2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§14 坐标系与参数方程（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§14 坐标系与参数方程（试题部分）

专题十四　坐标系与参数方程 探考情 悟真题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 坐标系与 极坐标 ‎①了解坐标系的作用及直角坐标系内的伸缩变换;②了解极坐标的概念,会在极坐标系中刻画点的位置,能进行极坐标与直角坐标之间的互相转化;③能在极坐标系中求简单图形的极坐标方程 ‎2018课标全国Ⅰ,22,10分 极坐标与直角坐标的互化 直线与圆的位置关系 ‎★★★‎ ‎2017课标全国Ⅱ,22,10分 极坐标与直角坐标的互化 三角形的面积 ‎2019课标全国Ⅲ,22,10分 极坐标与极坐标方程的求解 极坐标的概念 ‎2019课标全国Ⅱ,22,10分 求极坐标方程 极坐标的概念 参数方程 了解参数方程及参数的意义,能借助于参数方程与普通方程的互化进一步研究曲线的性质 ‎2018课标全国Ⅱ,22,10分 参数方程与普通方程的互化 直线参数方程的应用 ‎★★★‎ ‎2018课标全国Ⅲ,22,10分 参数方程与普通方程的互化 直线与圆的位置关系 ‎2019课标全国Ⅰ,22,10分 参数方程与普通方程的互化 极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程的应用 分析解读 坐标系与参数方程是高考的选考部分,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本专题内容在高考中以极坐标方程或参数方程为载体,考查直线与圆以及直线与圆锥曲线的位置关系等知识,分值为10分,属于中档题.‎ 破考点 练考向 ‎【考点集训】‎ 考点一　坐标系与极坐标 ‎1.(2020届河北邢台第一次联考,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosα,‎y=2+2sinα(α为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线M的极坐标方程为ρ2sin 2θ=32‎0<θ<‎π‎2‎.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)已知β为锐角,直线l:θ=β(ρ∈R)与曲线C的交点为A(异于极点),l与曲线M的交点为B,若|OA|·|OB|=16‎2‎,求l的直角坐标方程.‎ 答案　(1)由题知曲线C的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,(2分)‎ 即x2+y2=4y.(3分)‎ 所以ρ2=4ρsin θ,即ρ=4sin θ,(4分)‎ 故曲线C的极坐标方程为ρ=4sin θ.(5分)‎ ‎(2)因为曲线M的极坐标方程为ρ2sin 2θ=32‎0<θ<‎π‎2‎,‎ 所以ρ=‎32‎sin2θ,‎ 将θ=β代入,得|OB|=‎4‎‎2‎sin2β.(7分)‎ 因为曲线C的极坐标方程为ρ=4sin θ,所以|OA|=4sin β.(8分)‎ 所以|OA|·|OB|=16‎2‎sin‎2‎βsin2β=16tanβ=16‎2‎,(9分)‎ 则tan β=2,故l的直角坐标方程为y=2x.(10分)‎ ‎2.(2019豫南九校联考,22)在直角坐标系xOy中,直线l:y=‎3‎x,曲线C1的参数方程为x=cosα,‎y=1+sinα(α为参数),M是C1上的动点,P点满足OP=3OM,P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求直线l与曲线C2的极坐标方程;‎ ‎(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.‎ 答案　(1)设P(x,y),则由条件知Mx‎3‎‎,‎y‎3‎.‎ 由于M点在C1上,所以x‎3‎‎=cosα,‎y‎3‎‎=1+sinα(α为参数),‎ 即x=3cosα,‎y=3+3sinα(α为参数),(2分)‎ 从而C2的参数方程为x=3cosα,‎y=3+3sinα(α为参数),(3分)‎ 则C2的极坐标方程为ρ=6sin θ.‎ 易知直线l的极坐标方程为θ=π‎3‎(ρ∈R).(5分)‎ ‎(2)易求曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin θ,(6分)‎ 因为曲线C2的极坐标方程为ρ=6sin θ,直线l的极坐标方程为θ=π‎3‎(ρ∈R),‎ 所以直线l与曲线C1的交点A的极径ρ1=2sinπ‎3‎.(7分)‎ 直线l与曲线C2的交点B的极径ρ2=6sin π‎3‎,(8分)‎ 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=4sinπ‎3‎=2‎3‎.(10分)‎ 考点二　参数方程 ‎1.(2020届山西长治二中等六校9月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+‎3‎‎2‎t,‎y=‎1‎‎2‎t(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ.‎ ‎(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求线段AB的中点P到坐标原点O的距离.‎ 答案　(1)将t=2y代入x=3+‎3‎‎2‎t,整理得x-‎3‎y-3=0,‎ 所以直线l的普通方程为x-‎3‎y-3=0.‎ 由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ,‎ 将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入ρ2=4ρcos θ,‎ 得x2+y2-4x=0,即曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)设A,B对应的参数分别为t1,t2.‎ 将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得‎3+‎3‎‎2‎t-2‎‎2‎+‎1‎‎2‎t‎2‎=4,化简得t2+‎3‎t-3=0,‎ 由根与系数的关系得t1+t2=-‎3‎,于是tP=t‎1‎‎+‎t‎2‎‎2‎=-‎3‎‎2‎.‎ 设P(x0,y0),则x‎0‎‎=3+‎3‎‎2‎×‎-‎‎3‎‎2‎=‎9‎‎4‎,‎y‎0‎‎=‎1‎‎2‎×‎-‎‎3‎‎2‎=-‎3‎‎4‎,‎即P‎9‎‎4‎‎,-‎‎3‎‎4‎.