这个圆台轴截面的面积是____________ _cm2。 12、圆台的母线和底面成 30º，轴截面的面积为 Q， 那么这个圆台的侧面积是_________。 13、圆台上、下底的半径分别是 1 和 4， 母线长为 3 ，则圆台的体积为____。 14、如图，在三棱台 ABC—A1B1C1 中， E、F 分别是 AB、BC 的中点，且截面 A1C1FE 与 B1B 平行，它把棱台截成左和右两部分， 则这两部分的体积比为_______。 15、在体积是 39cm3 的三棱台 ABC—A1B1C1 中，三棱锥 C—A1B1C1 的 体积是 4cm3，则三棱锥 A1—ABC 的体积是_____________。 16、长方体中，共顶点的三个侧面面积分别为 ， ， ， 则它的外接球体积是__________。 17、球与圆台的上、下底面及母线都相切，且球面面积与圆台侧面积 33 6 cm 36 3 cm 37 cm 38 cm 2 1: 2 : 3 3 : 2 :1 6p 6 6 2 6 2 p 2 3 5 15 之比为 3：4，则球的体积与圆台体积之比是_________。 18、一个球外接于高是底边两倍的正三棱柱，则球和棱柱的体积之比为_________。 19、半径为 2，高也为 2 的圆柱内挖去一个半径为 2 的半球凹孔， 则余下的部分的表面积为_____________。 20、在球内有相距 9cm 的两个平行截面，面 积分别为 49πcm2 和 400πcm2， 球心不在截面之间，则球的半径为______________。 21、用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为______。 22、一个三棱柱的底面是正三角形，边长为 4，侧棱与底面垂直，侧棱长为 10， 则其表面积为___________，体积为____________。 23、已知正三棱锥的底面边长为 2，侧面均为直角三角形， 则此三棱锥的体积为____________________________。 24、已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1， 其平面展开图如图所示， 则该凸多面体的体积 V=_______ _______________。 25、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 ， 则该正方体的表面积为_____________________ 26、将若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形容器中，量得水面高度为 6cm； 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度． 27、一圆台形花盆，盆口直径 20cm，盆底直径 15cm，底部渗水圆孔直径 1.5cm， 盆壁长 15cm。为美化外表而涂油漆，若每平方米用 100 毫升油漆， 涂 200 个这样的花盆要多少油漆？ 28、粉碎机的上料斗是正四棱台，它的上、下底面边长分别为 80mm、 440mm，高是 200mm，计算制造这样一个上料斗所需铁板 的面积. 29、一个母线长与底面圆直径相等的锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出， 容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几？ 30、正六棱柱 ABCDEF—A1B1C1D1E1F1 的各棱长均为 1。求： （1）正六棱柱的表面积； （2）一动点从 A 沿表面移动到点 D1 的最短路程。 4 3π