2018-2019学年江西省上饶市玉山县第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年江西省上饶市玉山县第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省上饶市玉山县第一中学高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．如果，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，可判定B正确；根据的范围，可取特殊值代入判定，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，‎ 又因为，所以，且，所以，‎ 同时，因为，不妨令，显然都不正确，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记的化简公式，合理使用特殊值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）‎ A．或 B．‎ C．或 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求得分式不等式的解集或，再根据充分不必要条件的判定方法，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，不等式，解得或，‎ 根据充分不必要条件的判定方法，可得或是或成立的充分不必要条件，即或是成立的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分不必要条件的判定方法，其中熟记分式不等式的解法，合理利用充分不必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3．抛物线的准线方程为，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由抛物线的准线方程为，得到，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛物线的准线方程为，‎ 又由抛物线的准线方程为，即，解得，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质，列出方程求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎4．已知圆的极坐标方程为，则其圆心坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，圆的极坐标方程为，即，‎ 即，所以，‎ 所以圆心坐标为，‎ 又由，可得圆心的极坐标为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎5．将的横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，则曲线的方程变为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，令，代入椭圆，化简即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，将椭圆的横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，‎ 所以令，代入，得，‎ 所以曲线的方程变为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了曲线方程的图象变换，其中解答中熟记曲线图象变换的公式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎6．已知是椭圆上任意一点，则点到的距离的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设点，求得点到直线的距离为，根据三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，点是椭圆上任意一点，‎ 设点，‎ 则点到直线的距离为，‎ 当时，距离取得最大值，最大值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的参数方程的应用，以及点到直线的距离公式和三角函数的性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的参数方程，设点，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎7．已知函数的导函数为，且满足 ，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求得，令，解得，得到，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数 ，则，‎ 令，则，解得，即，‎ 令，则，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎8．斜率为且过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点，若，则实数 为（ ）‎ A．3 B．2 C．5 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】求得抛物线的焦点坐标，得直线方程为，联立方程组，求得，在根据向量的坐标运算，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，抛物线的焦点坐标为，设，‎ 直线方程为，联立，化为，‎ 解得，‎ 因为，所以，解得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了向量的坐标运算，其中把直线的方程和抛物线的方程联立方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．给出下列四个命题：‎ ‎①若命题，则；‎ ‎②若为的极值点，则”的逆命题为真命题；‎ ‎③“平面向量的夹角是钝角”的一个充分不必要条件是“”；‎ ‎④命题“，使得”的否定是：“，均有”．‎ 其中正确的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】①根据特称命题的否定，即可作出判断；②先写出原命题的逆命题，再判断其真假，从而判定其真假；③利用充分条件与必要条件的概念进行判断；④根据特称命题的否定，即可作出判断，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①中，由全称命题与特称命题的关系，则命题，则，所以①错误的；‎ ‎②中，命题为的极值点，则”的逆命题为若，则为的极值点，根据函数极值点的定义，可得是错误的；‎ ‎③中，根据向量的夹角的概念可得，若，则向量的夹角的范围是，所以③不正确；‎ ‎④根据全称命题与特称命题的关系，可得命题“，使得”的否定是：“，均有”是正确的，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的中真假判定问题，其中解答中涉及到全称命题与特称命题的关系，以及四种命题的关系和向量的夹角的概念及应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10．设，，，且，则的最小值（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】由 ，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，得 ‎，‎ 即，当且仅当时取等号，‎ 所以的最小值，‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求解最小值问题，其中解答中合理化简，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理运算能力，属于中档试题。‎ ‎11．设双曲线的右焦点为，为坐标原点，若双曲线及其渐近线上各存在一点，，使得四边形为矩形，则其离心率为（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】设双曲线的一条渐近线为，求得到渐近线的距离，可得矩形的另一条边，求得的方程，代入双曲线的方程求得的坐标，由列出方程，化简可得所求离心率的值。‎ ‎【详解】‎ 设双曲线的一条渐近线方程为，‎ 由到渐近线的距离为，可得，即有，‎ 由，联立 ，解得，‎ 则，‎ 又由，化简得，即，所以，‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答利用直线与双曲线联立方程组，求得的点坐标是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题。‎ ‎12．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数使得，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令，运用导数求出的最小值，再运用基本不等式求得，从而可得，由等号成立的条件，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 令，‎ 令，则，‎ 故在上是减函数，上是增函数，‎ 故当时，的最小值为，‎ 又由 ‎（当且仅当，即时，等号成立），‎ 故（当且仅当等号同时成立时，等号成立），‎ 故，即，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的综合应用，及基本不等式的应用，其中解答中合理构造新函数，利用导数求得函数的最值，以及合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。‎ 二、填空题 ‎13．