【数学】2019届一轮复习苏教版坐标系与参数方程学案

【数学】2019届一轮复习苏教版坐标系与参数方程学案

选修 4－4 Error!坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 本节主要包括 2 个知识点：　1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系. 突破点(一)　平面直角坐标系下图形的伸缩变换　 [基本知识] 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：Error!的作用下，点 P(x，y) 对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． [基本能力] 1．判断题 (1) 平 面 直 角 坐 标 系 中 点 P( － 2,3) 在 变 换 φ ： Error! 的 作 用 下 得 到 的 点 为 P′( － 1,1)．(　　) (2)已知伸缩变换 φ：Error!经 φ 变换得到点 A′(2,4)，则原来点的坐标为 A(4，－2)．(　　) 答案：(1)√　(2)× 2．填空题 (1) 直 线 l ： x － 2y ＋ 3 ＝ 0 经 过 φ ： Error! 变 换 后 得 到 的 直 线 l′ 方 程 为 ________________． 解析：设 l′上的任一点 P(x′，y′)由题得Error!代入 x－2y＋3＝0 得 x′－y′＋3＝ 0，直线 l′的方程为 x－y＋3＝0. 答案：x－y＋3＝0 (2)已知平面直角坐标系中点 A(－2,4)经过 φ 变换后得 A′的坐标为(－1 2，2)，则伸缩变 换 φ 为________． 解析：设伸缩变换 φ：Error! 则有Error!解得Error!∴φ：Error! 答案：φ：Error! [全析考法] 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 [典例]　求双曲线 C：x2－y2 64＝1 经过 φ：Error!变换后所得曲线 C′的焦点坐标． [解]　设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)， 由题意，将Error!代入 x2－y2 64＝1 得x′2 9 －4y′2 64 ＝1， 化简得x′2 9 －y′2 16 ＝1， 即x2 9 －y2 16＝1 为曲线 C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)． [方法技巧] 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区 分变换前的点 P 的坐标(x，y)与变换后的点 P′的坐标(x′，y′)，再利用伸缩变换公式Error! 建立联系． (2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)＝0，一般都要改写为方程 f(x′，y′)＝0，再利用换 元法确定伸缩变换公式．　　 [全练题点] 1．求直线 l：y＝6x 经过 φ：Error!变换后所得到的直线 l′的方程． 解：设直线 l′上任意一点 P′(x′，y′)， 由题意，将Error!代入 y＝6x 得 2y′＝6×( 1 3x′ )， 所以 y′＝x′，即直线 l′的方程为 y＝x. 2．在同一平面直角坐标系中，将直线 x－2y＝2 变成直线 2x′－y′＝4，求满足图象 变换的伸缩变换． 解：设变换为Error!代入第二个方程，得 2λx－μy＝4，与 x－2y＝2 比较系数得 λ＝1，μ＝ 4，即Error!因此，经过变换Error!后，直线 x－2y＝2 变成直线 2x′－y′＝4. 3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!后，曲线 C：x2＋y2＝36 变为何种曲 线，并求曲线的焦点坐标． 解：设圆 x2＋y2＝36 上任一点为 P(x，y)，伸缩变换后对应点的坐标为 P′(x′，y′)， 则Error!所以 4x′2＋9y′2＝36， 即x′2 9 ＋y′2 4 ＝1. 所以曲线 C 在伸缩变换后得椭圆x2 9 ＋y2 4＝1， 其焦点坐标为(± 5，0)． 突破点(二)　极坐标系 [基本知识] 1．极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点 O，点 O 叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox，Ox 叫 做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标 一般地，没有特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数． (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2 π)( ∈ )表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为(0， θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示； 同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 2．极坐标与直角坐标的互化 点 M 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 Error! Error! [基本能力] 1．判断题 (1)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为 ρ＝2asin θ.(　　) (2)tan θ＝1 与 θ＝π 4表示同一条曲线．(　　) (3)点 P 的直角坐标为(－ 2， 2)，那么它的极坐标可表示为(2，3π 4 ).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2.填空题 (1)点 P 的直角坐标为(1，－ 3)，则点 P 的极坐标为________． 