2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）数学（理）试题

2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）数学（理）试题

秘密★启用前 ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）‎ 数 学（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一． 选择题（每题5分，共60分）‎ ‎1. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）‎ ‎ A. 3 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎2. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎3. 已知向量，且，则m =（ ）‎ ‎ A．8 B．6 C．-6 D．-8‎ ‎4．已知双曲线，其焦点到的一条渐近线的距离为2,该双曲线的离心率为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎5．我国古代数学著作（算法统宗》中有这样一个问题（意为）:“有一个人要走378里路,第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．“那么，此人第4天和第5天共走路程是　　‎ A．24里 B．36里 C．48里 D．60里 ‎6. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的 ‎ 安排方式共有（ ）‎ ‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎7．已知满足，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知 则a，b，c的大小关系为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 函数在的图像大致为(　 　)‎ ‎10. 如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与 ‎ 上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为( ) ‎ ‎ ‎ ‎11.设抛物线的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点，则的方程为（ ）‎ ‎ A.或 B.或 ‎ C.或 D.或 ‎12.若对于任意的,,有恒成立,则 ‎ 的最小值为 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.若x，y满足，则的最小值为 ‎ ‎14.的展开式中，的系数是_______．（用数字填写答案）‎ ‎15.已知函数，，则 ‎ _____．‎ ‎16.在中，若，则的最小值为 ‎ 三、解答题（共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本题满分12分）设等差数列的前项和为，数列是等比数列， ‎ ‎ ,,.‎ ‎ （1）求数列和 的通项公式； ‎ ‎ （2）设, 求数列的前项和. ‎ ‎18.（本题满分12分）在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后 ‎ 以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2‎ ‎ 元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布 ‎ 直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示 频率/组距 ‎ 米粉的需求量，（元）表示利润.‎ ‎ （1）估计该天食堂利润不少于760元的概率； ‎ ‎ （2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值 ‎ 作为该区间的需求量，以需求量落入该区 ‎ 间的频率作为需求量在该区间的概率，求 ‎ ‎ 的分布列和数学期望. ‎ ‎19.（本题满分12分）如图所示，直三棱柱 的各棱长均相等，点为 ‎ 的中点. ‎ ‎ （1）证明：; ‎ ‎ （2）求二面角 的余弦值. ‎ ‎20.（本题满分12分）己知圆F1：(x+1)2 +y2= r2(1≤r≤3)，圆F2：(x-1)2+y2= (4-r)2 ． ‎ ‎ （1）证明：圆F1与圆F2有公共点，并求公共点的轨迹E的方程； ‎ ‎ （2）已知点Q(m，0)(m<0)，过点且斜率为k(k≠0）的直线与（Ⅰ）中轨迹E相交 ‎ 于M，N两点，记直线QM的斜率为，直线QN的斜率为， 是否存在实数 ‎ 使得为定值？若存在，求出的值，若不存在，说明理由． ‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，为的导数．‎ ‎（1）证明：在区间存在唯一零点；‎ ‎（2）若x∈[0,π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．‎ ‎ 请考生在第22,23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题得分.作答时请写清题号 ‎22.（本题满分10分）在平面直角坐标系中，的参数方程为（t为 ‎ 参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标 ‎ 方程为. ‎ ‎ （1）求的普通方程和曲线C的直角坐标方程； ‎ ‎ （2）求曲线C上的点到 距离的最大值及该点坐标. ‎ ‎23.（本题满分10分）设函数. ‎ ‎ （Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎ （Ⅱ）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试适应性考试（二）‎ 数学参考答案（理科）‎ 一、请将选择答案填入下列表格（每小题5分，共计60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C A B B D A B C A D C 二、 请将填空题答案填入下列横线（每小题5分，共计20分）‎ ‎13．2 14．10 15. -2 16. ‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）‎ ‎17. （1）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 . ‎ ‎ ，即 ，‎ ‎ ..........................................................................................................2分 ‎ ， ， ......................................3分 ‎ . ， ， ............................6分 ‎（2）解： .............................8分 ‎ ...........................................10分 ‎ .....12分 ‎18.【答案】 （1）解：一斤米粉的售价是 元.‎ 当 时， .‎ 当 时， .‎ 故 ............................................................................3分 设利润 不少于760元为事件 ，‎ 利润 不少于760元时，即 .