‎ 所以点P到原点O的距离为‎9‎‎4‎‎2‎‎+‎‎-‎‎3‎‎4‎‎2‎=‎21‎‎2‎.‎ ‎2.(2018湖南湘潭三模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1:x2+y2=1经过伸缩变换x'=2x,‎y'=y后得到曲线C2,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3的极坐标方程为ρ=-2sin θ.‎ ‎(1)求曲线C2,C3的参数方程;‎ ‎(2)若P,Q分别是曲线C2,C3上的动点,求|PQ|的最大值.‎ 答案　(1)∵曲线C1:x2+y2=1经过伸缩变换x'=2x,‎y'=y后得到曲线C2,‎ ‎∴曲线C2的方程为x‎2‎‎4‎+y2=1,‎ ‎∴曲线C2的参数方程为x=2cosα,‎y=sinα(α为参数).‎ ‎∵曲线C3的极坐标方程为ρ=-2sin θ,即ρ2=-2ρsin θ,‎ ‎∴曲线C3的直角坐标方程为x2+y2=-2y,即x2+(y+1)2=1,‎ ‎∴曲线C3的参数方程为x=cosβ,‎y=-1+sinβ(β为参数).‎ ‎(2)设P(2cos α,sin α),‎ 则P到曲线C3的圆心(0,-1)的距离d=‎4cos‎2‎α+(sinα+1‎‎)‎‎2‎=‎-3sinα-‎‎1‎‎3‎‎2‎+‎‎16‎‎3‎.‎ ‎∵sin α∈[-1,1],‎ ‎∴当sin α=‎1‎‎3‎时,dmax=‎4‎‎3‎‎3‎.‎ ‎∴|PQ|max=dmax+r=‎4‎‎3‎‎3‎+1=‎4‎3‎+3‎‎3‎.‎ 炼技法 提能力 ‎【方法集训】‎ 方法1　极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 ‎1.(2019河北唐山二模,22)在直角坐标系xOy中,圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x+2)2+y2=4.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求圆C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)设A,B分别为C1,C2上的点,若△OAB为等边三角形,求|AB|.‎ 答案　(1)因为圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x+2)2+y2=4,‎ 所以C1:x2+y2=2x,C2:x2+y2=-4x,‎ 因为x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,‎ 所以C1:ρ=2cos θ,C2:ρ=-4cos θ.(4分)‎ ‎(2)因为圆C1,C2都关于x轴对称,△OAB为等边三角形,‎ 所以不妨设A(ρA,θ),BρB‎,θ+‎π‎3‎,0<θ<π‎2‎.‎ 依题意可得,ρA=2cos θ,ρB=-4cosθ+‎π‎3‎.(6分)‎ 从而2cos θ=-4cosθ+‎π‎3‎,整理得,2cos θ=‎3‎sin θ,‎ 所以tan θ=‎2‎‎3‎‎3‎,(8分)‎ 又因为0<θ<π‎2‎,所以cos θ=‎21‎‎7‎,|AB|=|OA|=ρA=‎2‎‎21‎‎7‎.(10分)‎ ‎2.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为‎2,‎π‎3‎,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 答案　(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=‎4‎cosθ.‎ 由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,‎ 于是△OAB的面积S=‎1‎‎2‎|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·sinα-‎π‎3‎=2sin‎2α-‎π‎3‎-‎‎3‎‎2‎≤2+‎3‎.‎ 当α=-π‎12‎时,S取得最大值2+‎3‎.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+‎3‎.‎ 方法2　参数方程与普通方程的互化方法 ‎1.(2019广西柳州高三模拟,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=‎3‎‎2‎+2t,‎y=‎5‎‎2‎-2t(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=‎3‎‎1+2sin‎2‎θ.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的参数方程;‎ ‎(2)若P,Q分别为曲线C1,C2上的动点,求|PQ|的最小值,并求|PQ|取得最小值时Q点的直角坐标.‎ 答案　(1)由曲线C1的参数方程x=‎3‎‎2‎+2t,‎y=‎5‎‎2‎-2t(t为参数),‎ 消去t,得x+y-4=0,‎ 即曲线C1的普通方程为x+y-4=0.‎ 由ρ=‎3‎‎1+2sin‎2‎θ得ρ2(1+2sin2θ)=3,即ρ2+2ρ2sin2θ=3,‎ ‎∴x2+y2+2y2=3,即x‎2‎‎3‎+y2=1,‎ ‎∴曲线C2的参数方程为x=‎3‎cosφ,‎y=sinφ(φ为参数).‎ ‎(2)设曲线C2上的动点Q的坐标为(‎3‎cos φ,sin φ)(0≤φ<2π),因为动点P在曲线C1上,所以求|PQ|的最小值可转化为求Q到直线x+y-4=0的距离的最小值.‎ 设点Q到C1的距离为d,则d=‎|‎3‎cosφ+sinφ-4|‎‎2‎=‎2sinφ+‎π‎3‎-4‎‎2‎,‎ ‎∴当sinφ+‎π‎3‎=1,即φ=π‎6‎时,d取得最小值‎2‎,‎ ‎∴x=‎3‎cosπ‎6‎=‎3‎‎2‎,‎y=sinπ‎6‎=‎1‎‎2‎,‎∴此时Q点的直角坐标为‎3‎‎2‎‎,‎‎1‎‎2‎.‎ ‎2.(2020届河南十所名校尖子生联考,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2m+‎1‎‎6m,‎y=2m-‎‎1‎‎6m(m为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcosθ+‎π‎3‎=1.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知点M(2,0),若直线l与曲线C交于P,Q两点,求‎1‎‎|MP|‎+‎1‎‎|MQ|‎的值.