解析：因为点 P(1，－ 3)在第四象限，与原点的距离为 2，且 OP 与 x 轴所成的角为－ π 3，所以点 P 的极坐标为(2，－π 3). 答案：(2，－π 3)(2)在极坐标系中，圆 ρ＝2cos θ 在点 M(2,0)处的切线的极坐标方程为________． 解析：如图，∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为 x2 ＋y2＝2x.由图象可知圆在点 M(2,0)处的切线的直角坐标方程为 x＝2， 即 ρcos θ＝2. 答案：ρcos θ＝2 (3)在极坐标系中 A(2，－π 3)，B (4，2π 3 )两点间的距离为________． 解析：法一：在极坐标系中，A，B 两点如图所示，|AB|＝|OA|＋ |OB|＝6. 法 二 ： A(2，－π 3)，B (4，2π 3 )的直角坐 标为 A(1，－ 3)，B(－ 2,2 3)． ∴|AB|＝ (－2－1)2＋(2 3＋ 3)2＝ 36＝6. 答案：6 (4)圆 ρ＝5cos θ－5 3sin θ 的圆心的极坐标为________． 解析：将方程 ρ＝5cos θ－5 3sin θ 两边都乘以 ρ 得： ρ2＝5ρcos θ－5 3ρsin θ， 化成直角坐标方程为 x2＋y2－5x＋5 3y＝0. 圆心的坐标为( 5 2，－5 3 2 )，化成极坐标为(5，5π 3 ). 答案：(5，5π 3 )(答案不唯一) (5)在极坐标系中，直线 ρsin(θ＋π 4 )＝2 被圆 ρ＝4 截得的弦长为________． 解析：直线 ρsin(θ＋π 4 )＝2 可化为 x＋y－2 2＝0，圆 ρ＝4 可化为 x2＋y2＝16，由圆中 的弦长公式得 2 r2－d2＝2 42－ ( 2 2 2 )2＝4 3. 答案：4 3 [全析考法] 极坐标与直角坐标的互化 1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与 x 轴正半轴是否重合， 若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 第二步 通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos θ，ρsin θ，ρ2 的形式，一定要 注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解 第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式Error!及 ρ2＝x2＋y2 将极坐标方程转 化为直角坐标方程 2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中点的坐标化为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的 x，y 分别用 ρcos θ，ρsin θ 代替即可得到相应极坐标方程． (2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤： [例 1]　在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ 和直线 l：ρsin(θ－π 4 )＝ 2 2 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈(0，π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标． [解]　(1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，即 ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆 O 的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即 x2＋y2－x－y＝0，直线 l：ρsin(θ－π 4 )＝ 2 2 ， 即 ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线 l 的直角坐标方程为：y－x＝1，即 x－y＋1＝0. (2)由Error!得Error! 则直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1，π 2 ). [方法技巧] 1．应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点． (2)以 x 轴的正半轴为极轴． (3)两种坐标系规定相同的长度单位． 2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点 (1)根据终边相同的角的意义，角 θ 的表示方法具有周期性，故点 M 的极坐标(ρ，θ)的 形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定 ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点 M 的极坐标是唯一的． (2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角 θ 应注意判断点 M 所在的象限(即角 θ 的终 边的位置)，以便正确地求出角 θ(θ∈[0,2π))的值．　　 极坐标方程的应用 [例 2]　(2018·安徽合肥模拟)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos θ. (1)求出圆 C 的直角坐标方程； (2)已知圆 C 与 x 轴相交于 A，B 两点，直线 l：y＝2x 关于点 M(0，m)(m≠0)对称的直 线为 l′.