【数学】2020届一轮复习苏教版第四章第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用学案
第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
考试要求 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，图象的画法，参数A，ω，φ对函数图象变化的影响(A级要求)；2.利用三角函数解决一些简单实际问题(A级要求).
知 识 梳 理
1.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示.
x
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象.
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)中各量的物理意义
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：
简谐振动
振幅
周期
频率
相位
初相
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，
x∈[0，＋∞)
A
T＝
f＝
ωx＋φ
φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析 (1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.y＝2sin的振幅、频率和初相分别为________.
解析 根据y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的振幅、频率、初相定义知，振幅A＝2，频率f＝＝＝，初相φ＝－.
答案 2，，－
3.(2018·苏北四市期末调研)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象与直线y＝
m的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数ω的值为________.
解析 由题意可得该函数的最小正周期T＝－＝，则ω＝＝4.
答案 4
4.将函数y＝3sin的图象向右平移φ个单位后，所得函数为偶函数，则φ＝________.
解析 由题意得y＝3sin为偶函数，所以－2φ＋＝＋kπ(k∈Z)，又0<φ<，所以φ＝.
答案
5.(2018·天津卷改编)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，下列说法中关于所得图象对应的函数________(填序号).
①在区间上单调递增；
②在区间上单调递减；
③在区间上单调递增；
④在区间上单调递减.
解析 把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin＝sin 2x的图象，由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝sin 2x的一个单调递增区间为，故填①.
答案 ①
考点一 “五点法”与“变换法”作图
【例1】 设函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的周期为π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到.
解 (1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝2＝2sin.
∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.
∴f(x)＝2sin.
∴函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为.
(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.
列表，并描点画出图象：
x
－
X
0
π
2π
y＝sin X
0
1
0
－1
0
y＝2sin
0
2
0
－2
0
(3)法一 把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上的点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象.
法二 将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x变为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变 ，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin的图象.
规律方法 作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 已知f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(3)若f(x)>，求x的取值范围.
解 (1)周期T＝＝π，∴ω＝2，
∵f＝cos＝cos＝－sin φ＝，
又－＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)f(x)＝cos，列表如下：
2x－
－
0
π
π
π
x
0
π
π
π
π
f(x)
1
0
－1
0
图象如图：
(3)∵cos>，
∴2kπ－<2x－<2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ＋<2x<2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ＋
0，ω>0，－<φ<，x∈R)的部分图象如图所示.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)当x∈时，求f(x)的取值范围.
解 (1)由图象知A＝2，
又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，得ω＝1.
所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点代入得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，
又－<φ<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.
(2)当x∈时，x＋∈，
所以sin∈，即f(x)∈[－，2].
规律方法 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)五点法，由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ；
(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结
合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
【训练2】 (1)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则f(－π)的值为________.
(2)如图，某地一天，从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，则这段曲线的函数解析式为________.
解析 (1)由图象可得A＝2，设最小正周期为T，则T＝，即T＝3π＝，ω＝，又f(π)＝2sin＝2，|φ|<π，则φ＝－，f(x)＝2sin，则f(－π)＝2sin＝－1.
(2)从图中可以看出，从6～14时是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，又×＝14－6，
所以ω＝.由图可得A＝(30－10)＝10，
b＝(30＋10)＝20.又×10＋φ＝2π，解得φ＝，
∴y＝10sin＋20，x∈[6，14].
答案 (1)－1
(2)y＝10sin＋20，x∈[6，14]
考点三 三角函数图象与性质的综合问题
【例3－1】 设函数f(x)＝sin＋sin，其中0＜ω＜3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值.
解 (1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
由题设知f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，
所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.
【例3－2】 设f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g的值.
解 (1)由f(x)＝2sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2
＝2sin2x－(1－2sin xcos x)
＝(1－cos 2x)＋sin 2x－1
＝sin 2x－cos 2x＋－1
＝2sin＋－1.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)
.
(2)由(1)知f(x)＝2sin＋－1，
把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变).
得到y＝2sin＋－1的图象.
再把得到的图象向左平移个单位，
得到y＝2sin x＋－1的图象，
即g(x)＝2sin x＋－1.
所以g＝2sin ＋－1＝.