‎ 答案　(1)将x=2m+‎1‎‎6m,‎y=2m-‎‎1‎‎6m中两式相加,可得x+y=4m,‎ 所以x+y‎4‎=m.‎ 所以x=2·x+y‎4‎+‎1‎‎6·‎x+y‎4‎,整理得‎3‎‎4‎x2-‎3‎‎4‎y2=1.‎ 故曲线C的普通方程为‎3‎‎4‎x2-‎3‎‎4‎y2=1.(3分)‎ 依题意,得直线l:ρ‎1‎‎2‎cosθ-‎3‎‎2‎sinθ=1,即ρcos θ-‎3‎ρsin θ=2.‎ 所以直线l的直角坐标方程为x-‎3‎y-2=0.(5分)‎ ‎(2)由(1)得直线l的参数方程为x=2+‎3‎‎2‎t,‎y=‎1‎‎2‎t(t为参数),代入‎3‎‎4‎x2-‎3‎‎4‎y2=1中,得3t2+12‎3‎t+16=0.‎ Δ=(12‎3‎)2-4×3×16=240>0.‎ 设P,Q对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-4‎3‎,t1t2=‎16‎‎3‎.(7分)‎ 所以‎1‎‎|MP|‎+‎1‎‎|MQ|‎=‎|MP|+|MQ|‎‎|MP|·|MQ|‎=‎|t‎1‎+t‎2‎|‎‎|t‎1‎t‎2‎|‎=‎3‎‎3‎‎4‎.(10分)‎ ‎【五年高考】‎ A组　统一命题·课标卷题组 考点一　坐标系与极坐标 ‎1.(2019课标全国Ⅲ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]‎ 如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B‎2‎‎,‎π‎4‎,C‎2‎‎,‎‎3π‎4‎,D(2,π),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),‎1,‎π‎2‎,(1,π),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.‎ ‎(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;‎ ‎(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=‎3‎,求P的极坐标.‎ 答案　本题考查极坐标的概念,求极坐标方程等知识点,通过极坐标的应用考查学生的运算求解能力,以求点的极坐标为背景考查数学运算的核心素养.‎ ‎(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ.‎ 所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ‎0≤θ≤‎π‎4‎,M2的极坐标方程为ρ=2sin θπ‎4‎‎≤θ≤‎‎3π‎4‎,M3的极坐标方程为ρ=-2cos θ‎3π‎4‎‎≤θ≤π.‎ ‎(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知 若0≤θ≤π‎4‎,则2cos θ=‎3‎,解得θ=π‎6‎;‎ 若π‎4‎≤θ≤‎3π‎4‎,则2sin θ=‎3‎,解得θ=π‎3‎或θ=‎2π‎3‎;‎ 若‎3π‎4‎≤θ≤π,则-2cos θ=‎3‎,解得θ=‎5π‎6‎.‎ 综上,P的极坐标为‎3‎‎,‎π‎6‎或‎3‎‎,‎π‎3‎或‎3‎‎,‎‎2π‎3‎或‎3‎‎,‎‎5π‎6‎.‎ ‎2.(2018课标全国Ⅰ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.‎ 答案　(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.‎ 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.‎ 记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.‎ 由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以‎|-k+2|‎k‎2‎‎+1‎=2,故k=-‎4‎‎3‎或k=0.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=-‎4‎‎3‎时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以‎|k+2|‎k‎2‎‎+1‎=2,故k=0或k=‎4‎‎3‎.‎ 经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;‎ 当k=‎4‎‎3‎时,l2与C2没有公共点.‎ 综上,所求C1的方程为y=-‎4‎‎3‎|x|+2.‎ ‎3.(2017课标全国Ⅲ,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为x=2+t,‎y=kt(t为参数),直线l2的参数方程为x=-2+m,‎y=‎mk(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-‎2‎=0,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ 答案　(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=‎1‎k(x+2).‎ 设P(x,y),由题设得y=k(x-2),‎y=‎1‎k(x+2).‎ 消去k得x2-y2=4(y≠0).‎ 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).‎ 联立ρ‎2‎‎(cos‎2‎θ-sin‎2‎θ)=4,‎ρ(cosθ+sinθ)-‎2‎=0‎ 得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).‎ 故tan θ=-‎1‎‎3‎,从而cos2θ=‎9‎‎10‎,sin2θ=‎1‎‎10‎,‎ 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,‎ 所以交点M的极径为‎5‎.‎ ‎4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是x=tcosα,‎y=tsinα(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=‎10‎,求l的斜率.‎ 答案　(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcos θ+11=0.(3分)‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcos α+11=0.