若直线 l′上存在点 P 使得∠APB＝90°，求实数 m 的最大值． [解]　(1)由 ρ＝4cos θ 得 ρ2＝4ρcos θ，即 x2＋y2－4x＝0，故圆 C 的直角坐标方程为 x2＋ y2－4x＝0. (2)l：y＝2x 关于点 M(0，m)对称的直线 l′的方程为 y＝2x＋2m，而 AB 为圆 C 的直径， 故直线 l′上存在点 P 使得∠APB＝90°的充要条件是直线 l′与圆 C 有公共点，故|4＋2m| 5 ≤2，解得－2－ 5≤m≤ 5－2，于是，实数 m 的最大值为 5－2. [易错提醒] 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示 时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．　　 [全练题点] 1.[考点一、二]已知直线 l 的极坐标方程为 2ρsin(θ＋π 4 )＝ 2，点 A 的极坐标为 A (2 2，7π 4 )，求点 A 到直线 l 的距离． 解：由 2ρsin(θ＋π 4 )＝ 2，得 2ρ( 2 2 sin θ＋ 2 2 cos θ)＝ 2，由坐标变换公式，得直线 l 的 直角坐标方程为 y＋x＝1，即 x＋y－1＝0. 由点 A 的极坐标为(2 2，7π 4 )得点 A 的直角坐标为(2，－2)，所以点 A 到直线 l 的距离 d ＝|2－2－1| 2 ＝ 2 2 . 2.[考点二]在极坐标系中，直线 C1 的极坐标方程为 ρsin θ＝2，M 是 C1 上任意一点，点 P 在射线 OM 上，且满足|OP|·|OM|＝4，记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2 的极坐标方程； (2)求曲线 C2 上的点到直线 C3：ρcos(θ＋π 4 )＝ 2的距离的最大值． 解：(1)设 P(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，依题意有 ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4. 消去 ρ1，得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ(ρ≠0)． (2)将 C2，C3 的极坐标方程化为直角坐标方程，得 C2：x2＋(y－1)2＝1，C3：x－y＝2.C2 是以点(0,1)为圆心，以 1 为半径的圆(坐标原点除外)． 圆心到直线 C3 的距离 d＝3 2 2 ，故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1＋3 2 2 . [全国卷 5 年真题集中演练——明规律] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立 极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4. (1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； (2)设点 A 的极坐标为(2，π 3 )，点 B 在曲线 C2 上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设 P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝ 4 cos θ. 由|OM|·|OP|＝16，得 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此 C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)设点 B 的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)， 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB 的面积 S＝1 2|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· |sin(α－π 3 )| ＝2|sin(2α－π 3)－ 3 2 |≤2＋ 3. 当 α＝－ π 12时，S 取得最大值 2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3. 2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为Error!(t 为参数，a＞ 0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ. (1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都 在 C3 上，求 a. 解：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2， 则 C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1 －a2＝0. (2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组 Error! 若 ρ≠0，由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 从而 1－a2＝0，解得 a＝－1(舍去)或 a＝1. 当 a＝1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，且在 C3 上． 所以 a＝1. [课时达标检测] 1．在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P( 2，π 4)，圆心为直线 ρsin(θ－π 3 )＝－ 3 2 与极轴 的交点，求圆 C 的极坐标方程． 解：在 ρsin(θ－π 3 )＝－ 3 2 中，令 θ＝0，得 ρ＝1，所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆 C 经过点 P( 2，π 4)， 所以圆 C 的半径 PC＝ ( 2)2＋12－2 × 1 × 2cosπ 4＝1，于是圆 C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ. 2．设 M，N 分别是曲线 ρ＋2sin θ＝0 和 ρsin(θ＋π 4 )＝ 2 2 上的动点，求 M，N 的最小距 离． 