湖北省沙市中学 2016-2017 学年高二数学上学期第四次双周练试题 文

湖北省沙市中学 2016-2017 学年高二数学上学期第四次双周练试题 文

湖北省沙市中学 2016-2017 学年高二数学上学期第四次双周练试题 文 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.） 1．命题：“若 2 2 0( , )a b a b R   ，则 0a b  ”的逆否命题是（ ） A．若 0( , )a b a b R   ，则 2 2 0a b  B．若 0( , )a b a b R   ，则 2 2 0a b  C．若 0, 0( , )a b a b R  且 ，则 2 2 0a b  D．若 0, 0( , )a b a b R  或 ，则 2 2 0a b  2．圆 2 2 2 2 1 0x y x y     上的点到直线 2x y  的距离最大值是（ ） A．2 B. 1 2 C． 21 2  D．1 2 2 3．已知点 (2, 3) ( 3 2)A B  、 ， ，直线 l过点 (1,1)P ，且与线段 AB相交，则直线 l的斜率 k取值 范围是（ ） A． 3 4 k  或 4k   B． 3 4 k  或 1 4 k   C. 34 4 k   D． 3 4 4 k  4．“ 1 3a b 或 ”是“ 3a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 5．下列说法正确的是（ ） A． Ra ，“ 11  a ”是“ 1a ”的必要不充分条件 B．“ qp  为真命题”的必要不充分条件是“ qp  为真命题” C．命题“ Rx ，使得 0322  xx ”的否定是：“ Rx ， 0322  xx ” D．命题 p：“ Rx ， 2cossin  xx ”，则 p 是真命题 6．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数 1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷 1 次。设 事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C表示向上的 一面出现的点数不小于 4，则( )． A．A与 B是互斥而非对立事件 B．A与 B是对立事件 C．B与 C是互斥而非对立事件 D．B与 C是对立事件 7．下列有关命题的说法错误的为（ ） A．命题“若 2 3 2 0x x   ，则 1x  ”的逆否命题为“若 1x  ，则 2 3 2 0x x   ” B．“ 2x  ”是“ 2 6 0x x   ”的充分不必要条件 C．命题“存在 x R ，使得 2 1 0x x   ”的否定是“对任意 x R ，均有 2 1 0x x   ” D．若 p q 为假命题，则 ,p q均为假 8．椭圆的中心在原点，左右焦点 1 2F F、 在 x轴上， A B、 分别是椭圆的上顶点和右顶点， P是椭 圆上一点，且 1PF x 轴， 2 / /PF AB，则此椭圆的离心率等于（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 2 D． 5 5 9．若椭圆 2 2 1 36 9 x y   的弦被点  4,2 平分，则此弦所在直线的斜率为（ ） A．2 B． 2 C． 1 3 D． 1 2  10．天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相同，每一天下雨的概率均为 40%．现采 用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用 1，2，3，4 表示下雨，从下列随机 数表的第 1 行第 2 列开始向右读取直到末尾，每三个一组，从而获得 21 组数据．据此估计，这三 天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） 19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 17 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A． 5 21 B． 2 7 C． 1 3 D．无答案可选 11．甲、乙两人约定上午 7：20 至 8：00 之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有 3班公共汽车，它们 开车的时刻分别是 7：40、7：50 和 8：00，甲、乙两人约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概 率为（假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在 7：20 至 8：00 时的任何时刻到 达车站都是等可能的）（ ） A． 3 1 B． 2 1 C． 8 3 D． 8 5 12．已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 上有一点 A,它关于原点的对称点为 B，点 F 为椭圆的右焦点，且 满足 AF BF ，设 ABF   ，且 , 12 6        ，则该椭圆的离心率 e的取值范围为（ ） A． ] 2 3, 2 13[  B． ] 3 6, 2 13[  C． ] 3 6,13[  D． ] 2 3,13[  二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 13．