(6分)‎ 于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|=‎(ρ‎1‎+ρ‎2‎‎)‎‎2‎-4‎ρ‎1‎ρ‎2‎=‎144cos‎2‎α-44‎.(8分)‎ 由|AB|=‎10‎得cos2α=‎3‎‎8‎,tan α=±‎15‎‎3‎.‎ 所以l的斜率为‎15‎‎3‎或-‎15‎‎3‎.(10分)‎ 考点二　参数方程 ‎1.(2018课标全国Ⅲ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为x=cosθ,‎y=sinθ(θ为参数),过点(0,-‎2‎)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.‎ ‎(1)求α的取值范围;‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ 答案　(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.‎ 当α=π‎2‎时,l与☉O交于两点.‎ 当α≠π‎2‎时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-‎2‎.‎ l与☉O交于两点当且仅当‎2‎‎1+‎k‎2‎<1,解得k<-1或k>1,‎ 即α∈π‎4‎‎,‎π‎2‎或α∈π‎2‎‎,‎‎3π‎4‎.‎ 综上,α的取值范围是π‎4‎‎,‎‎3π‎4‎.‎ ‎(2)l的参数方程为 x=tcosα,‎y=-‎2‎+tsinαt为参数,π‎4‎<α<‎‎3π‎4‎‎.‎ 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,‎ 则tP=tA‎+‎tB‎2‎,且tA,tB满足t2-2‎2‎tsin α+1=0.‎ 于是tA+tB=2‎2‎sin α,tP=‎2‎sin α.‎ 又点P的坐标(x,y)满足x=tPcosα,‎y=-‎2‎+tPsinα,‎ 所以点P的轨迹的参数方程是 x=‎2‎‎2‎sin2α,‎y=-‎2‎‎2‎-‎2‎‎2‎cos2αα为参数,π‎4‎<α<‎‎3π‎4‎‎.‎ ‎2.(2017课标全国Ⅰ,22,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=3cosθ,‎y=sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=a+4t,‎y=1-t(t为参数).‎ ‎(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为‎17‎,求a.‎ 答案　(1)解法一:曲线C的普通方程为x‎2‎‎9‎+y2=1.‎ 当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.‎ 由x+4y-3=0,‎x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎=1‎解得x=3,‎y=0‎或x=-‎21‎‎25‎,‎y=‎24‎‎25‎.‎ 从而C与l的交点坐标为(3,0),‎-‎21‎‎25‎,‎‎24‎‎25‎.‎ 解法二:设交点坐标为(x,y),当a=-1时,‎ 直线l的参数方程为x=-1+4t,‎y=1-t.‎ 将x=3cosθ,‎y=sinθ代入x=-1+4t,‎y=1-t,‎ 得‎3cosθ+1‎‎4‎=1-sin θ,‎ 即3cos θ+4sin θ=3,3‎1-2sin‎2‎θ‎2‎+8sin θ‎2‎cos θ‎2‎=3,‎ 即2sin θ‎4cos θ‎2‎-3sin ‎θ‎2‎=0,‎ 由此可得sinθ‎2‎=0或tanθ‎2‎=‎4‎‎3‎,‎ 所以cosθ=1,‎sinθ=0‎或cosθ=‎3‎‎5‎,‎sinθ=‎4‎‎5‎,‎ 故可得交点坐标为(3,0)或‎-‎21‎‎25‎,‎‎24‎‎25‎.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为d=‎|3cosθ+4sinθ-a-4|‎‎17‎.‎ 当a≥-4时,d的最大值为a+9‎‎17‎,‎ 由题设得a+9‎‎17‎=‎17‎,所以a=8;‎ 当a<-4时,d的最大值为‎-a+1‎‎17‎,‎ 由题设得‎-a+1‎‎17‎=‎17‎,所以a=-16.‎ 综上,a=8或a=-16.‎ B组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　坐标系与极坐标 ‎1.(2019江苏,21B,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在极坐标系中,已知两点A‎3,‎π‎4‎,B‎2‎‎,‎π‎2‎,直线l的方程为ρsinθ+‎π‎4‎=3.‎ ‎(1)求A,B两点间的距离;‎ ‎(2)求点B到直线l的距离.‎ 答案　本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.‎ ‎(1)设极点为O.在△OAB中,A‎3,‎π‎4‎,B‎2‎‎,‎π‎2‎,‎ 由余弦定理,得AB=‎3‎‎2‎‎+(‎2‎‎)‎‎2‎-2×3×‎2‎×cosπ‎2‎‎-‎π‎4‎=‎5‎.‎ ‎(2)因为直线l的方程为ρsinθ+‎π‎4‎=3,‎ 则直线l过点‎3‎2‎,‎π‎2‎,倾斜角为‎3π‎4‎.‎ 又B‎2‎‎,‎π‎2‎,所以点B到直线l的距离为(3‎2‎-‎2‎)×sin‎3π‎4‎‎-‎π‎2‎=2.‎ ‎2.(2018江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中,直线l的方程为ρsinπ‎6‎‎-θ=2,曲线C的方程为ρ=4cos θ,求直线l被曲线C截得的弦长.‎ 答案　因为曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,‎ 所以曲线C是圆心为(2,0),直径为4的圆,‎ 因为直线l的极坐标方程为ρsinπ‎6‎‎-θ=2,‎ 所以直线l过点(4,0),倾斜角为π‎6‎,‎ 设A(4,0),‎ 则A为直线l与圆C的一个交点.‎ 设另一个交点为B,则∠OAB=π‎6‎.‎ 连接OB,因为OA为直径,‎ 所以∠OBA=π‎2‎,‎ 所以AB=4cosπ‎6‎=2‎3‎.‎ 因此,直线l被曲线C截得的弦长为2‎3‎.‎ 考点二　参数方程 ‎　(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=-8+t,‎y=‎t‎2‎(t为参数),曲线C的参数方程为x=2s‎2‎,‎y=2‎2‎s(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.