解：因为 M，N 分别是曲线 ρ＋2sin θ＝0 和 ρsin(θ＋π 4 )＝ 2 2 上的动点，即 M，N 分别 是圆 x2＋y2＋2y＝0 和直线 x＋y－1＝0 上的动点，要求 M，N 两点间的最小距离，即在直 线 x＋y－1＝0 上找一点到圆 x2＋y2＋2y＝0 的距离最小，即圆心(0，－1)到直线 x＋y－1＝0 的距离减去半径，故最小值为|0－1－1| 2 －1＝ 2－1. 3．(2018·扬州质检)求经过极点 O(0,0)，A (6，π 2 )，B (6 2，9π 4 )三点的圆的极坐标方 程． 解：点 O，A，B 的直角坐标分别为(0,0)，(0,6)，(6,6)， 故△OAB 是以 OB 为斜边的等腰直角三角形，圆心为(3,3)，半径为 3 2， 圆的直角坐标方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18， 即 x2＋y2－6x－6y＝0， 将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入上述方程， 得 ρ2－6ρ(cos θ＋sin θ)＝0， 即 ρ＝6 2cos(θ－π 4 ). 4．(2018·山西质检)在极坐标系中，曲线 C 的方程为 ρ2＝ 3 1＋2sin2θ，点 R(2 2，π 4). (1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方 程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标； (2)设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标． 解：(1)曲线 C：ρ2＝ 3 1＋2sin2θ，即 ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，从而ρ2cos2θ 3 ＋ρ2sin2θ＝1. ∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为x2 3 ＋y2＝1， 点 R 的直角坐标为 R(2,2)． (2)设 P( 3cos θ，sin θ)， 根据题意可得|PQ|＝2－ 3cos θ，|QR|＝2－sin θ， ∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋π 3 )， 当 θ＝π 6时，|PQ|＋|QR|取最小值 2， ∴矩形 PQRS 周长的最小值为 4， 此时点 P 的直角坐标为( 3 2，1 2 ). 5．(2018·南京模拟)已知直线 l：ρsin(θ－π 4 )＝4 和圆 C：ρ＝2 cos(θ＋π 4 )( ≠0)，若直线 l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于 2.求实数 的值并求圆心 C 的直角坐标． 解：圆 C 的极坐标方程可化为 ρ＝ 2 cos θ－ 2 sin θ， 即 ρ2＝ 2 ρcos θ－ 2 ρsin θ， 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2＋y2－ 2 x＋ 2 y＝0， 即 (x－ 2 2 k)2＋(y＋ 2 2 k)2＝ 2， 所以圆心 C 的直角坐标为( 2 2 k，－ 2 2 k). 直线 l 的极坐标方程可化为 ρsin θ· 2 2 －ρcos θ· 2 2 ＝4， 所以直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋4 2＝0， 所以| 2 2 k＋ 2 2 k＋4 2|2 －| |＝2. 即| ＋4|＝2＋| |， 两边平方，得| |＝2 ＋3， 所以Error!或Error! 解得 ＝－1，故圆心 C 的直角坐标为(－ 2 2 ， 2 2 ). 6．已知曲线 C 的极坐标方程是 ρsin2θ－8cos θ＝0，以极点为平面直角坐标系的原点， 极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy.在直角坐标系中，倾斜角为 α 的直线 l 过 点(2,0)． (1)写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程； (2)设点 Q 和点 G 的极坐标分别为(2，3π 2 )，(2，π)，若直线 l 经过点 Q，且与曲线 C 相 交于 A，B 两点，求△GAB 的面积． 解：(1)曲线 C 的极坐标方程化为 ρ2sin2θ－8ρcos θ＝0，再化为直角坐标方程为 y2＝8x. 直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． (2)点 Q (2，3π 2 )的直角坐标为(0，－2)． 因为直线 l 过点 P(2,0)和 Q(0，－2)， 所以直线 l 的倾斜角 α＝π 4. 所以直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． 将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得 ( 2 2 t )2＝8(2＋ 2 2 t).整理，得 t2－8 2t －32＝0. Δ＝(－8 2)2＋4×32＝256>0. 设 t1，t2 为方程 t2－8 2t－32＝0 的两个根， 则 t1＋t2＝8 2，t1·t2＝－32， 所以|AB|＝|t1－t2|＝ (t1＋t2)2－4t1·t2＝ 256＝16. 由极坐标与直角坐标互化公式得点 G 的直角坐标为(－2,0)． 点 G 到直线 l 的距离为 d＝|PG|sin 45°＝4× 2 2 ＝2 2， 所以 S△GAB＝1 2×d×|AB|＝1 2×16×2 2＝16 2. 7．(2018·贵州联考)已知在一个极坐标系中点 C 的极坐标为(2，π 3 ). (1)求出以 C 为圆心，半径长为 2 的圆的极坐标方程(写出解题过程)； (2)在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直 角坐标系，点 P 是圆 C 上任意一点，Q(5，－ 3)，M 是线段 PQ 的中点，当点 P 在圆 C 上 运动时，求点 M 的轨迹的普通方程． 