甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学（理）试题

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二下学期4月月考数学（理）试题

‎2019-2020兰州一中高二下学期四月月考 数学(理)试题 ‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、单项选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若复数z的虚部小于0，且，则iz＝（　　）‎ A．1+3i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i ‎2．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（ ）‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎3．下列事件A,B是独立事件的是(　　)‎ A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”‎ B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”‎ C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”‎ D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”‎ ‎4．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n﹣1）（n∈N+）时，由“n=k→n=k+‎1”‎等式两边需同乘一个代数式，它是（　 　）‎ A．2k+2 B．（2k+1）（2k+2） C． D．‎ ‎5．直线y＝kx+b与曲线y＝x3+ax+9相切于点（3，0），则b的值为（　　）‎ A．﹣15 B．﹣‎45 ‎C．15 D．45‎ ‎6．已知函数，则的值为（ ）‎ A．10 B． C． D．20‎ ‎7． ‎ ‎2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（　　）‎ A．72 B．‎60 ‎C．36 D．24‎ ‎8．设随机变量的分布列为，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．二颗骰子各掷一次，设事件A=“二个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设复数，则（　　）‎ A．1+i B．﹣i C．i D．0 ‎ ‎11．已知函数有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎12．已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＞f´（x）对于x∈R恒成立（e为自然对数的底），则（　　）‎ A．e2019•f（2020）＞e2020•f（2019） B．e2019•f（2020）=e2020•f（2019）‎ C．e2019•f（2020）＜e2020•f（2019） D．e2019•f（2020）与e2020•f（2019）大小不确定 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13. 若，则的值为 .‎ ‎14．设随机变量，则_______.‎ ‎15．将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有　 　种．‎ ‎16．已知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调．则a的取值范围是　 　．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，（），设对应的复数为z. ‎ ‎（1）当实数m取何值时，复数z纯虚数；‎ ‎（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 袋中有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.‎ ‎（1）求白球的个数；‎ ‎（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎2a a ‎（1）求a的值； ‎ ‎（2）若每个月被消费者投诉的次数互不影响，求该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次的概率.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求 ‎（1）的值；‎ ‎（2）展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（3）展开式中含的项的系数.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为万元，每生产万件需要再投入万元.设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每万件国家给予补助万元. （为自然对数的底数，e是一个常数.）‎ ‎（1）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式； ‎ ‎（2）当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数在处有极值．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎2019-2020兰州一中高二下学期四月月考数学(理)试题 ‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、单项选择题：本题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若复数z的虚部小于0，且，则iz＝（　C　）‎ A．1+3i B．2+i C．1+2i D．1﹣2i ‎2．函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示．则函数在内有几个极小值点（ A ）‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎3．下列事件A,B是独立事件的是(　A　)‎ A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”‎ B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”‎ C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”‎ D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”‎ ‎4．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•3…（2n﹣1）（n∈N+）时，由“n=k→n=k+‎1”‎等式两边需同乘一个代数式，它是（　 D　）‎ A．2k+2 B．（2k+1）（2k+2） C． D．‎ ‎5．直线y＝kx+b与曲线y＝x3+ax+9相切于点（3，0），则b的值为（　B　）‎ A．﹣15 B．﹣‎45 ‎C．15 D．45‎ ‎6．已知函数，则的值为（ C ）‎ A．10 B． C． D．20‎ ‎7．2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（　A　）‎ A．