‎ 答案　直线l的普通方程为x-2y+8=0.‎ 因为点P在曲线C上,设P(2s2,2‎2‎s),‎ 从而点P到直线l的距离d=‎|2s‎2‎-4‎2‎s+8|‎‎1‎‎2‎‎+(-2‎‎)‎‎2‎=‎2(s-‎2‎‎)‎‎2‎+4‎‎5‎.‎ 当s=‎2‎时,dmin=‎4‎‎5‎‎5‎.‎ 因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值‎4‎‎5‎‎5‎.‎ C组　教师专用题组 考点一　坐标系与极坐标 ‎1.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为 ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为　　　　　　. ‎ 答案　x2+y2-2y=0‎ ‎2.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C2的参数方程为x=t‎2‎,‎y=2‎2‎t(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为　　　　. ‎ 答案　(2,-4)‎ ‎3.(2015陕西,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=3+‎1‎‎2‎t,‎y=‎3‎‎2‎t(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2‎3‎sin θ.‎ ‎(1)写出☉C的直角坐标方程;‎ ‎(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.‎ 答案　(1)由ρ=2‎3‎sin θ,得 ρ2=2‎3‎ρsin θ,从而有x2+y2=2‎3‎y,所以x2+(y-‎3‎)2=3.‎ ‎(2)设P‎3+‎1‎‎2‎t,‎3‎‎2‎t,又C(0,‎3‎),‎ 则|PC|=‎3+‎1‎‎2‎t‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎t-‎‎3‎‎2‎=t‎2‎‎+12‎,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).‎ ‎4.(2015课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1:x=tcosα,‎y=tsinα(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:‎ ρ=2sin θ,C3:ρ=2‎3‎cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.‎ 答案　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2‎3‎x=0.‎ 联立x‎2‎‎+y‎2‎-2y=0,‎x‎2‎‎+y‎2‎-2‎3‎x=0,‎解得x=0,‎y=0‎或x=‎3‎‎2‎,‎y=‎3‎‎2‎.‎ 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和‎3‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),‎ 其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2‎3‎cos α,α).‎ 所以|AB|=|2sin α-2‎3‎cos α|=4sinα-‎π‎3‎.‎ 当α=‎5π‎6‎时,|AB|取得最大值,最大值为4.‎ ‎5.(2015课标Ⅰ,23,10分)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π‎4‎(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ 答案　(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,‎ C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(5分)‎ ‎(2)将θ=π‎4‎代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3‎2‎ρ+4=0,解得ρ1=2‎2‎,ρ2=‎2‎,故ρ1-ρ2=‎2‎,即|MN|=‎2‎.‎ 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为‎1‎‎2‎.(10分)‎ ‎6.(2013课标Ⅰ,23,10分)已知曲线C1的参数方程为x=4+5cost,‎y=5+5sint(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).‎ 答案　(1)将x=4+5cost,‎y=5+5sint消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.‎ 将x=ρcosθ,‎y=ρsinθ代入x2+y2-8x-10y+16=0得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ 所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.‎ ‎(2)C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.‎ 由x‎2‎‎+y‎2‎-8x-10y+16=0,‎x‎2‎‎+y‎2‎-2y=0,‎解得x=1,‎y=1‎或x=0,‎y=2.‎ 所以C1与C2交点的极坐标分别为‎2‎‎,‎π‎4‎,‎2,‎π‎2‎.‎ 考点二　参数方程 ‎1.(2016江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1+‎1‎‎2‎t,‎y=‎3‎‎2‎t(t为参数),椭圆C的参数方程为x=cosθ,‎y=2sinθ(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.‎ 答案　椭圆C的普通方程为x2+y‎2‎‎4‎=1.‎ 将直线l的参数方程x=1+‎1‎‎2‎t,‎y=‎3‎‎2‎t代入x2+y‎2‎‎4‎=1,‎ 得‎1+‎1‎‎2‎t‎2‎+‎3‎‎2‎t‎2‎‎4‎=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-‎16‎‎7‎.‎ 所以AB=|t1-t2|=‎16‎‎7‎.