解：(1)如图，设圆 C 上任意一点 A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－π 3或π 3－θ. 由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcos(θ－π 3 )＝4，所以圆 C 的极坐标方程为 ρ＝4cos(θ－π 3 ). (2)在直角坐标系中，点 C 的坐标为(1， 3)，可设圆 C 上任意一点 P(1＋2cos α， 3＋ 2sin α)， 又令 M(x，y)，由 Q(5，－ 3)，M 是线段 PQ 的中点， 得点 M 的轨迹的参数方程为Error!(α 为参数)， 即Error!(α 为参数)， ∴点 M 的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1. 8．在平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为Error!(φ 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 θ＝π 3与曲 线 C2 交于点 D(2，π 3 ). (1)求曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； (2)已知极坐标系中两点 A(ρ1，θ0)，B(ρ2，θ0＋π 2)，若 A，B 都在曲线 C1 上，求 1 ρ21＋ 1 ρ22 的值． 解：(1)∵C1 的参数方程为Error! ∴C1 的普通方程为x2 4 ＋y2＝1. 由题意知曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2acos θ(a 为半径)， 将 D(2，π 3 ) 代入，得 2＝2a×1 2， ∴a＝2，∴圆 C2 的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为 2， ∴C2 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)曲线 C1 的极坐标方程为ρ2cos2θ 4 ＋ρ2sin2θ＝1， 即 ρ2＝ 4 4sin2θ＋cos2θ. ∴ρ21＝ 4 4sin2θ0＋cos2θ0， ρ22＝ 4 4sin2 (θ0＋π 2)＋cos2 (θ0＋π 2) ＝ 4 sin2θ0＋4cos2θ0. ∴ 1 ρ21＋ 1 ρ22＝4sin2θ0＋cos2θ0 4 ＋4cos2θ0＋sin2θ0 4 ＝5 4. 第二节　 参数方程 本节主要包括 2 个知识点：　1.参数方程；　2.参数方程与极坐标方程的综合问题. 突破点(一)　参数方程　 [基本知识] 1．参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函 数：Error!并且对于 t 的每一个允许值，由方程组Error!所确定的点 M(x，y)都在这条曲线上， 那么方程Error!就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方 程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． (2)圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 r 的圆的参数方程为Error!(θ 为参数)． (3)椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为 Error!(φ 为参数)． [基本能力] 1．判断题 (1)参数方程Error!(t 为参数)所表示的图形是直线．(　　) (2)直线 y＝x 与曲线Error!(α 为参数)的交点个数为 1.(　　) 答案：(1)√　(2)× 2．填空题 (1)若直线的参数方程为Error!(t 为参数)，则直线的斜率为________． 解析：∵y－2 x－1＝ －3t 2t ＝－3 2，∴tan α＝－3 2. 答案：－3 2 (2)椭圆 C 的参数方程为Error!(φ 为参数)，过左焦点 F1 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点， 则|AB|min＝________. 解析：由Error!(φ 为参数)得，x2 25＋y2 9＝1，当 AB⊥x 轴时，|AB|有最小值．∴|AB|min＝2× 9 5＝18 5 . 答案：18 5 (3)曲线 C 的参数方程为Error!(θ 为参数)，则曲线 C 的普通方程为________． 解析：由Error!(θ 为参数)消去参数 θ 得 y＝－2x2(－1≤x≤1)． 答案：y＝－2x2(－1≤x≤1) (4)椭圆Error!(θ 为参数)的离心率为________． 解析：由椭圆的参数方程可知 a＝5，b＝2.故 c＝ 52－22＝ 21，故椭圆的离心率 e＝c a＝ 21 5 . 答案： 21 5 [全析考法] 参数方程与普通方程的互化 1．参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三 角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利 用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式 sin2θ＋cos2θ＝1 等． 2．普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时， 可以唯一确定 x，y 的值； (2)解题的一般步骤 第一步，引入参数，但要选定合适的参数 t； 第二步，确定参数 t 与变量 x 或 y 的一个关系式 x＝f(t)(或 y＝φ(t)); 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程 F(x，y)＝0，求得另一关系 y ＝g(t)(或 x＝ψ(t))，问题得解． [例 1]　将下列参数方程化为普通方程． (1)Error!(t 为参数)； (2)Error!