2019-2020学年天津市滨海新区高二上学期期末考试数学试题

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2019-2020学年天津市滨海新区高二上学期期末考试数学试题

滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷 高二年级数学 一.选择题(共12小题)‎ ‎1.设为虚数单位,复数等于  ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.“,”的否定是  ‎ A., B., ‎ C., D.,‎ ‎3.若,,,且,则下列结论一定成立的是  ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设等差数列的前项和,若,则=  ‎ A.8 B.10 C.12 D.14‎ ‎5.已知等比数列中,,且,那么=  ‎ A.31 B.32 C.63 D.64‎ ‎6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,”则该人第四天走的路程为  ‎ A.24里 B.12里 C.6里 D.3里 ‎7.已知双曲线的实轴长为10,则该双曲线的渐近线的斜率为  ‎ A. B. C. D.‎ ‎8.“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的  ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.若正数,满足,则的最小值是  ‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎10.已知双曲线的离心率为,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为  ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.若,,,则的最小值为  ‎ A.8 B.7 C.6 D.5‎ ‎12.已知,是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点.且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为  ‎ A.2 B.4 C. D.‎ 二.填空题(共8小题)‎ ‎13.已知复数为虚数单位),则   .‎ ‎14.已知直线与平面垂直,直线的一个方向向量为,向量 与平面平行,则等于   .‎ ‎15.不等式的解集为   .‎ ‎16.已知数列满足,,则   .‎ ‎17.正方体中,点是的中点,求与所成角的余弦值为   .‎ ‎18.直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于,两点,若的中点的纵坐标2,则   ,直线的方程为   .(本题第一空2分,第二空3分)‎ ‎19.已知,使等式成立的实数的取值集合为,不等式的解集为,若是的必要条件,则的取值范围是   .‎ ‎20.给出下列四个命题 ‎①已知为椭圆上任意一点,,是椭圆的两个焦点,则的周长是8;‎ ‎②已知是双曲线上任意一点,是双曲线的右焦点,则;‎ ‎③已知直线过抛物线的焦点,且与交于,,,两点,则;‎ ‎④椭圆具有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点,是它的焦点,长轴长为,焦距为,若静放在点的小球(小球的半径忽略不计)从点沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点时,小球经过的路程恰好是.‎ 其中正确命题的序号为  (请将所有正确命题的序号都填上)‎ 三.解答题(共4小题)‎ ‎21.(本题满分12分)‎ 已知公差不为0的等差数列的前项和,且有,,成等比数列.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列前项和.‎ ‎22.(本题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,平面平面,,,,为中点,,,.‎ ‎(1)证明:直线平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值;‎ ‎(3)在棱上是否存在点,使平面,若存在,求线段的长度;若不存在,说明理由.‎ ‎23.(本题满分13分)‎ 已知数列的前项和为 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎24.(本题满分13分)‎ 在平面直角坐标系中,椭圆的上顶点到焦点的距离为2‎ ‎,离心率为.‎ ‎(1)求,的值.‎ ‎(2)设是椭圆长轴上的一个动点,过点作斜率为的直线交椭圆于、两点.‎ ‎(ⅰ)若,求面积的最大值;‎ ‎(ⅱ)若的值与点的位置无关,求的值.‎ 滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷 高二年级数学 参考答案 一.选择题(共12小题)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A D C A A B A B C A D 二.填空题(共8小题)‎ ‎13. 2 14. —9 15. 16. 8 ‎ ‎17. 18. 2; 19. 20. ② ③ ‎ 三.解答题(共4小题)‎ ‎21.【解答】(本小题满分12分)‎ 解:(1)为公差不为零的等差数列,其中,,成等比数列,‎ 可得,即,可得,‎ 又,,即 ‎,即,;‎ ‎(2)由(1)可得 ‎,‎ 前项和:‎ ‎.‎ ‎22.【解答】(本小题满分12分)‎ ‎(1)证明:在平面中,,为的中点,‎ ‎,由,‎ ‎,‎ 平面,平面,‎ 直线平面;‎ ‎(2)解:,.‎ 又平面,平面平面,平面.‎ 平面,.‎ ‎,,如图建立空间直角坐标系.‎ 由题意得,,1,,,1,,,0,,,,,,0,.‎ ‎,.‎ 设平面的法向量为,,,‎ 则,令,则,.,,.‎ 又平面的法向量为,0,,‎ ‎.‎ 二面角的余弦值为;‎ ‎(3)解:若存在点是棱上一点,使平面,‎ 则存在,使得,‎ 因此.‎ 平面,由(2)得平面的法向量为,,.‎ ‎,即.‎ 解得,,‎ 存在点是棱上一点,使平面,此时.‎ ‎23.【解答】(本小题满分13分)‎ 解:(1)由,得.‎ 当时,.‎ 适合上式,‎ ‎;‎ ‎(2),‎ 设数列的前项和为,‎ 则 设①‎ 则②‎ ‎①-②得:.‎ 所以;‎ 则 ‎24.【解答】(本小题满分13分)‎ 解:(1)由题设知,,‎ 所以,故.‎ 因此,,.(2分)‎ ‎(2)由(1)可得,椭圆的方程为.‎ 设点,,点,,点,.‎ 若,则直线的方程为.‎ 联立直线与椭圆的方程,‎ 即.将消去,化简得.‎ 解得,,‎ 从而有,,,‎ 而,,‎ 因此,‎ ‎,‎ 点到直线的距离,‎ 所以,,‎ 因此, .‎ 又,即,.‎ 所以,当,即,时,取得最大值1‎ ‎(ⅱ)设直线的方程为.‎ 将直线与椭圆的方程联立,即.‎ 将消去,化简得,‎ 解得,,.‎ 所以 ‎ .‎ 因为的值与点的位置无关,即式取值与无关,‎ 所以有,解得.‎ 所以,的值为.‎
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