‎ ‎2.(2014课标Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为 ρ=2cos θ,θ∈‎0,‎π‎2‎.‎ ‎(1)求C的参数方程;‎ ‎(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=‎3‎x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.‎ 答案　(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).‎ 可得C的参数方程为 x=1+cost,‎y=sint‎(t为参数,0≤t≤π).‎ ‎(2)设D(1+cos t,sin t).‎ 由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.‎ 因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=‎3‎,t=π‎3‎.‎ 故D的直角坐标为‎1+cosπ ‎‎3‎,sinπ‎3‎,即‎3‎‎2‎‎,‎‎3‎‎2‎.‎ ‎3.(2014课标Ⅰ,23,10分)已知曲线C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎9‎=1,直线l:x=2+t,‎y=2-2t(t为参数).‎ ‎(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;‎ ‎(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.‎ 答案　(1)曲线C的参数方程为x=2cosθ,‎y=3sinθ(θ为参数).‎ 直线l的普通方程为2x+y-6=0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离 d=‎5‎‎5‎|4cos θ+3sin θ-6|,‎ 则|PA|=dsin30°‎=‎2‎‎5‎‎5‎|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,‎ 且tan α=‎4‎‎3‎.‎ 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为‎22‎‎5‎‎5‎.‎ 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎4.(2013课标Ⅱ,23,10分)已知动点P,Q都在曲线C:x=2cost,‎y=2sint(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.‎ ‎(1)求M的轨迹的参数方程;‎ ‎(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.‎ 答案　(1)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).‎ M的轨迹的参数方程为x=cosα+cos2α,‎y=sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π).‎ ‎(2)M点到坐标原点的距离d=x‎2‎‎+‎y‎2‎=‎2+2cosα(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.‎ ‎5.(2012课标全国,23,10分)已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ,‎y=3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为‎2,‎π‎3‎.‎ ‎(1)求点A,B,C,D的直角坐标;‎ ‎(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.‎ 答案　(1)由已知可得A‎2cosπ‎3‎,2sinπ‎3‎,B2cosπ‎3‎+π‎2‎,2sinπ‎3‎+π‎2‎,C2cosπ‎3‎+π,2sinπ‎3‎+π,D2cosπ‎3‎+‎3π‎2‎,2sinπ‎3‎+‎3π‎2‎,‎ 即A(1,‎3‎),B(-‎3‎,1),C(-1,-‎3‎),D(‎3‎,-1).‎ ‎(2)设P(2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.‎ 因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].‎ ‎6.(2011课标,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosα,‎y=2+2sinα(α为参数),M是C1上的动点,P点满足OP=2OM,P点的轨迹为曲线C2.‎ ‎(1)求C2的方程;‎ ‎(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ=π‎3‎与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|.‎ 答案　(1)设P(x,y),则由条件知Mx‎2‎‎,‎y‎2‎.由于M点在C1上,所以x‎2‎‎=2cosα,‎y‎2‎‎=2+2sinα.‎即x=4cosα,‎y=4+4sinα.‎ 从而C2的参数方程为x=4cosα,‎y=4+4sinα(α为参数).‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sin θ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sin θ.‎ 射线θ=π‎3‎与C1的交点A的极径为ρ1=4sinπ‎3‎,射线θ=π‎3‎与C2的交点B的极径为ρ2=8sinπ‎3‎.‎ 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2‎3‎.‎ ‎【三年模拟】‎ 时间:60分钟　分值:80分 解答题(共80分)‎ ‎1.(2020届河南焦作期初定位考试,22)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为x=5+‎10‎cosφ,‎y=‎10‎sinφ(φ为参数),直线l的参数方程为x=tcosα,‎y=4+tsinα(t为参数),且直线l的倾斜角为‎3π‎4‎.‎ ‎(1)写出圆C和直线l的普通方程,并证明直线l与圆C相交;‎ ‎(2)设点M(0,4),直线l与圆C交于A,B两点,求|MA|+|MB|的值.