某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取 20 名学生进行心理测试，其中高三有学生 900 人，已知高一与高二共抽取了 14 人，则全校学生的人数为________ 14．设 : 4 3 1p x   ；   : 1 0q x a x a    ，若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围 是___________． 15.已知 1 2F F、 为椭圆 2 2 1 25 9 x y   的两个焦点，过 1F 作的直线交椭圆于 A B、 两点，若 2 2 12F A F B  ，则 AB  ____________． 16．设      2 2: 4 1 1, : 2 1 1 0p x q x a x a a       ，若非 p是非 q的必要而不充分条件，则实 数 a的取值范围为____________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10 分）设条件 p：实数 x满足 2 24 3 0( 0)x ax a a    ；条件 q：实数 x满足 2 2 8 0,x x   且命题“若 p，则 q”的逆否命题为真命题，求实数 a的取值范围. 18. （本题 12 分，（1）小问 6 分，（2）小问 6 分） 已知两条直线 l1：3x＋4y－2＝0与 l2：2x＋y＋2＝0 的交点 P，求： (1) 过点 P 且过原点的直线 l 的方程； (2) 若直线 m与 l平行，且点 P到直线 m的距离为 3，求直线 m的方程． 19.已知圆 2 2: 2 4 4 0C x y x y     ，是否存在斜率为 1的直线 L，使以 L被圆C截得弦 AB为直 径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由. 20．（12 分）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如 图)， (1) 由图中数据求 a的值; (2)若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人参 加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为多少? (3) 估计这所小学的小学生身高的众数，中位数及平均数. 21.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a b a b     的焦距为 4 2，短半轴的长为 2，过点  2,1P  斜率为 1 的直线 l与椭圆C交于 A B、 两点． （1）求椭圆C的方程； （2）求弦 AB的长． 22.（12 分）在平面直角坐标系 xOy中,与向量 ),1( kd  平行的直 线 l经过椭圆 1 918 22  yx 的右焦点 F ,与椭圆相交于 A、B两 点 (1)若点 A在 x轴的上方,且 |||| OFOA  ,求直线 l的方程; (2)若 1k , )0,6(P ,求△ PAB的面积; (3)当 k ( Rk  且 0k )变化时,是否存在一点 )0,( 0xC ,使得直 线 AC和BC的斜率之和为0 .若存在，请证明结论；若不存在， 请说明理由. 2016 高二数学双周练数学试卷 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.） 1．命题：“若 2 2 0( , )a b a b R   ，则 0a b  ”的逆否命题是（ ） E．若 0( , )a b a b R   ，则 2 2 0a b  F．若 0( , )a b a b R   ，则 2 2 0a b  G．若 0, 0( , )a b a b R  且 ，则 2 2 0a b  H．若 0, 0( , )a b a b R  或 ，则 2 2 0a b  D 2.圆 2 2 2 2 1 0x y x y     上的点到直线 2x y  的距离最大值是（ ） A．2 B. 1 2 C． 21 2  D．1 2 2 【答案】B 【解析】试题分析：圆心为 1,1（ ），半径为1，圆心到直线 2x y  的距离为 1 1 2 2 2 d     ，所以 圆上的点到直线 2x y  的距离最大值是 2 1 .故选 B． 3.已知点 (2, 3) ( 3 2)A B  、 ， ，直线 l过点 (1,1)P ，且与线段 AB相交，则直线 l的斜率 k取值 范围是（ ） A． 3 4 k  或 4k   B． 3 4 k  或 1 4 k   C. 34 4 k   D． 3 4 4 k  【答案】A【解析】试题分析：如图，直线 AP的斜率 1+3= 4 1 2 k    ，直线BP的斜率 1+2 3= 1+3 4 k  ．设 l与线段 AB 交于M 点，M 由 B出发向 A移动，斜率越来越大，在某点处会 AM 平行 y轴，此时无 斜率．即 1k  ，过了这点，斜率由增大到直线 BP的斜率 2 ．即 2k   ，所以直线 l斜率取值范 围为   3, 4 , 4        .故选 A． 4．“ 1 3a b 或 ”是“ 3a b  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 B 5．下列说法正确的是（ ） A． Ra ，“ 11  a ”是“ 1a ”的必要不充分条件 B．“ qp  为真命题”的必要不充分条件是“ qp  为真命题” C．命题“ Rx ，使得 0322  xx ”的否定是：“ Rx ， 0322  xx ” D．命题 p：“ Rx ， 2cossin  xx ”，则 p 是真命题 A 6.一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数 1，2，3，4，5，6．