2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷

2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷

‎2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B=　 　．‎ ‎2．（4分）不等式＜1的解集为　 　．‎ ‎3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=　 　．‎ ‎4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为　 　．‎ ‎5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=　 　．‎ ‎6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是　 　．‎ ‎7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为　 　．‎ ‎8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎9．（5分）已知等比数列前n项和为Sn，则使得Sn＞2018的n的最小值为　 　．‎ ‎10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为　 　．‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为　 　．‎ ‎12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为　 　．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（　　）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 ‎14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0‎ ‎15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（　　）小时．‎ A．22 B．23 C．24 D．33‎ ‎16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（　　）‎ A．1 B．2 C． D．2π2‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．‎ ‎（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；‎ ‎（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．‎ ‎18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若c2=7b2，且，求b的值．‎ ‎19．（14分）已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p∈R）．‎ ‎（1）求p的值及{an}的通项公式；‎ ‎（2）在等比数列{bn}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．‎ ‎（1）求椭圆Γ的方程；‎ ‎（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．‎ ‎21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．‎ ‎（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；‎ ‎（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx（D）⊊D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，Dn⊊Dn﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市浦东新区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1．（4分）集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，则A∩B=　{1，3}　．‎ ‎【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={1，3，5，7}，‎ ‎∴A∩B={1，3}．‎ 故答案为：{1，3}．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）不等式＜1的解集为　（1，+∞）∪（﹣∞，0）　．‎ ‎【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，‎ 所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；‎ 故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）‎ ‎　‎ ‎3．（4分）已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=　3　．‎ ‎【解答】解：令f﹣1（5）=a，‎ 则f（a）=2a﹣1=5，‎ 解得：a=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）已知向量，，则向量在向量的方向上的投影为　﹣1　．‎ ‎【解答】解：向量=（1，﹣2），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为：||cos＜，＞===﹣1．‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎5．（4分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z|=　　．‎ ‎【解答】解：∵复数z满足，‎ ‎∴z=，‎ 化为4z=，‎ 即z=，‎ ‎∴|z|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）在（2x+1）5的二项展开式中，x3的系数是　80　．‎ ‎【解答】解：设求的项为Tr+1=C5r（2x）5﹣r，‎ 今r=2，‎ ‎∴T3=23C52x3=80x3．‎ ‎∴x3的系数是80．‎ 故答案为：80‎ ‎　‎ ‎7．（5分）某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，现从中抽取4个产品，其中恰好有1个二等品的概率为　　．‎ ‎【解答】解：某企业生产的12个产品中有10个一等品，2个二等品，‎ 现从中抽取4个产品，‎ 基本事件总数n==495，‎ 其中恰好有1个二等品包含的基本事件个数m==240，‎ ‎∴其中恰好有1个二等品的概率为p===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，若f（a+1）≤f（4），则实数a的取值范围是　[﹣5，3]　．