72 B．‎60 ‎C．36 D．24‎ ‎8．设随机变量的分布列为，则等于（ D ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．将二颗骰子各掷一次，设事件A=“二个点数不相同”，B=“至少出现一个6点”，则概率 等于（ D ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．设复数，则（　D　）‎ A．1+i B．﹣i C．i D．0 ‎ ‎11．已知函数有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是（B　　）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎12．已知f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的可导函数，且f（x）＞f′（x）对于x∈R恒成立（e为自然对数的底），则（　C　）‎ A．e2019•f（2020）＞e2020•f（2019） B．e2019•f（2020）=e2020•f（2019）‎ C．e2019•f（2020）＜e2020•f（2019） D．e2019•f（2020）与e2020•f（2019）大小不确定 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13. 若，则的值为 -64 .‎ ‎14．设随机变量，则_______.‎ ‎15．将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师2名学生组成，不同的安排方案共有　 　12种．‎ ‎16．已知函数f（x），无论t取何值，函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）总是不单调．则a的取值范围是　 　．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知复平面内的点A，B对应的复数分别为，（），设对应的复数为z. ‎ ‎（1）当实数m取何值时，复数z纯虚数；‎ ‎（2）若复数z在复平面上对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.‎ ‎【解】 （1）对应的复数为z，，‎ 复数z是纯虚数，，解得， ； …… ……5分 ‎（2）复数z在复平面上对应的点坐标为，‎ 位于第四象限，，即， . …… ……10分 ‎18. （本小题满分12分）‎ 袋中有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.‎ ‎（1）求白球的个数；‎ ‎（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.‎ ‎【解析】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则,解得.故白球有5个. …… ………… 4分 ‎（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，.‎ 于是可得其分布列为:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎…… ………… ……12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ 0.1‎ ‎ 0.3‎ ‎ ‎‎2a ‎ a ‎（1）求a的值； ‎ ‎（2）若每个月被消费者投诉的次数互不影响，求该汽车品牌在五个月内被消费者投诉3次的概率.‎ ‎【解】(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+‎2a+a=1，解答a=0.2， …… ………… ……3分 X的概率分布为 ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎ 0.1‎ ‎ 0.3‎ ‎ 0.4‎ ‎ 0.2‎ ‎(2)设事件A表示“五个月内共被投诉3次”，事件表示“五个月内有三个月被投诉1次，另外两个月被投诉0次”，事件表示“五个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉1次，还有三个月被投诉0次”，事件表示“五个月内有一个月被投诉3次，另外四个月被投诉0次”， ‎ 则由事件的独立性得 ，， ‎ ‎ 所以.‎ 故该企业在这五个月内被消费者投诉3次的概率为0.0052. …… ………… ……12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 在的展开式中，前3项的系数成等差数列，求 ‎（1）的值；‎ ‎（2）展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（3）展开式中含的项的系数.‎ ‎【解】（1）因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，‎ 所以，即，所以（舍）或. …… ………… ……4分 ‎（2）由，展开式中二项式系数最大的项为第五项，即. ……8分 ‎（3）通项公式：‎ 由，所以含的项的系数. …… ………… ……12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为万元，每生产万件需要再投入万元.设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每万件国家给予补助万元. （为自然对数的底数，是一个常数.）‎ ‎（1）写出月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；‎ ‎（2）当月生产量在万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）. （注：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本）.‎ ‎【解】（1）由于：月利润=月销售收入+月国家补助-月总成本，可得 ‎ …… ………… ……4分 ‎（2）的定义域为，‎ 且列表如下：‎ ‎ ‎ ‎（1，e） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎+ ‎ ‎ ‎ ‎- ‎ ‎ ‎ 增 ‎ 极大值 ‎ 减 ‎ 由上表得：在定义域上的最大值为.‎ 且.即：月生产量在万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为，此时的月生产量值为（万件）. …… ………… ……12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数在处有极值．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解】（1），，‎ 因为函数在处有极值，‎ 得，，解得，，‎ 所以； …… ………… ……4分 ‎（2）法一 不等式恒成立，即恒成立，‎ 令，‎ 则不等式对任意的恒成立，则.‎ ‎． ‎ 又函数的定义域为.‎ ‎①当时，对任意的，，则函数在上单调递增．‎ 又，所以不等式不恒成立；‎ ‎②当时，．‎ 令，得，当时，；当时，．‎ 因此，函数在上单调递增，在上单调递减．‎ 故函数的最大值为，由题意得需.‎ 令，函数在上单调递减，‎ 又，由，得，，‎ 因此，实数的取值范围是； …… ………… ……12分 法二 不等式恒成立，即恒成立 即恒成立.‎ 令，知 令，则由 知为（x>0）增函数.‎ 而当01时h(x)>0. 即当01时. 故 ‎ …… ………… ……12分