将这个玩具向上抛掷 1 次。设事 件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C表示向上的一 面出现的点数不小于 4，则( )． A、A与 B是互斥而非对立事件 B、A 与 B 是对立事件 C、B与 C是互斥而非对立事件 D、B 与 C 是对立事件 D 7.下列有关命题的说法错误的为（ ） A．命题“若 2 3 2 0x x   ，则 1x  ”的逆否命题为“若 1x  ，则 2 3 2 0x x   ” B．“ 2x  ”是“ 2 6 0x x   ”的充分不必要条件 C．命题“存在 x R ，使得 2 1 0x x   ”的否定是“对任意 x R ，均有 2 1 0x x   ” D．若 p q 为假命题，则 ,p q均为假 【答案】D 【解析】 试题分析：根据复合命题真值表可知，若 p q 为假命题，则 ,p q至少有一个为假命题，所以 p q 为 假命题，则 ,p q均为假是错误的，故选 D． 8.椭圆的中心在原点，左右焦点 1 2F F、 在 x轴上， A B、 分别是椭圆的上顶点和右顶点， P是椭 圆上一点，且 1PF x 轴， 2 / /PF AB，则此椭圆的离心率等于（ ） A． 1 3 B． 1 2 C． 2 2 D． 5 5 【答案】D 【解析】 试题分析：如图所示，设椭圆的方程为 2 2 2 2 1( 0)x y a b a b     ，所以 x c  时， 4 2 2 by a  ，所以 2 2( , ), ( ,0)bP c F c a  ，又 2( ,0), (0, ), //A a B b PF AB，所以 2 //PF ABk k ，所以 2 2 b b ac a    ，所以 2b c ， 2 2 5a b c c   ，所以 5 5 ce a   ，故选 D． 9.若椭圆 2 2 1 36 9 x y   的弦被点  4,2 平分，则此弦所在直线的斜率为（ ） A．2 B．-2 C． 1 3 D． 1 2  【答案】D 【解析】 试题分析：设斜率为 k，则直线的方程为 2 ( 4)y k x   ，即 2 4 0kx y k    ，代入椭圆的方程化 简得 2 2 2 2(1 4 ) (16 32 ) 64 64 20 0k x k k x k k       ，所以 2 1 2 2 32 16 8 1 4 k kx x k      ，解得 1 2 k   ， 故选 D. 10．天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相同，每一天下雨的概率均为 40%．现采 用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用 1，2，3，4 表示下雨，从下列随机数表 的第 1 行第 2列开始向右读取直到末尾，每三个一组，从而获得 21 组数据．据此估计，这三天中恰有 两天下雨的概率近似为（ ） 19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 17 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A． 5 21 B． 2 7 C． 1 3 D．无答案可选 B 11．甲、乙两人约定上午 7：20 至 8：00 之间到某站乘公共汽车，在这段时间内有 3 班公共汽车，它们 开车的时刻分别是 7：40、7：50 和 8：00，甲、乙两人约定，见车就乘，则甲、乙同乘一车的概率为 （假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在 7：20 至 8：00 时的任何时刻到达车站 都是等可能的）（ ） A． 3 1 B． 2 1 C． 8 3 D． 8 5 C 12. 已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 上有一点 A,它关于原点的对称点为 B，点 F 为椭圆的右焦点，且 满足 AF BF ，设 ABF   ，且 , 12 6        ，则该椭圆的离心率 e的取值范围为（ ） A． ] 2 3, 2 13[  B． ] 3 6, 2 13[  C． ] 3 6,13[  D． ] 2 3,13[  C 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 13．某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取 20 名学生进行心理测试，其中高三有学生 900 人，已知高一与高二共抽取了 14 人，则全校学生的人数为________ 3000 14．设 : 4 3 1p x   ；   : 1 0q x a x a    ，若 p是 q的充分不必要条件，则实数 a的取值范围 是___________． 14 10 2 a  15.已知 1 2F F、 为椭圆 2 2 1 25 9 x y   的两个焦点，过 1F 作的直线交椭圆于 A B、 两点，若 2 2 12F A F B  ，则 AB  ____________． 【答案】8 16.设      2 2: 4 1 1, : 2 1 1 0p x q x a x a a       ，若非 p是非 q的必要而不充分条件，则实 数a的取值范围为____________． 