‎ 解得 ，即 .‎ 由直方图可知，当 时，‎ ‎ .........................................................5分 ‎ （2）解：当 时， ；‎ 当 时， ；‎ 当 时， ；‎ 当 时， ‎ 所以 可能的取值为460，660，860，960.........................................................9分 ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ .‎ 故 的分布列为 ‎........................................................................10分 ‎   ................................12分 ‎19.【答案】 （1）证明：设 与 交点为 ，连接 ， . 由题可知四边形 为正方形，所以 ，且 为 中点.‎ 又因 ， ，‎ 所以 ，所以 .‎ 又因为 ，所以 平面 .‎ 因为 平面 ，所以 ‎ ‎.......................................................................................5分 （2）解：取 的中点 ，连接 ， ，在平面 过点 内作 的垂线，如图所示，建立空间直角坐标系 . ‎ 设 ，则 ， ， ， .‎ 所以 ， .......................................................................7分 设平面 的一个法向量为 ，‎ 则 ，令 ，则 ................9分 由（1）可知平面 的一个法向量为 ，.............................10分 则 ‎ 由图可知二面角 为锐角，所以其余弦值为 ......................................12分 ‎20. （1）证明：因为 ， ，所以 ， ‎ 因为圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，......................................................1分 又因为 ，所以 ，即 ，‎ 所以圆 与圆 有公共点，.........................................................................................2分 ‎ 设公共点为 ，因此 ，所以 点的轨迹 是以 ， 为焦点的椭圆，所以 ， ， ，....................................4分 即轨迹 的方程为 ..........................................................................................5分 ‎（2）解：过 点且斜率为 的直线方程为 ，设 ， ‎ 由 消去 得到 ，‎ 则 ， ， ① ...............................................................7分 因为 ， ，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ 将①式代入整理得 ...................................................10分 因为 ，‎ 所以当 时，即 时， .‎ 即存在实数 使得 ..............................................................12分 ‎21.解：（1）设，则..........1分 当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减..........................................................................................3分 又，故在存在唯一零点.............4分 所以在存在唯一零点.......................................................................5分 （2） 由题设知f（x）≥ax ，则解得a≤0..............................................6分 现在只要说明a≤0符合题意 由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，‎ 所以在单调递增，在单调递减...........................................8分 又，所以，当时，f（x）≥0................................10分 又当时，ax≤0，故...............................................................11分 因此，a的取值范围是.........................................................................................12分 ‎22.（1）解：由 （t为参数），得 . ‎ 消去参数t ， 得 的普通方程为 ；..........................................3分 将 去分母得 ，将 代入，得 ‎ 所以曲线C的直角坐标方程为 ................................................................................................5分 ‎ ‎（2）解：由（1）可设曲线C的参数方程为 （ 为参数），......................6分 ‎ 则曲线C上的点到 的距离 ‎ ，........................................................................................7分 当 ，即 时，...............................................................8分 ‎ ，.......................................................................................................................9分 此时， ，...................................................................10分 所以曲线C上的点到直线 距离的最大值为 ，该点坐标为 .......................10分 ‎23.【答案】 解：（Ⅰ） ，..........................................................2分 ‎ 当 时， ，解得 ，所以 ；‎ 当 时， ，解得 ；‎ 当 时， ，解得 ，所以 ，...............................................4分 综上所述，不等式 的解集为 或 .............................................5分 ‎（Ⅱ）∵ ‎ ‎（当且仅当 即 时取等）.................................................7分 ‎∴ ..........................................................................................10分