2020届广州市数学（一）发排稿（文科试题终稿）

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文科数学试题 A 第 1 页 共 6 页 秘密 ★ 启用前 试卷类型： A 2020 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 文科数学 本试卷共 6 页，23 小题， 满分 150 分．考试用时 120 分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 用 2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡 相应位置上． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在 试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指 定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案； 不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知集合  1,2,3,4,5,6,7U  ，  3,4,5M  ，  1,3,6N  ，则集合 7,2 等于 A． MN B．  U MN C．  U MN D． NM  2．某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为 4800 人，4000 人，2400 人．现采用 分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人 数为 70 人，则该样本的高中学生人数为 A．42 人 B．84 人 C．126 人 D．196 人 3．直线 10kx y   与圆 222 4 1 0x y x y     的位置关系是 A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 4．已知函数 ln , 0,() e , 0,x xxfx x    则 1 4ff  的值为 A． 4 B． 2 C． 2 1 D． 4 1 文科数学试题 A 第 2 页 共 6 页 5．已知向量 a  2, 1 ， b  ,2x，若 ab 2 ab，则实数 x 的值等于 A． 4 9 B． 1 2 C． 9 4 D． 2 6．如图所示，给出的是计算 1 1 1 1 2 4 6 22   的值 的程序框图，其中判断框内应填入的条件是 A． 9i  B． 10i  C． 11i  D． 12i  7．设函数 1( ) 2cos 23f x x  ，若对任意 xR 都有 )()()( 21 xfxfxf  成立，则 21 xx  的最小值为 A． 4 B． 2 C．  D． 2  8．刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的 数学遗产．刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其 加减运算的规则．提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率  为3.14．刘徽在割圆 术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被 视为中国古代极限观念的佳作．其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积， 第二步是求圆的内接正十二边形的面积，„，依次类推．若在圆内随机取一点，则该点取 自该圆内接正十二边形的概率为 A． 33  B．  3 6 2  C． 3  D．  3 6 2  是 否 1ssn 输出 s 结束 开始 2nn 0s  ， 2n  ， 1i  1ii 文科数学试题 A 第 3 页 共 6 页 9．已知 1sin cos 5， 0    ，则cos2  A． 7 25 B． 7 25 C． 24 25 D． 24 25 10．已知点  00,P x y 在曲线C ： 321y x x   上移动，曲线 在点 P 处的切线的斜率为 k ， 若 1,213k  ，则 0x 的取值范围是 A． 75,37  B． 7 ,33  C． 7 ,3   D． 7,9 11．已知O 为坐标原点，设双曲线C ：   22 221 0, 0xy abab    的左，右焦点分别为 1F ， 2F ， 点 P 是双曲线 上位于第一象限内的点，过点 作 12F PF 的平分线的垂线，垂足为 A ， 若 12 2b F F OA，则双曲线 的离心率为 A． 5 4 B． 4 3 C． 5 3 D． 2 12．在三棱锥 A BCD 中，△ ABD 与△CBD 均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 A BD C的平面角为120 ，则该三棱锥的外接球的表面积为 A． 7 B． C． 3  D． 3  二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知复数 22i22z  ，则 24zz ． 14．已知函数   kf x x x 在区间 0, 上有最小值 4 ，则实数 k  ． 15．已知直线 a  平面 ，直线b  平面  ，给出下列五个命题： ①若 ∥ ，则 ab ；②若 ⊥ ，则 ；③若 ⊥ ，则 //ab； ④若 ，则 ⊥ ；⑤若 ，则 ∥ ， 其中正确命题的序号是 ． 文科数学试题 A 第 4 页 共 6 页 16．如图，在平面四边形 ABCD中， 2BAC ADC     ， 6ABC ， 12ADB ，则 tan ACD ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 nn Sna  ，设 1 nn ab ． （1）求 1a ， 2a ， 3a ； （2）判断数列 nb 是否是等比数列，并说明理由； （3）求数列 na 的前 n 项和 nS ． 18．（12 分） 如图 1，在边长为 2 的等边△ ABC 中， D ，E 分别为边 AC ， AB 的中点．将△ ADE 沿 DE 折起，使得 AB AD ，得到如图 2 的四棱锥 A BCDE ，连结 BD ，CE ，且 与 交于点 H ． （1）证明： AH BD ； （2）设点 B 到平面 AED 的距离为 1h ，点 E 到平面 ABD 的距离为 2h ，求 1 2 h h 的值． D CB A 图2图1 B C DE H A B C DE A 文科数学试题 A 第 5 页 共 6 页 19．（12 分） 某种昆虫的日产卵数和时间变化有关，现收集了该昆虫第 1 天到第 5 天的日产卵数据： 第 x 天 1 2 3 4 5 日产卵数 y（个） 6 12 25 49 95 对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值． 5 1 i i x   5 2 1 i i x     5 1 ln i i y     5 1 lnii i xy   15 55 15.94 54.75 （1）根据散点图，利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数 y 关于 x 的回归方程为 e  a bxy （其中 e 为自然对数的底数），求实数 a ，b 的值（精确到 0.1）； （2）根据某项指标测定，若产卵数在区间 68e ,e 上的时段为优质产卵期，利用（1）的 结论，估计在第 6 天到第 10 天中任取两天，其中恰有 1 天为优质产卵期的概率． 附：对于一组数据 11,v  ， 22,v  ，„ ， ,nnv  ，其回归直线 =+v   的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 1 22 1 ˆ= n ii i n i i v nv v nv         ， ˆˆ .v     y x 文科数学试题 A 第 6 页 共 6 页 20．（ 12 分） 已知 M 过点 A  3,0 ，且与 N ： 2 23 16xy   内切，设 的圆心 M 的 轨迹为曲线C ． （1）求曲线 的方程； （2）设直线l 不经过点  0,1B 且与曲线 相交于 P ，Q 两点．若直线 PB 与直线QB 的 斜率之积为 1 4 ，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明 理由． 21．（ 12 分） 已知函数 ( ) ( )e ( 0)bxf x x a b   的最大值为 1 e ，且曲线 )(xfy  在 0x 处的切线与 直线 2 xy 平行（其中 e 为自然对数的底数）． （1）求实数 a ，b 的值； （2）如果 120 xx，且 )()( 21 xfxf  ，求证： 1233xx． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一 题计分． 22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3, 12 xt yt    （t 为参数），曲线 2C 的 参数方程为 3 ,cos 3 tan x y       ( 为参数，且 ,22   )． （1）求曲线 1C 和 2C 的普通方程； （2）若 A ， B 分别为曲线 1C ， 2C 上的动点，求 AB 的最小值． 23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分） 已知函数   36f x x x a    ， aR ． （1）当 1a 时，解不等式 3)( xf ； （2）若不等式 ( ) 11 4f x x对任意 34, 2x    恒成立，求实数 a 的取值范围．