‎ 答案　(1)圆C的普通方程为(x-5)2+y2=10.(1分)‎ 直线l过点(0,4),倾斜角为‎3π‎4‎,则其斜率为tan ‎3π‎4‎=-1,‎ 所以直线l的普通方程为y=-x+4,即x+y-4=0.(3分)‎ 因为圆心C(5,0)到直线l的距离为‎|5-4|‎‎2‎=‎2‎‎2‎<‎10‎,‎ 所以直线l与圆C相交.(5分)‎ ‎(2)由题意得,直线l的参数方程为x=tcos ‎3π‎4‎=-‎2‎‎2‎t,‎y=4+tsin ‎3π‎4‎=4+‎2‎‎2‎t(t为参数),(6分)‎ 代入x2+y2-10x+15=0,整理得t2+9‎2‎t+31=0.(8分)‎ 设点A,B对应的参数分别为t1,t2,‎ 易知点M在圆C外,所以|MB|+|MA|=|t1+t2|=9‎2‎.(10分)‎ ‎2.(2020届湖南顶级名校第一次联考,22)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-2+tcosα,‎y=tsinα其中t为参数,α为l的倾斜角,且α∈‎0,‎π‎2‎,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为θ=π‎2‎(ρ∈R),曲线C2的极坐标方程为ρ2cos 2θ=8.‎ ‎(1)求C1,C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)已知点P(-2,0),l与C1交于点Q,与C2交于A,B两点,且|PA|·|PB|=|PQ|2,求l的普通方程.‎ 答案　(1)曲线C1的直角坐标方程为x=0.‎ 方程ρ2cos 2θ=8可化为ρ2(cos2θ-sin2θ)=8,‎ 将x=ρcosθ,‎y=ρsinθ代入上式,得x2-y2=8.即曲线C2的直角坐标方程为x2-y2=8.(5分)‎ ‎(2)直线l的参数方程为x=-2+tcosα,‎y=tsinα其中t为参数,α为l的倾斜角,且α∈‎0,‎π‎2‎,‎ 则点Q对应的参数值为t=‎2‎cosα,即|PQ|=‎2‎cosα.(7分)‎ 将l的参数方程代入x2-y2=8,得(-2+tcos α)2-(tsin α)2=8,整理,得(cos2α-sin2α)t2-4tcos α-4=0,‎ 设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=‎4cosαcos‎2‎α-sin‎2‎α,t1t2=‎-4‎cos‎2‎α-sin‎2‎α,‎ 由Δ=16cos2α+16(cos2α-sin2α)>0,结合α∈‎0,‎π‎2‎,解得tan α<‎2‎,‎ 又因为|PA|·|PB|=|PQ|2,由题意知|PA|·|PB|=-t1t2,‎ 所以‎4‎cos‎2‎α-sin‎2‎α=‎4‎cos‎2‎α,解得sin α=0,‎ 故l的普通方程为y=0.(10分)‎ ‎3.(2019广东广州一模,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2cosθ,‎y=2sinθ(θ为参数),已知点Q(4,0),点P是曲线C1上任意一点,点M为PQ的中点,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求点M的轨迹C2的极坐标方程;‎ ‎(2)已知直线l:y=kx与曲线C2交于A,B两点,若OA=3AB,求k的值.‎ 答案　(1)设P(2cos θ,2sin θ),M(x,y).‎ 因为点Q(4,0),点M为PQ的中点,‎ 所以x=‎2cosθ+4‎‎2‎=2+cosθ,‎y=‎2sinθ‎2‎=sinθ,‎(2分)‎ 消去参数θ,整理得(x-2)2+y2=1,即x2+y2-4x+3=0,(3分)‎ 化成极坐标方程为ρ2-4ρcos θ+3=0,即为曲线C2的极坐标方程.(5分)‎ ‎(2)设直线l:y=kx的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).‎ 设A(ρ1,α),B(ρ2,α),‎ 因为OA=3AB,‎ 所以4OA=3OB,即4ρ1=3ρ2.‎ 联立ρ‎2‎‎-4ρcosθ+3=0,‎θ=α,‎ 整理得ρ2-4ρcos α+3=0.(6分)‎ 则ρ‎1‎‎+ρ‎2‎=4cosα,‎ρ‎1‎ρ‎2‎‎=3,‎‎4ρ‎1‎=3ρ‎2‎,‎ 解得cos α=‎7‎‎8‎.(8分)‎ 所以k2=tan2α=‎1‎cos‎2‎α-1=‎15‎‎49‎,‎ 则k=±‎15‎‎7‎.(10分)‎ ‎4.(2020届河南信阳调研考试,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=1-‎3‎t,‎y=1+t(t为参数).在以原点O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于P、Q两点,求∠POQ的值.‎ 答案　(1)由x=1-‎3‎t,‎y=1+t(t为参数)消去参数t得l的普通方程为x+‎3‎y=1+‎3‎.(1分)‎ 又因为x=ρcosθ,‎y=ρsinθ,‎所以l的极坐标方程为ρ(cos θ+‎3‎sin θ)=1+‎3‎.或2ρsinθ+‎π‎6‎=1+‎‎3‎(3分)‎ 由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,即x2+y2=2x,(4分)‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.(5分)‎ ‎(2)解法一:曲线C的直角坐标方程化为(x-1)2+y2=1,表示圆心为C(1,0),半径为1的圆.(6分)‎ 又由(1)得l的普通方程为x+‎3‎y-(1+‎3‎)=0,(7分)‎ 则点C到直线l的距离d=‎3‎‎2‎.(8分)‎ 所以|PQ|=2‎1-‎d‎2‎=1,所以△PCQ是等边三角形,‎ 所以∠PCQ=π‎3‎,(9分)‎ 又因为O是圆C上的点,所以∠POQ=‎∠PCQ‎2‎=π‎6‎.(10分)‎ 解法二:曲线C的直角坐标方程可化为(x-1)2+y2=1,表示圆心为C(1,0),半径为1的圆.(6分)‎ 将l的参数方程化为标准形式x=1-‎3‎‎2‎t',‎y=1+‎1‎‎2‎t'‎(其中t'为参数),代入C的直角坐标方程x2+y2-2x=0,得‎1-‎3‎‎2‎t'‎‎2‎+‎1+‎1‎‎2‎t'‎‎2‎-2‎1-‎3‎‎2‎t'‎=0,‎ 整理得t'2+t'=0,解得t'=0或t'=-1.(8分)‎ 设P,Q对应的参数分别为t1',t2',则|PQ|=|t1'-t2'|=1.‎ 所以∠PCQ=π‎3‎,(9分)‎ 又因为O是圆C上的点,‎ 所以∠POQ=‎∠PCQ‎2‎=π‎6‎.(10分)‎ ‎5.