陕西省咸阳市2018-2019学年高二下学期期末考试教学质量检测数学（文）试题

陕西省咸阳市2018-2019学年高二下学期期末考试教学质量检测数学（文）试题

咸阳市2018~2019学年度第二学期期末教学质量检测 高二数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出复数z，然后根据公式，求出复数的模即可.‎ ‎【详解】，，.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的模计算，较基础.‎ ‎2.已知函数在处的导数为l，则（ ）‎ A. 1 B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的定义可得到， ，然后把原式等价变形可得结果.‎ ‎【详解】因为，且函数在处的导数为l，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的定义及计算，较基础.‎ ‎3.已知抛物线的准线方程为，则的值为（ ）‎ A. 8 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的方程，得出，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由抛物线的准线方程为，所以，解得，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及抛物线的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于容易题．‎ ‎4.若命题“”是假命题，“”也是假命题，则（ ）‎ A. 命题“”为真命题，命题“”为假命题 B. 命题“”为真命题，命题“”为真命题 C. 命题“”为假命题，命题“”为假命题 D. 命题“”为假命题，命题“”为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合命题“”是假命题，“”是假命题，判断出的真假，即可求解．‎ ‎【详解】根据复合命题“”是假命题，“”是假命题，‎ 可得至少有一个为假命题，且是真命题，所以为假命题，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎5.设函数，则（ ）‎ A. 函数无极值点 B. 为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导函数，即可求得其单调区间，然后求极值．‎ ‎【详解】解：由函数可得：，‎ ‎∴函数在R上单调递增．‎ ‎∴函数的单调递增区间为．‎ ‎∴函数无极值点．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，属于基础题。‎ ‎6.已知是虚数单位，，则“”是“为纯虚数”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．‎ ‎【详解】因为＝，‎ 当时，＝2i，是纯虚数，‎ 当为纯虚数时，，‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查充分必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎7.下列关于命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题 C. 命题“，”的否定是“，”‎ D. 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用四种命题的逆否关系以及命题的否定，判断选项的正误，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，命题“若，则”的否命题是：“若，则”所以A不正确；‎ 命题“若，则互为相反数”的逆命题是：若互为相反数，则，是真命题，正确；‎ 命题“，”的否定是：“，”所以C不正确；‎ 命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”所以D不正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假的判断与应用，涉及命题的真假，命题的否定，四种命题的逆否关系，，着重考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 16 D. 32‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用椭圆的定义，结合，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，椭圆的短轴长为，离心率为，‎ 所以，，则，所以，‎ 所以的周长为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程，以及简单的几何性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9.二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.则由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四维测度（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，，由此类比可得，，从而可得到结果.‎ ‎【详解】因为二维空间中圆的一维测度（周长），二维测度（面积），观察发现；三维空间中球的二维测度（表面积），三维测度（体积），观察发现.所以由四维空间中“超球”的三维测度，猜想其四为测度W，应满足 ，又因为，所以，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查类比推理以及导数的计算.‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，输出的值等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，当时不满足条件，退出循环，输出的值为，即可得解．‎ ‎【详解】模拟执行程序框图，可得，‎ 执行循环体，，‎ 满足条件；‎ 满足条件；‎ ‎…‎ 观察规律可知，当时，满足条件，；‎ 此时，不满足条件，退出循环，输出．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，解题时应模拟程序框图的运行过程，即可得出正确的结论，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11.已知关于的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.8‎ ‎3.1‎ ‎4.3‎ A 变量，之间呈正相关关系 B 可以预测当时，‎ C. 由表中数据可知，该回归直线必过点 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归方程的定义以及相关的结论，逐项判断，可得结果.‎ ‎【详解】选项A，因为线性回归方程为，其中，所以变量，之间呈正相关关系，正确；选项B，当时，，正确；选项C，根据表格数据可得， ， ，因为回归直线必过点，所以，正确；选项D， ‎ ‎，解得，错误.故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性相关与线性回归方程的应用.‎ ‎12.已知定义在上的可导函数的图象如图所示为函数的导函数，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过图象得到函数的单调性，从而得到导数在某区间的符号，通过讨论的符号即可得到不等式的解集，得到答案．‎ ‎【详解】由图象，可知的解为和，‎ 函数在上增，在上减，在上增，‎ ‎∴在上大于0，在小于0，在大于0，‎ 当时，解得；‎ 当时，解得．‎ 综上所述，不等式的解集为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的图象，导数的运算以及其他不等式的解法，分类讨论的思想的渗透，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知复数满足（为虚数单位），则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【详解】由题意，复数，可得，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线渐近线方程得，从而可求，最后用离心率的公式，可算出该双曲线的离心率，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，‎ 所以，所以，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎15.