(θ 为参数)． [解]　(1)∵( 1 t )2＋( 1 t t2－1)2＝1， ∴x2＋y2＝1. ∵t2－1≥0，∴t≥1 或 t≤－1. 又 x＝1 t，∴x≠0. 当 t≥1 时，00，故可设 t1，t2 是上述方程的两实根，所以Error! 又直线 l 过点 P(3， 5)， 故由上式及 t 的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3 2. 2.[考点一、二](2018·郑州模拟)将曲线 C 1：x2＋y2＝1 上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)得到曲线 C2，A 为 C1 与 x 轴正半轴的交点，直线 l 经过点 A 且倾斜角为 30°，记 l 与曲线 C1 的另一个交点为 B，与曲线 C2 在第一、三象限的交点分别为 C，D. (1)写出曲线 C2 的普通方程及直线 l 的参数方程； (2)求|AC|－|BD|. 解：(1)由题意可得 C2：x2 2 ＋y2＝1，对曲线 C1，令 y＝0，得 x＝1，所以 l：Error!(t 为 参数)． (2)将Error!代入x2 2 ＋y2＝1， 整理得 5t2＋4 3t－4＝0. 设点 C，D 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1＋t2＝－4 3 5 ， 且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cos 30°＝ 3， 故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋ 3＝ 3 5 . 突破点(二)　参数方程与极坐标方程的综合问题　 将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合 应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：,(1)解题时，易将直 线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.,(2)应用解析法解 决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位 置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.,(3)求曲线方程，常设曲线上任意一点 P(ρ，θ)，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数 方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.,(4)参数方程和普通方程表示 同一个曲线时，要注意其中 x，y 的取值范围，即注意两者的等价性. [全析考法] 参数方程与极坐标方程的综合问题 [典例]　(2018·广东五校协作体联考)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 Error!(α 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标 方程为 ρsin(θ＋π 4 )＝4 2. (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程； (2)设 P 为曲线 C1 上的动点，求点 P 到曲线 C2 上点的距离的最小值． [解]　(1)由曲线 C1：Error!得 曲线 C1 的普通方程为x2 2 ＋y2＝1. 由曲线 C2：ρsin(θ＋π 4 )＝4 2得 2 2 ρ(sin θ＋cos θ)＝4 2， 即曲线 C2 的直角坐标方程为 x＋y－8＝0. (2)由(1)知椭圆 C1 与直线 C2 无公共点， 椭圆上的点 P( 2cos α，sin α)到直线 x＋y－8＝0 的距离为 d＝| 2cos α＋sin α－8| 2 ＝| 3sin(α＋φ)－8| 2 ， 所以当 sin(α＋φ)＝1 时，d 取得最小值8 2－ 6 2 . [方法技巧] 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角 坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程． (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几何 意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　　 [全练题点] 1．已知曲线 C1 的参数方程为Error! (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程； (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将Error!消去参数 t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即 C1：x2＋y2－8x－10y ＋16＝0. 将Error!代入 x2＋y2－8x－10y＋16＝0 得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2 的普通方程为 x2＋y2－2y＝0. 由Error! 解得Error!或Error! 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为( 2，π 4)，(2，π 2 ). 2．(2018·南昌十校模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为Error!(α 为参 数，π≤α≤2π)，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρcos (θ－π 4 )＝ 2 2 t. (1)求 C2 的直角坐标方程； (2)当 C1 与 C2 有两个公共点时，求实数 t 的取值范围． 