(2020届湖北高三入学调研考试,22)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C:x=2cosα,‎y=3sinα(α为参数),直线l:2x+y=8,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;‎ ‎(2)点P在直线l上,射线OP交曲线C于点R,点Q在射线OP上,且满足2|OR|2=9|OP|·|OQ|,求点Q的轨迹的直角坐标方程.‎ 答案　(1)曲线C的极坐标方程为ρ‎2‎cos‎2‎θ‎4‎+ρ‎2‎sin‎2‎θ‎9‎=1,‎ 直线l的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ=8.‎ ‎(2)设点Q的极坐标为(ρ,θ),‎ 易知|OR|2=‎36‎‎9cos‎2‎θ+4sin‎2‎θ,|OP|=‎8‎‎2cosθ+sinθ,‎ 代入2|OR|2=9|OP|·|OQ|,得‎1‎‎9cos‎2‎θ+4sin‎2‎θ=ρ‎2cosθ+sinθ,即ρ2=‎2ρcosθ+ρsinθ‎9cos‎2‎θ+4sin‎2‎θ,也即9ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=2ρcos θ+ρsin θ,‎ 所以点Q的轨迹的直角坐标方程为9x2+4y2=2x+y.‎ ‎6.(2019四川成都石室中学高三上入学考试,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:x+y-4=0,曲线C2:x=cosθ,‎y=1+sinθ(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(2)射线l:θ=αρ≥0,0<α<‎π‎2‎分别交C1,C2于M,N两点,求‎|ON|‎‎|OM|‎的最大值.‎ 答案　(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,x2+y2=ρ2,所以C1的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-4=0.‎ C2的普通方程为x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,所以C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎(2)设M(ρ1,α),N(ρ2,α)(ρ1>0,ρ2>0),‎ 则ρ1=‎4‎sinα+cosα,ρ2=2sin α,‎ 所以‎|ON|‎‎|OM|‎=ρ‎2‎ρ‎1‎=‎1‎‎2‎sin α(sin α+cos α)=‎2‎‎4‎sin‎2α-‎π‎4‎+‎1‎‎4‎,‎ 又0<α<π‎2‎,‎ 所以2α-π‎4‎∈‎-π‎4‎,‎‎3π‎4‎,‎ 所以当2α-π‎4‎=π‎2‎,即α=‎3π‎8‎时,‎|ON|‎‎|OM|‎取得最大值‎2‎‎+1‎‎4‎.‎ ‎7.(2020届云南师大附中摸底考试,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=3sinθ,‎y=3cosθ(其中θ为参数),曲线C2的普通方程为x‎2‎‎4‎+y2=1,以坐标原点为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程;‎ ‎(2)射线l1:θ=θ0θ‎0‎‎∈‎‎0,‎π‎2‎依次与曲线C1和曲线C2交于A,B两点,射线l2:θ=θ0+π‎2‎θ‎0‎‎∈‎‎0,‎π‎2‎依次与曲线C1和曲线C2交于C,D两点,求S‎△AOCS‎△BOD的最大值.‎ 答案　(1)由曲线C1的参数方程为x=3sinθ,‎y=3cosθ(其中θ为参数)得曲线C1的普通方程为x2+y2=9.‎ 由x=ρcosθ,‎y=ρsinθ得曲线C1的极坐标方程为ρ=3.‎ 因为曲线C2的普通方程为x‎2‎‎4‎+y2=1,‎ 所以由x=ρcosθ,‎y=ρsinθ得曲线C2的极坐标方程为ρ2=‎4‎cos‎2‎θ+4sin‎2‎θ.(5分)‎ ‎(2)如图,由题意知S△AOC=‎1‎‎2‎|OA|·|OC|=‎9‎‎2‎,‎ S△BOD=‎1‎‎2‎|OB|·|OD|‎ ‎=‎1‎‎2‎·‎4‎cos‎2‎θ‎0‎+4sin‎2‎θ‎0‎·‎‎4‎cos‎2‎θ‎0‎‎+‎π‎2‎+4sin‎2‎θ‎0‎‎+‎π‎2‎ ‎=‎8‎‎(cos‎2‎θ‎0‎+4sin‎2‎θ‎0‎)(sin‎2‎θ‎0‎+4cos‎2‎θ‎0‎)‎,‎ 所以S‎△AOCS‎△BOD=‎9‎‎16‎(cos2θ0+4sin2θ0)(sin2θ0+4cos2θ0)≤‎9‎‎16‎×‎5‎‎2‎‎2‎=‎225‎‎64‎,‎ 当且仅当cos2θ0+4sin2θ0=sin2θ0+4cos2θ0,即θ0=π‎4‎时,取等号,‎ 所以S‎△AOCS‎△BOD的最大值为‎225‎‎64‎.(10分)‎ ‎8.(2018河南洛阳二模,22)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρsin θ=4,曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,曲线C3的极坐标方程为θ=π‎4‎(ρ∈R).‎ ‎(1)求C1与C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)若C2与C1交于P点,C2与C3交于A,B两点,求△PAB的面积.‎ 答案　(1)∵曲线C1的极坐标方程为ρsin θ=4,‎ ‎∴曲线C1的直角坐标方程为y=4.‎ ‎∵曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+1=0,‎ ‎∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-4y+1=0,‎ 即(x-1)2+(y-2)2=4.‎ ‎(2)∵曲线C3的极坐标方程为θ=π‎4‎(ρ∈R),‎ ‎∴曲线C3的直角坐标方程为y=x,‎ 联立C1与C2的方程得y=4,‎‎(x-1‎)‎‎2‎+(y-2‎)‎‎2‎=4,‎ 得x2-2x+1=0,‎ 解得x1=x2=1,‎ ‎∴点P的坐标为(1,4).‎ 则点P到曲线C3的距离d=‎|1-4|‎‎2‎=‎3‎‎2‎‎2‎.‎ 设A(ρ1,θ1),B(ρ2,θ2).‎ 将θ=π‎4‎代入C2的极坐标方程,得ρ2-3‎2‎ρ+1=0,‎ 则ρ1+ρ2=3‎2‎,ρ1ρ2=1,‎ ‎|AB|=|ρ1-ρ2|=‎(ρ‎1‎+ρ‎2‎‎)‎‎2‎-4‎ρ‎1‎ρ‎2‎=‎14‎,‎ ‎∴S△PAB=‎1‎‎2‎|AB|d=‎1‎‎2‎×‎14‎×‎3‎‎2‎‎2‎=‎3‎‎7‎‎2‎.‎