‎ ‎【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上增函数，‎ 可得f（x）=f（|x|），‎ 则f（a+1）≤f（4），即为f（|a+1|）≤f（4），‎ 可得|a+1|≤4，‎ 即﹣4≤a+1≤4，‎ 解得﹣5≤a≤3，‎ 则实数a的取值范围是[﹣5，3]．‎ 故答案为：[﹣5，3]．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知等比数列前n项和为Sn，则使得Sn＞2018的n的最小值为　10　．‎ ‎【解答】解：根据题意，等比数列为{an}，‎ 其首项a1=，公比q==3，‎ 其前n项和Sn==（3n﹣1），‎ 若Sn＞2018，即3n﹣1＞18×2018又由n∈N*，‎ 则n≥10，‎ 故答案为：10．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的表面积为　36π　．‎ ‎【解答】解：设此圆锥的母线长为l，‎ 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，‎ ‎2π×3=×l，‎ 解得l=9，‎ ‎∴此圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×9+π×9=36π．‎ 故答案为：36π．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，令h（x）=f（x）+g（x），如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，则ω的最小值为　π　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sinωx（ω＞0），将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）=sin（ωx+）‎ ‎=cosωx的图象，‎ 令h（x）=f（x）+g（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），‎ 如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h（m）≤h（x）≤h（m+1）成立，‎ ‎∴•≤1，∴ω≥π，则ω的最小值为π，‎ 故答案为：π．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线上的两个动点，动点P满足，直线OM与直线ON斜率之积为2，已知平面内存在两定点F1、F2，使得||PF1|﹣|PF2||为定值，则该定值为　2　．‎ ‎【解答】解：设动点P（x，y），M（x1，y1 ）、N（x2，y2 ），‎ ‎∵直线OM与ON的斜率之积为2，‎ ‎∴•=2，‎ 所以2x1x2﹣y1y2=0，①，‎ ‎∵动点P满足，‎ ‎∴（x，y）=（2x1﹣x2，2y1﹣y2 ），‎ 则x=2x1﹣x2，y=2y1﹣y2，‎ ‎∵M、N是双曲线上的点，∴2x12﹣y12=4，2x22﹣y22=4．‎ ‎∴2x2﹣y2=2（2x1﹣x2）2﹣（2y1﹣y2）2‎ ‎=4（2x12﹣y12 ）﹣（2x22﹣y22 ）﹣4（2x1x2﹣y1y2 ）‎ ‎=4×4﹣4﹣4（2x1x2﹣y1y2 ）=12﹣4（2x1x2﹣y1y2 ），‎ 把①代入上式得：2x2﹣y2=12，‎ 即﹣=1，‎ 所以点P是双曲线﹣=1上的点，‎ 因为即﹣=1的两个焦点为：F1（﹣3，0）、F2（3，0），‎ 所以||PF1|﹣|PF2||为定值2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若实数x，y∈R，则命题甲“”是命题乙“”的（　　）条件．‎ A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 ‎【解答】解：由甲推不出乙，比如x=1，y=7，故不是充分条件，‎ 由乙可推出甲，是必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知△ABC中，，AB=AC=1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，则的最小值为（　　）‎ A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，，AB=AC=1，‎ 以A为原点，以AB所在对的直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则B（1，0），C（0，1）‎ 设P的坐标为（m，0）0≤m≤1，Q的坐标为（0，n），0≤n≤1，‎ ‎∴=（﹣1，n），=（m，﹣1），‎ ‎∴=﹣m﹣n=﹣（m+n）≥﹣2，当且仅当m=n=1时取等号，‎ 故的最小值为﹣2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），若该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是（　　）小时．‎ A．22 B．23 C．24 D．33‎ ‎【解答】‎ 解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：°C）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数），‎ 该食品在0°C的保鲜时间是192小时，在22°C的保鲜时间是48小时，‎ ‎∴，解得e11k=，‎ ‎∴该食品在33°C的保鲜时间：y=e33k+b=（e11k）3×eb=（）3×192=24（小时）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）关于x的方程x2+arcsin（cosx）+a=0恰有3个实数根x1、x2、x3，则x12+x22+x32=（　　）‎ A．1 B．2 C． D．2π2‎ ‎【解答】解：令f（x）=x2+arcsin（cosx）+a，‎ 可得f（﹣x）=（﹣x）2+arcsin（cos（﹣x））+a=f（x），‎ 则f（x）为偶函数，‎ ‎∵f（x）=0有三个实数根，‎ ‎∴f（0）=0，即0++a=0，故有a=﹣，‎ 关于x的方程即x2+arcsin（cosx）﹣=0，‎ ‎∴x2 =0，‎ 且+arcsin（cosx1）﹣=0，‎ x32+arcsin（cosx3）﹣=0，‎ x1=﹣x3，‎ 由y=x2和y=﹣arcsin（cosx），‎ 当x＞0，且0＜x＜π时，‎ y=﹣arcsin（cosx）=﹣arcsin（sin（﹣x））=﹣（﹣x））=x，‎ 则﹣π＜x＜0时，y=﹣arcsin（cosx）=﹣x，‎ 由y=x2和y=﹣arcsin（cosx）的图象可得：‎ 它们有三个交点，且为（0，0），（﹣1，1），（1，1），‎ 则x12+x22+x32=0+1+1=2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1．