- 2021-06-11 发布 |
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文档介绍
【数学】2019届高考一轮复习北师大版理9-12一道高考题引发的探究(抛物线)学案
一道高考题引发的探究 [真题示例] (2017·高考全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 [命题意图] 本题主要考查抛物线的定义、焦点弦及基本不等式的应用(或函数最值).考查逻辑推理和运算求解能力. [解题思路] 一般利用弦长公式计算,有时也会引入中间变量利用函数的有界性或取值范围求解. 一、解法探究 焦点弦 法一:设l1的倾斜角α,α∈(0°,90°),则l2的倾斜角为90°+α. 由焦点弦公式得|AB|=,|DE|==.所以|AB|+|DE|=+=. 所以当sin22α=1,即α=45°时,(|AB|+|DE|)min=16. 法二:由题意知,显然直线l1,l2的斜率都存在. 设l1的斜率为k,则l2的斜率为-. 由焦点弦公式得 |AB|=×4,|DE|=×4=(1+k2)×4. 所以|AB|+|DE|=4 =4≥4+8=16. 当且仅当k2=1,即k=±1时,(|AB|+|DE|)min=16. 弦长公式与抛物线定义 法三:显然l1,l2的斜率都存在,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-, 因为抛物线y2=4x的焦点F(1,0), 设l1的方程为y=k(x-1),代入y2=4x得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ=16(k2+1)>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=,x1x2=1. |AB|= ==. 同理|DE|=4(1+k2). 所以|AB|+|DE|=+4(1+k2).(下同法二). 法四:由法三与抛物线定义知, |AB|=x1+x2+2=+2=. k用-代换得|DE|==4(k2+1). 所以|AB|+|DE|=+4(k2+1).(下同法二) 答案:A 二、内涵探究 [问题1] 已知F为抛物线y2=4x的焦点,过F且互相垂直的弦AB与DE,则+=________. 解析:不妨设直线AB的倾斜角为α,α∈(0°,90°),则 由焦点弦公式得 |AB|=,|DE|==, 所以+=+=. 所以+=. 答案: [问题2] 已知F为抛物线y2=4x的焦点,AB为过F的弦. 有下列结论 ①+为定值; ②|AB|min=4; ③|FA|·|FB|min=4; ④以AB为直径的圆与y轴相切; ⑤·为定值.(O为坐标原点) 则正确的结论序号有________. 解析:因为F(1,0),设弦AB所在的直线方程为x=my+1.代入抛物线y2=4x得y2-4my-4=0. Δ=16(m2+1)>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4. 所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2. x1x2=·==1. 对于①,+=+ ===1. 即+为定值1,①正确. 对于②,|AB|=x1+x2+2=4m2+4≥4. 所以|AB|min=4,②正确. 对于③,|FA|·|FB|=(x1+1)(x2+1) =x1x2+x1+x2+1=4m2+4≥4,③正确. 对于④,AB的中点M的横坐标为=2m2+1, 所以M到y轴的距离为d=2m2+1,又|AB|=2m2+2>d. 故以|AB|为直径的圆与y轴相交. 故④错误.(事实上,以AB为直径的圆与准线相切). 对于⑤,·=x1x2+y1y2=1+(-4)=-3. 即·为定值-3,即⑤正确. 所以正确的序号有①②③⑤. 答案:①②③⑤ [问题3] 已知F为抛物线y2=4x的焦点,过F且互相垂直的弦AB与DE,则四边形ADBE面积的最小值为( ) A.16 B.32 C.48 D.64 解析:选B.由问题1知,S四边形ADBE=|AB|·|DE| =··=. 当sin22α=1,即α=45°时,S四边形ADBE的最小值为32. 三、外延探究 [问题4] 过椭圆C:+=1的右焦点F且互相垂直的两弦分别为AB与DE. (1)求证+为定值,并求|AB|+|DE|的最小值; (2)求四边形ADBE面积S的最小值,并求此时直线AB的方程. 解:(1)由+=1知F(1,0). 设直线AB的方程为x=my+1. 代入+=1得(4+3m2)y2+6my-9=0, Δ=144(m2+1)>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=-,y1y2=. 所以|AB|= = = = =. m用-代换得|DE|=. 所以+ =+==. 所以+=(定值). (|AB|+|DE|) =2++≥2+2=4. 即(|AB|+|DE|)≥4. 所以|AB|+|DE|≥, 当且仅当|AB|=|DE|=时, |AB|+|DE|取得最小值. (2)因为AB⊥DE. 所以S=|AB|·|DE| =·· =72· =72·. 令t=+2≥4. 所以S=72·=. 所以当t=4时,Smin=. 即当m=±1时,S取得最小值. 此时,直线AB的方程为x=±y+1. 即y=x-1或y=-x+1. [问题5] 如图所示.已知点E(m,0)为抛物线y2=4x内的一个定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线,分别交抛物线于点A、B、C、D,且M、N分别是AB、CD的中点. (1)若m=1,k1k2=-1,求三角形EMN面积的最小值; (2)若k1+k2=1,求证:直线MN过定点. 解:(1)当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点, 因为k1k2=-1,所以AB⊥CD, 设直线AB的方程为y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k1y2-4y-4k1=0,y1+y2=, y1y2=-4, 因为AB中点M, 所以M, 同理,点N(2k+1,-2k1). 所以S△EMN=|EM|·|EN|=·=2≥2=4, 当且仅当k=,即k1=±1时,△EMN的面积取最小值4. (2)证明:设直线AB方程为y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2), 由得k1y2-4y-4k1m=0,y1+y2=, y1y2=-4m, 因为AB中点M, 所以M, 同理,点N, 所以kMN===k1k2, 所以直线MN:y-=k1k2, 即y=k1k2(x-m)+2, 所以直线MN恒过定点(m,2).查看更多