解：(1)∵曲线 C2 的极坐标方程为 ρ( 2 2 cos θ＋ 2 2 sin θ)＝ 2 2 t，∴曲线 C2 的直角坐标方 程为 x＋y－t＝0. (2)曲线 C1 的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1(0≤x≤2,0≤y≤1)，为半圆弧， 如图所示，曲线 C2 为平行于直线 x＋y＝0 的直线，或为直线 x＋y＝0， 当直线 C2 与曲线 C1 相切时，由|1＋1－t| 2 ＝1， 解得 t＝2－ 2或 t＝2＋ 2(舍去)， 当直线 C2 过 A，B 两点时，t＝1， 由图可知，当 2－ 20， 故 tan α＝ 5 4 .所以直线 l 的斜率为 5 4 . 5．(2018·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，C1：Error!(t 为参数)．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0. (1)求 C1 的普通方程及 C2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 P，Q 分别为 C1，C2 上的动点，且|PQ|的最小值为 2，求 的值． 解：(1)由Error!可得其普通方程为 y＝ (x－1)，它表示过定点(1,0)，斜率为 的直线． 由 ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0 可得其直角坐标方程为 x2＋y2＋10x－6y＋33＝0，整 理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为 1 的圆． (2)因为圆心(－5,3)到直线 y＝ (x－1)的距离 d＝|－6k－3| 1＋k2 ＝|6k＋3| 1＋k2，故|PQ|的最小值为 |6k＋3| 1＋k2－1，故|6k＋3| 1＋k2－1＝2，得 3 2＋4 ＝0，解得 ＝0 或 ＝－4 3. 6．(2018·湖南岳阳模拟)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝6sin θ，以极点 O 为原点，极 轴为 x 轴的非负半轴建立直角坐标系，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)． (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程； (2)直线 l 与曲线 C 交于 B，D 两点，当|BD|取到最小值时，求 a 的值． 解：(1)曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝6sin θ， 即 ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程：x2＋y2＝6y， 配方为：x2＋(y－3)2＝9，圆心 C(0,3)，半径 r＝3. 直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)，消去参数 t 可得：x－ay＋a＋1＝0. (2)由直线 l 经过定点 P(－1,1)，此点在圆的内部， 因此当 CP⊥l 时，|BD|取到最小值， 则 CP· l＝ 1－3 －1－0× l＝－1， 解得 l＝－1 2. ∴1 a＝－1 2，解得 a＝－2. 7．(2018·河南六市联考)在平面直角坐标系中，曲线 C1 的参数方程为Error!(φ 为参数)， 以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝ 2cos θ. (1)求曲线 C2 的直角坐标方程； (2)已知点 M 是曲线 C1 上任意一点，点 N 是曲线 C2 上任意一点，求|MN|的取值范 围． 解：(1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋y2＝2x. (2)将曲线 C2 的方程化为标准形式为(x－1)2＋y2＝1，它表示圆心为 C2(1,0)，半径 r＝1 的圆． 由题意，|MN|max＝|MC2|max＋r，|MN|min＝|MC2|min－r.设 M(4cos φ，3sin φ)． 则|MC2|2＝(4cos φ－1)2＋(3sin φ－0)2＝7cos2φ－8cos φ＋10. 当 cos φ＝4 7时，|MC2| 2min＝54 7 ； 当 cos φ＝－1 时，|MC2| 2max＝25. ∴|MN|max＝|MC2|max＋r＝6，|MN|min＝|MC2|min－r＝3 42 7 －1， ∴|MN|∈[ 3 42 7 －1，6]. 8．极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为 极轴．已知直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)．曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ＝8cos θ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与 x 轴的交点为 F，求 1 |AF|＋ 1 |BF|的值． 解：(1)由 ρsin2θ＝8cos θ，得 ρ2sin2θ＝8ρcos θ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝8x. (2)易得直线 l 与 x 轴的交点为 F(2,0)，将直线 l 的方程代入 y2＝8x，得(tsin α)2＝8(2＋ tcos α)，整理得 sin2α·t2－8cos α·t－16＝0. 由已知 sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0， ∴t1＋t2＝8cos α sin2α ，t1t2＝－ 16 sin2α＜0， 故 1 |AF|＋ 1 |BF|＝ 1 |t1|＋ 1 |t2| ＝| 1 t1－1 t2 |＝| t1－t2 t1t2 |＝ (t1＋t2)2－4t1t2 |t1t2| ＝ ( 8cos α sin2α )2＋ 64 sin2α 16 sin2α ＝1 2.