【数学】2018届一轮复习北师大版导数的应用——函数的零点学案

【数学】2018届一轮复习北师大版导数的应用——函数的零点学案

第十节 导数的应用——函数的零点 一 考查热点：利用导数研究函数的零点是高考考查的新热点，主要考查函数零点的个数、零点存在的范围、根据零点情况求解参数以及讨论与零点相关的问题。‎ 二 要点小结：‎ ‎1. 用导数 判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。‎ ‎2. 要证明一个函数存在零点，可用“函数零点的存在性定理”证明；若要证明一个函数“有且只有一个”零点，可在函数存在零点的基础上再证明函数为单调函数。‎ 三 典例分析 例1. （2014陕西）设函数.‎ （1） 当（为自然对数的底数）时，求的最小值；‎ （2） 讨论函数零点的个数；‎ ‎（3）若对任意恒成立，求的取值范围.‎ 例2 . （2014新课标2）已知函数，曲线在点 处的切线与轴交点的横坐标为.‎ （1） 求；‎ ‎（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.‎ ‎ ‎ 四 真题演练 ‎1. (2015北京)设函数，．‎ ‎（I）求的单调区间和极值；‎ ‎（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．‎ ‎2.（2016北京）设函数 ‎（I）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（II）设，若函数有三个不同零点，求c的取值范围；‎ ‎（III）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件.‎ ‎3.（2016新课标1）已知函数.‎ ‎(I)讨论的单调性；‎ ‎(II)若有两个零点，求的取值范围.‎ 第十节 例题1. （1）由题设，当时，，易得函数的定义域为，当时，，此时在上单调递减；‎ 当时，，此时在上单调递增；当时，取得极小值，的极小值为2‎ ‎(2)函数，令，得 设，‎ 当时，，此时在上单调递增；‎ 当时，，此时在上单调递减；[ :学| | Z|X|X|K] ‎ 所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，‎ 的最大值为，又，结合y=的图像（如图），可知 ① 当时，函数无零点；‎ ‎②当时，函数有且仅有一个零点；‎ ‎③当时，函数有两个零点；‎ ‎④时，函数有且只有一个零点；‎ 综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.‎ （2） 对任意恒成立等价于恒成立 设，在上单调递减 在恒成立，恒成立 ‎（对，仅在时成立），的取值范围是 例2：解：（I）=，.曲线 在点（0,2）处的切线方程为。由题设得，所以a=1.‎ ‎（Ⅱ）由（I）知， 设，由题设知. 当≤0时，，单调递增，，所以=0在有唯一实根。当时，令，则。 ，在单调递减，在单调递增，所以 ，所以在没有实根.‎ 综上，=0在R有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。‎ 演练 1.　解：（Ｉ）由（k>0）得 .由=0解得 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.‎ ‎（II）由（I）知，在区间上的最小值.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且， 所以是在区间上的唯一零点.当>e时，在区间上单调递减，且>< 所以在区间上仅有一个零点.‎ ‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ ‎2. 解：（I）由，得．因为，，所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（II）当时，，所以．‎ 令，得，解得或．‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，当且时，存在，，，使得．由的单调性知，当且仅当时，函数有三个不同零点．‎ ‎（III）当时，，，‎ 此时函数在区间上单调递增，所以不可能有三个不同零点．‎ 当时，只有一个零点，记作．‎ 当时，，在区间上单调递增；‎ 当时，，在区间上单调递增．‎ 所以不可能有三个不同零点．‎ 综上所述，若函数有三个不同零点，则必有．‎ 故是有三个不同零点的必要条件．‎ 当，时，，只有两个不同 所以不是有三个不同零点的充分条件．因此是有三个不同零点的必要而不充分条件．‎ ‎3. (I)‎ ‎(i)设，则当时，；当时，.‎ 所以在单调递减，在单调递增. (ii)设，由得x=1或x=ln(-‎2a).‎ ‎①若，则，所以在单调递增.‎ ‎②若，则ln(‎-2a)<1,故当时，；‎ 当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又，取b满足b<0且，‎ 则，所以有两个零点.‎ ‎(ii)设a=0，则所以有一个零点.‎ ‎(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.‎ 又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.‎ ‎[ :学 ]‎