先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上，设事件 为“第一次正面向上”，事件为“后两次均反面向上”，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先列出事件与事件的基本事件的个数，再利用独立事件与条件概率的求法可得，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，事件A为“第一次正面向上”，‎ 其基本事件为（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反）共4个，‎ 在第一次正面向上的条件下，“后两次均反面向上”，其基本事件为（正，反，反）共1个，‎ 即，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了独立事件与条件概率的计算，其中解答中熟记条件概率的计算公式，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎16.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，那么我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是________.‎ ‎【答案】丙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分类讨论，即可得出符合题意的结果，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，若乙坐3号位置，则丁坐2号或4号位置，甲、丙两人必定有1人坐1号位置，与题意矛盾，‎ 若乙坐2号位置，则丙坐3号位置，甲坐4号位置，丁坐1号位置，符合题意，‎ 故答案为：丙．‎ ‎【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.求下列函数的导数：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由导数的计算公式，进而计算，即可求解，得到答案；‎ ‎（2）由导数的乘法法则，进行计算、变形，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得.‎ ‎（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的计算，其中解答中熟练掌握导数的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎18.一个正三角形等分成4个全等的小正三角形，将中间的一个小正三角形挖掉（如图1），再将剩余的每个正三角形分成4个全等的小正三角形，并将中间的一个小正三角形挖掉，得图2，如此继续下去……‎ ‎（Ⅰ）图3共挖掉多少个正三角形？‎ ‎（Ⅱ）第次挖掉多少个正三角形？第个图形共挖掉多少个正三角形？‎ ‎【答案】（Ⅰ）13；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图（3）共挖掉正三角形个数，即可求解，得到答案；‎ ‎（2）求得，得到，求得数列的通项公式和前n项公式，即可求解．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，图3共挖掉正三角形个数为.‎ ‎（Ⅱ）设第次挖掉正三角形的个数为，则，，，‎ 可得，即，可得∴，‎ 所以第个图形共挖掉正三角形个数为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了合情推理的应用，其中解答中认真观察，得到图形的计算规律是解答的关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎19.设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点，，线段中点的横坐标为2，且.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若真线（斜率存在）经过焦点，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）设出点的坐标，求出线段中点的横坐标，再利用焦点弦求得的值，即可得出抛物线的标准方程；‎ ‎（II）设出过焦点的直线方程，与抛物线方程联立，消去，利用根与系数的关系求出斜率，即可写出直线的方程．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，设点，，‎ 则线段中点的横坐标为，所以，‎ 又，得，‎ 所以抛物线的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的焦点为，‎ 故设直线的方程为，，‎ 联立，消去得，‎ ‎∴，解得，所以直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与性质，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线联立方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎20.某社区为了解居民参加体育锻炼的情况，从该社区随机抽取了18名男性居民和12名女性居民，对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查.现按是否参加体育锻炼将居民分成两类：甲类（不参加体育锻炼）、乙类（参加体育锻炼），结果如下表：‎ 甲类 乙类 男性居民 ‎3‎ ‎15‎ 女性居民 ‎6‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）根据上表中的统计数据，完成下面的列联表；‎ 男性居民 女性居民 总计 不参加体育锻炼 参加体育锻炼 总计 ‎（Ⅱ）通过计算判断是否有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？‎ 附：，其中.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（Ⅰ）列联表见解析；（Ⅱ）有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）直接根据给出的数据填入表格即可；（Ⅱ）根据列联表，代入公式，计算出的观测值与临界值进行比较，进而得出结论.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）填写的列联表如下：‎ 男性居民 女性居民 总计 不参加体育锻炼 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ 参加体育锻炼 ‎15‎ ‎6‎ ‎21‎ 总计 ‎18‎ ‎12‎ ‎30‎ ‎（Ⅱ）计算，‎ ‎∴有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查列联表及独立性检验，较基础.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，直线与圆相切.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆的交点为，求弦长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用直线与圆相切，先求出的值，再结合椭圆的离心率求出的值，最终确定椭圆的方程；（2）先设点，联立直线与椭圆的方程，消去可得，然后根据二次方程根与系数的关系得到，最后利用弦长计算公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）由直线与圆相切得,‎ 由得,‎ ‎∴椭圆方程为;‎ ‎（2）,‎ ‎，‎ 设交点坐标分别为,‎ 则,‎ 从而 所以弦长.‎ 考点：1.直线与圆的位置关系；2.椭圆的标准方程及其几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若方程在上有两个实数根，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用点是直线和的公共点，求得，再利用导数求解．‎ ‎（Ⅱ）方程在上有俩个实数根，即方程在上有两个实数根，令，利用导数即可求解．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由函数，则，‎ 由题意可得，且，‎ 解得，，所以，则，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ 所以的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）方程在上有两个实数根，‎ 即方程在上有两个实数根，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减，‎ 所以，又，，所以，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数几何意义，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