规律方法 (1)研究三角函数的单调性，首先将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋h(或y＝Acos(ωx＋φ)＋h)的形式，要视“ωx＋φ”为一个整体，另外注意A的正负.
(2)三角函数最值问题的解题思路：
(ⅰ)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
①y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.
②y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式.
(ⅱ)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式
①y＝asin2x＋bcos x＋c可转化为cos x的二次函数式.
②y＝asin x＋(a，b，c>0)，令sin x＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解.
【训练3】 (2019·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.
解 (1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，
所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin ＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到
f的图象，
所以g(x)＝f＝sin
＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
一、必做题
1.若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为________.
解析 函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin.
答案 y＝2sin
2.(2019·南通、泰州调研)在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝sin的图象向右平移φ个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ
的值为________.
解析 解析式为y＝sin，∵平移后的图象过原点，∴0＝sin，∵0<φ<，∴φ＝.
答案
3.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且它的图象过点，则φ的值为________.
解析 由题意可得T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝2sin(2x＋φ).又f＝2sin＝－，－＋φ＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－.
答案 －
4.函数y＝cos(2x＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________.
解析 将函数y＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到y＝cos(2x＋φ－π)，其与y＝sin＝cos的图象重合，且0<φ<π，则φ＝.
答案
5.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈(0，π))图象的一部分，则f(0)的值为________.
解析 由函数图象得A＝3，＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝，所以f(x)＝3sin
，又因为(3，0)为函数f(x)＝3sin的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin，则f(0)＝3sin＝.
答案
6.(2019·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________.
解析 将函数y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝sin的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin＝0，＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，又0<φ<π，则φ＝.
答案
7.将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值为________.
解析 由题意得sin θ＝，因为－<θ<，所以θ＝，因为g(x)＝sin，所以sin＝，又因为0<φ<π，所以－2φ＋∈，即－2φ＋＝－，故φ＝.
答案
8.设函数f(x)＝sin，给出下列结论：
①f(x)的图象关于直线x＝对称；
②f(x)的图象关于点对称；
③f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数；
④把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象.
其中正确的是________(填序号).
解析 对于函数f(x)＝sin，当x＝时，
f＝sin ＝，故①错；当x＝时，
f＝sin ＝1，故不是函数的对称中心，故②错；函数的最小正周期为T＝＝π，当x∈时，
2x＋∈，此时函数为增函数，故③正确；
把f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin 2x，函数是奇函数，故④错.
答案 ③
9.(2018·徐州考前模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)的值为________.
解析 由题图象可得A＝2，最小正周期T＝8，则ω＝＝，f(2)＝2sin＝2，cos φ＝1，则φ＝2kπ，k∈Z，则f(x)＝2sin x，且f(1)＋…＋f(8)＝0，所以f(1)＋…＋f(2 018)＝252(f(1)＋…＋f(8))＋f(1)＋f(2)＝2×＋2＝＋2.
答案 ＋2
10.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，直线x＝，x＝是其相邻的两条对称轴.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若f＝－，且<α<，求cos α的值.
解 (1)设f(x)的周期为T，则＝－＝，所以T＝π.又T＝，所以ω＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ).
因为点在函数图象上，所以2sin＝2，即sin＝1.
因为－<φ<，即－<＋φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
(2)由f＝－，得sin＝－.
因为<α<，所以π<α＋<，所以cos＝－＝－.
所以cos α＝cos＝coscos ＋sinsin＝－×＋×＝－
.
11.(2019·扬州中学质检)如图，函数y＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y轴交于点(0，)，最小正周期是π.
(1)求ω，φ的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值.
解 (1)将点(0，)代入y＝2cos(ωx＋φ)，
得cos φ＝，∵0≤φ≤，∴φ＝.
∵最小正周期T＝π，且ω>0，∴ω＝＝2.
(2)由(1)知y＝2cos.
∵A，Q(x0，y0)是PA中点，y0＝，
∴P.
又∵点P在y＝2cos的图象上，
∴2cos＝，∴cos＝－.
∵x0∈，∴4x0＋∈，
∴4x0＋＝2π＋π－或4x0＋＝2π＋π＋，
∴x0＝或.
二、选做题
12.已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.
解析 当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知ω≤－，∴ω≤－2.
综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
答案 (－∞，－2]∪
13.如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是________.
解析 设函数的周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.
答案 4
