2019-2020学年天津市滨海新区高二上学期期末考试数学试题

2019-2020学年天津市滨海新区高二上学期期末考试数学试题

滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷 高二年级数学 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．设为虚数单位，复数等于　　‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“，”的否定是　　‎ A．， B．， ‎ C．， D．，‎ ‎3．若，，，且，则下列结论一定成立的是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设等差数列的前项和，若，则=　　‎ A．8 B．10 C．12 D．14‎ ‎5．已知等比数列中，，且，那么=　　‎ A．31 B．32 C．63 D．64‎ ‎6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，”则该人第四天走的路程为　　‎ A．24里 B．12里 C．6里 D．3里 ‎7．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎8．“是与的等差中项”是“是与的等比中项”的　　‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9．若正数，满足，则的最小值是　　‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎10．已知双曲线的离心率为，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．若，，，则的最小值为　　‎ A．8 B．7 C．6 D．5‎ ‎12．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为　　‎ A．2 B．4 C． D．‎ 二．填空题（共8小题）‎ ‎13．已知复数为虚数单位），则　 　．‎ ‎14．已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量 与平面平行，则等于　 　．‎ ‎15．不等式的解集为　 　．‎ ‎16．已知数列满足，，则　 　．‎ ‎17．正方体中，点是的中点，求与所成角的余弦值为　 　．‎ ‎18．直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，若的中点的纵坐标2，则　 　，直线的方程为　 　．（本题第一空2分，第二空3分）‎ ‎19．已知，使等式成立的实数的取值集合为，不等式的解集为，若是的必要条件，则的取值范围是　 　．‎ ‎20．给出下列四个命题 ‎①已知为椭圆上任意一点，，是椭圆的两个焦点，则的周长是8；‎ ‎②已知是双曲线上任意一点，是双曲线的右焦点，则；‎ ‎③已知直线过抛物线的焦点，且与交于，，，两点，则；‎ ‎④椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点，是它的焦点，长轴长为，焦距为，若静放在点的小球（小球的半径忽略不计）从点沿直线出发则经椭圆壁反射后第一次回到点时，小球经过的路程恰好是．‎ 其中正确命题的序号为　　（请将所有正确命题的序号都填上）‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知公差不为0的等差数列的前项和，且有，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列前项和．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为中点，，，．‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）在棱上是否存在点，使平面，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．‎ ‎23．（本题满分13分）‎ 已知数列的前项和为 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎24．（本题满分13分）‎ 在平面直角坐标系中，椭圆的上顶点到焦点的距离为2‎ ‎，离心率为．‎ ‎（1）求，的值．‎ ‎（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于、两点．‎ ‎（ⅰ）若，求面积的最大值；‎ ‎（ⅱ）若的值与点的位置无关，求的值．‎ 滨海新区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷 高二年级数学 参考答案 一．选择题（共12小题）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B A D C A A B A B C A D 二．填空题（共8小题）‎ ‎13. 2 14. —9 15. 16. 8 ‎ ‎17. 18. 2； 19. 20. ② ③ ‎ 三．解答题（共4小题）‎ ‎21．【解答】（本小题满分12分）‎ 解：（1）为公差不为零的等差数列，其中，，成等比数列，‎ 可得，即，可得，‎ 又，，即 ‎，即，；‎ ‎（2）由（1）可得 ‎，‎ 前项和：‎ ‎．‎ ‎22．【解答】（本小题满分12分）‎ ‎（1）证明：在平面中，，为的中点，‎ ‎，由，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 直线平面；‎ ‎（2）解：，．‎ 又平面，平面平面，平面．‎ 平面，．‎ ‎，，如图建立空间直角坐标系．‎ 由题意得，，1，，，1，，，0，，，，，，0，．‎ ‎，．‎ 设平面的法向量为，，，‎ 则，令，则，．，，．‎ 又平面的法向量为，0，，‎ ‎．‎ 二面角的余弦值为；‎ ‎（3）解：若存在点是棱上一点，使平面，‎ 则存在，使得，‎ 因此．‎ 平面，由（2）得平面的法向量为，，．‎ ‎，即．‎ 解得，，‎ 存在点是棱上一点，使平面，此时．‎ ‎23．【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（1）由，得．‎ 当时，．‎ 适合上式，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 设数列的前项和为，‎ 则 设①‎ 则②‎ ‎①-②得：．‎ 所以；‎ 则 ‎24．【解答】（本小题满分13分）‎ 解：（1）由题设知，，‎ 所以，故．‎ 因此，，．（2分）‎ ‎（2）由（1）可得，椭圆的方程为．‎ 设点，，点，，点，．‎ 若，则直线的方程为．‎ 联立直线与椭圆的方程，‎ 即．将消去，化简得．‎ 解得，，‎ 从而有，，，‎ 而，，‎ 因此，‎ ‎，‎ 点到直线的距离，‎ 所以，，‎ 因此， ．‎ 又，即，．‎ 所以，当，即，时，取得最大值1‎ ‎（ⅱ）设直线的方程为．‎ 将直线与椭圆的方程联立，即．‎ 将消去，化简得，‎ 解得，，．‎ 所以 ‎ ．‎ 因为的值与点的位置无关，即式取值与无关，‎ 所以有，解得．‎ 所以，的值为．‎