‎ ‎（1）求异面直线BC1与CD1所成的角；‎ ‎（2）求三棱锥B﹣D1AC的体积．‎ ‎【解答】解：（1）∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1∥BC1，‎ ‎∴∠AD1C是异面直线BC1与CD1所成的角或其补角．（2分）‎ ‎∵AB=2，AD=1，A1A=1．‎ ‎∴在等腰△ACD1中，‎ ‎∴cos∠CD1A===，…（4分）‎ ‎∴异面直线BC1与CD1所成的角．…（1分）‎ ‎（2）…（4分）‎ ‎=‎ ‎=．…（3分）‎ ‎　‎ ‎18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知，，且．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若c2=7b2，且，求b的值．‎ ‎【解答】解：（1）由，‎ ‎∴2ccosC+acosB+bcosA=0，‎ 由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0，‎ ‎∴2sinCcosC+sin（A+B）=0；‎ ‎2sinCcosC+sinC=0；‎ 由sinC≠0，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（2）由c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎∴7b2=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎∴a2+ab﹣6b2=0，‎ ‎∴a=2b；‎ 由知，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴b=2．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和（n∈N*，p∈R）．‎ ‎（1）求p的值及{an}的通项公式；‎ ‎（2）在等比数列{bn}中，b2=a1，b3=a2+4，令（k∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，等差数列{an}中，‎ 当n≥2时，有an=Sn﹣Sn﹣1=pn2+2n﹣[p（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2pn﹣p+2，‎ 则an+1=2p（n+1）﹣p+2，‎ ‎∴an+1﹣an=2p=2，‎ ‎∴p=1，‎ an=3+（n﹣1）2=2n+1，‎ ‎（2）∵b2=a1=3，b3=a2+4=9，‎ ‎∴q=3，，‎ 当n=2k，k∈N*时，‎ Tn=a1+b2+a3+b4+…+a2k﹣1+b2k=（a1+a3+…+a2k﹣1）+（b2+b4+…+b2k）=（3+7+…+4k﹣1）+（3+27+…+32k﹣1）‎ ‎==；‎ 当n=2k﹣1，k∈N*时，n+1是偶数，‎ ‎=，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，设点A（0，b），在△AF1F2中，，周长为．‎ ‎（1）求椭圆Γ的方程；‎ ‎（2）设不经过点A的直线l与椭圆Γ相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为﹣1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；‎ ‎（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆Γ上的一个动点，试根据△AEP面积S的不同取值范围，讨论△AEP存在的个数，并说明理由．‎ ‎【解答】（1）解：由，得，∴…①‎ 又△AF1F2周长为，∴…②‎ 联立①②，解得．‎ ‎∴椭圆方程为；‎ ‎（2）证明：设直线l方程：y=kx+m，交点B（x1，y1），C（x2，y2）‎ 由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．‎ ‎，‎ ‎，‎ 依题：kAB+kAC=﹣1，即：，‎ ‎∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，‎ ‎∴，得，则m=﹣2k﹣1．‎ ‎∴y=kx+m=kx﹣2k﹣1过定点（2，﹣1）；‎ ‎（3）解：lAE：x+y﹣1=0，．‎ 设直线l：y=﹣x+t与椭圆相切，‎ 由，得．‎ 由△=4t2﹣5（t2﹣1）=0，得t=．‎ 得两切线到lAE：x+y﹣1=0的距离分别为，‎ ‎∴，．‎ 当时，△AEP个数为0个；‎ 当时，△AEP个数为1个；‎ 当时，△AEP个数为2个；‎ 当时，△AEP个数为3个；‎ 当时，△AEP个数为4个．‎ ‎　‎ ‎21．（18分）已知函数f（x）的定义域为D，值域为f（D），即f（D）={y|y=f（x），x∈D}，若f（D）⊆D，则称f（x）在D上封闭．‎ ‎（1）分别判断函数f（x）=2017x+log2017x，在（0，1）上是否封闭，说明理由；‎ ‎（2）函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1（x），若函数f（x）在D上封闭，且函数f﹣1（x）在f（D）上也封闭，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）已知函数f（x）的定义域为D，对任意x，y∈D，若x≠y，有f（x）≠‎ f（y）恒成立，则称f（x）在D上是单射，已知函数f（x）在D上封闭且单射，并且满足fx（D）⊊D，其中fn+1（x）=f（fn（x））（n∈N*），f1（x）=f（x），证明：存在D的真子集，Dn⊊Dn﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f（x）在所有Di（i=1，2，3，…，n）上封闭．‎ ‎【解答】解：（1）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），值域为（﹣∞，+∞），（取一个具体例子也可），‎ 所以f（x）在（0，1）上不封闭．…（结论和理由各1分）‎ t=x+1∈（1，2），‎ g（x）在（0，1）上封闭…（结论和理由各1分）‎ ‎（2）函数f（x）在D上封闭，则f（D）⊆D．‎ 函数f﹣1（x）在f（D）上封闭，则D⊆f（D），‎ 得到：D=f（D）．…（2分）在D=[a，b]单调递增．‎ 则f（a）=a，f（b）=b在[﹣1，+∞）两不等实根．‎ ‎，‎ 故，解得． ‎ 另解：在[﹣1，+∞）两不等实根．‎ 令k+1=t2﹣t在t∈[0，+∞）有两个不等根，‎ 故 解得．‎ ‎（3）如果f（D）=D，则fn（D）=D，与题干矛盾．‎ 因此f（D）⊊D，取D1=f（D），则D1=f（D），则D1⊊D．‎ 接下来证明f（D1）⊊D1，因为f（x）是单射，因此取一个p∈D{D1，‎ 则p是唯一的使得f（x）=f（p）的根，换句话说f（p）∉f（D1）．‎ 考虑到p∈DD1，即，‎ 因为f（x）是单射，则f（D1）⊊f（D{p}）=f（D）{f（p）}=D1{f（p）}⊊D1‎ 这样就有了f（D1）⊊D1．‎ 接着令Dn+1=f（Dn），并重复上述论证证明Dn+1⊊Dn．‎ ‎　‎