已知双曲线的左右焦点为，且，则到一渐近线的距离为__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，求得双曲线的方程，得其中一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，双曲线的左右焦点为，‎ 因为，即，解得，所以，解得，即，‎ 所以双曲线的方程，则其中一条渐近线方程为，即，‎ 所以焦点到直线的距离为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，其中解答中根据双曲线的几何性质，合理利用点到直线的距离公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎14．已知函数+2在上单调递增，则的取值范围是__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数在区间上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，设，利用导数求得的单调性与最小值，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 因为函数在区间上单调递增，即在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 设，则，‎ 所以当时，，所以为单调递增函数，‎ 所以函数的最小值为，所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用函数的单调性求参数问题，其中解答中把函数的转化为不等式的恒成立问题，利用导数求得新函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎15．抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最大值时，直线的方程为__．‎ ‎【答案】或 ‎ ‎【解析】设 ，根据两点间的距离公式，可得，再根据基本不等式求出得值，即可求出直线AP的方程，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 设点点的坐标为，因为，‎ 所以，‎ ‎,‎ 所以，‎ 当且仅当，即时取等号，此时点的坐标为和，‎ 此时直线的方程为，即或，‎ 故答案为：或。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的方程，以及基本不等式的应用，其中解答中根据两点间的距离公式，转化为基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎16．若定义域为的函数满足，则不等式的解集为_________（结果用区间表示）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由不等式，可构造新函数，根据题设条件，求得函数的单调性，再利用函数的单调性，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，则，‎ 因为，所以，所以函数为上的单调递增函数，‎ 又由，可得，即，‎ 因为函数为上的单调递增函数，所以，‎ 所以不等式的解集为，‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中根据不等式，构造新函数，然后利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。‎ 三、解答题 ‎17．已知命题p:，不等式恒成立；：方程表示焦点在轴上的椭圆．‎ ‎（1）若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）或．（2）或 ‎【解析】（1）由为假命题，则为真命题，转化为 恒成立，即可求解；‎ ‎（2）分别求得命题都为真命题时实数的取值范围，在根据为真命题，为假命题，分类讨论，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若为假命题，则为真命题．若命题真，‎ 即对 恒成立，则，所以 ‎（2）命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，或．‎ 为真命题，且为假命题，、一真一假 ‎①如果真假，则有，得；‎ ‎②如果假真，则有，得．‎ 综上实数的取值范围为或．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用复合命题的真假求解参数问题，其中解答中合理转化，以及正确求解命题为真命题时实数的取值范围是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设不等式的解集为，若，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】(1)利用零点讨论法解绝对值不等式得解；（2）若，则问题转化为|在恒成立，即，故，故在恒成立，即在恒成立，所以.‎ ‎【详解】‎ 时，，‎ 若，时，，解得：，故，‎ 时，，解得：x≤1，故﹣1＜x＜1，‎ x≤﹣1时，，解得：，故，‎ 综上，不等式的解集是；‎ 若，‎ 则问题转化为|在恒成立，‎ 即，‎ 故，‎ 故在恒成立，‎ 即在恒成立，‎ 故，‎ 即的范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用零点讨论法解绝对值不等式，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19．在直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，且设定点，求的值．‎ ‎【答案】（1）的普通方程为；曲线的直角坐标方程为：．（2）‎ ‎【解析】（1）由直线的参数方程，消去参数，即可求得直线的普通方程，由极坐标与直角坐标的互化公式，即可取得曲线的直角坐标方程； ‎ ‎（2）由题意，求得直线的参数方程，代入椭圆的方程，利用参数的几何意义，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由消去得， ‎ 由得，即，‎ 故直线的普通方程为；曲线的直角坐标方程为：． ‎ ‎（2）因为直线过，所以可设直线的参数方程为 并代入椭圆的方程，整理得：， ‎ 设，对应的参数为，，则，，且 ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中熟记互化公式，以及合理利用直线的参数方程的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎20．已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点处的切线与轴和轴围成的三角形面积；‎ ‎（2）若过点可作三条不同直线与曲线相切，求实数的取值范围 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）对求导，求得切线方程，解得与坐标轴的交点，从而得到三角形面积；（2）通过假设切点，得到切线方程；将问题转化为与有三个不同的交点，通过图像交点求得取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得： ‎ 即切线斜率，可得切线方程为，整理得：‎ 直线与轴交于，与轴交于 三角形面积 ‎（2）设切点坐标为，则切线斜率 切线方程为：‎ 又在切线上，则 过点可作三条不同的切线，等价于与有三个不同的交点 设，则 令，解得，‎ 可解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数的几何意义求解切线方程的问题，要注意区分“在”某点的切线和“过”某点的切线的不同求法；解题关键在于将过某点作曲线切线条数问题转化为方程根的个数问题、函数图像交点问题来进行求解.‎ ‎21．已知圆的方程为，点，点M为圆上的任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点N.‎ ‎（1）求点N的轨迹C的方程.‎ ‎（2）已知点，过点A且斜率为k的直线交轨迹C于两点，以为邻边作平行四边形，是否存在常数k，使得点B在轨迹C上，若存在，求k的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】（1）由椭圆的定义，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，进而求得N的轨迹方程；（2）设直线,与椭圆联立，得韦达定理，以、为邻边作平行四边形的顶点在椭圆上，转化为坐标化后B点在椭圆上，得k的方程求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎>‎ 知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，则a=,‎ ‎∴‎ ‎（2）设直线,与椭圆联立 设，‎ 消去，得 ‎ ‎ 点 代入椭圆方程：‎ 得 ‎ 又满足 ‎ 存在常数，使得平行四边形的顶点在椭圆上 ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与直线的位置关系，定义法求轨迹方程，平行四边形的转化，点在曲线上的应用，熟练转化条件，准确计算是关键，是中档题 ‎22．已知函数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若在上恒成立，求整数的最大值．‎ ‎【答案】（1）在，递减；（2）3.‎ ‎【解析】对函数求导数，可判，进而可得单调性；‎ 问题转化为恒成立，通过构造函数可得，进而可得k值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可得的定义域是，且，‎ 令，则，‎ 时，，递减，，，递减，‎ 时，，递增，，，递减，‎ 综上，在，递减；‎ 恒成立，‎ 令恒成立，即的最小值大于k，又由，，‎ 令，则，故在递增，‎ 又，，‎ 存在唯一的实数根a，且满足，，‎ 故时，，，递增，‎ 时，，，递减，‎ 故，‎ 故正整数k的最大值是3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