【答案】 1 ,0 2     【解析】 试题分析：由题意得，命题  2: 4 1 1p x   ，解得 10 2 x  ，命题    2: 2 1 1 0q x a x a a     ， 即 ( )[ ( 1)] 0x a x a    ，解得 1a x a   ，又因为非 p是非 q的必要而不充分条件，即 p是 q充 分不必要条件，所以 0 11 2 a a      ，解得 1 0 2 a   ，所以实数 a的取值范围为 1 ,0 2     ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10 分）设条件 p：实数 x满足 2 24 3 0( 0)x ax a a    ；条件 q：实数 x满足 2 2 8 0,x x   且命题“若 p，则 q”的逆否命题为真命题，求实数 a的取值范围. 解：设  )0(,034 22  aaaxxxA 当 0a 时，  aaA 3, ；当 0a 时，  aaA ,3    2,40822  xxxxxxB 或 由于命题“若 p，则 q”的逆否命题为真命题 所以命题“若 p，则 q”为真命题 p 是 q的充分条件 A B  2a 或 4a 所以实数a的取值范围是 2a 或 4a 18. （本题 12 分，（1）小问 6 分，（2）小问 6 分） 已知两条直线 l1：3x＋4y－2＝0与 l2：2x＋y＋2＝0 的交点 P，求： (1) 过点 P 且过原点的直线 l 的方程； (2) 若直线 m与 l平行，且点 P到直线 m的距离为 3，求直线 m的方程． 解：由 3x＋4y－2＝0， 2x＋y＋2＝0， 解得 x＝－2， y＝2. ∴点 P 的坐标是(－2,2)，……………3 (1)所求直线方程为 y＝－x. ……………6 （2）由直线 m 与直线 l 平行，可设直线 m 的方程为 x＋y＋C＝0，……………8 由点到直线的距离公式得 2 2 2 2 3 1 1 c     ，解得 C＝ 3 2 ，……………10 故所求直线方程为 x＋y＋3 2＝0 或 x＋y 3 2 ＝0. ……………12 19.已知圆 2 2: 2 4 4 0C x y x y     ，是否存在斜率为 1的直线 L，使以 L被圆C截得弦 AB为 直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 1y x  ． 【解析】 设此方程两根为 1 2x x， ，则 1 2 ( 1)x x b    ， 1 2 1 2 2 1y y x x b b      ， 则 AB中点为 1 1( , ) 2 2 b b   ， 又弦长为 2 2 1 21 | | 2( 6 9)k x x b b      ， 由题意可列式 2 2 2 22( 6 9)1 1( ) ( ) ( ) 2 2 2 b bb b       ， 解得 1b  或 4b   . 经检验 1b  或 4b   都符合题意. 所以所求直线方程为 1y x  . 20．（12 分）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如 图)， (1) 由图中数据求 a的值; (2) 若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取 18 人 参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为多少? (3) 估计这所小学的小学生身高的众数，中位数及平均数. （1）因为直方图中的各个矩形的面积之和为 1， 所以有 10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得 a＝0.030. （2）由直方图可知三个区域内的学生总数为 100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60 人． 其中身高在[140,150]内的学生人数为 10 人，所以从身高在[140,150]范围内抽取的 学生人数为 18 60 ×10＝3 人． （3）分别为 115cm， 3 1123 cm，124.5cm 21.已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a b a b     的焦距为 4 2 ，短半轴的长为 2，过点  2,1P  斜率为 1 的直线 l与椭圆C交于 A B、 两点． （1）求椭圆C的方程； （2）求弦 AB的长． 【答案】（1） 2 2 1 12 4 x y   ；（2） 42 2 AB  ． 【解析】 试题分析：（1）由椭圆的焦距为 4 2 ，短半轴的长为 2，求得 ,b c的值，进而得到 a的值，即可得到 椭圆的方程；（2）设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，把直线的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理和弦长公式， 即可求解弦 AB的长． 考点：椭圆的方程；弦长公式． 22.（12 分）在平面直角坐标系 xOy中,与向量 ),1( kd  平行的直线 l经过椭圆 1 918 22  yx 的右焦点 F , 与椭圆相交于 A、 B两点 (1)若点 A在 x轴的上方,且 |||| OFOA  ,求直线 l的方程; (2)若 1k , )0,6(P ,求△ PAB的面积; (3)当 k ( Rk  且 0k )变化时,是否存在一点 )0,( 0xC ,使得直线 AC 和 BC的斜率之和为 0 . 若存在，请证明结论；若不存在，请说明理由. (1)由题意 182 a , 92 b 得 3c ,所以 )0,3(F |||| OFOA  且点 A在 x轴的上方,得 )3,0(A 1k , )1,1( d 直线 l : 1 0 1 3     yx ,即直线 l的方程为 03  yx (2)设 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB ,当 1k 时,直线 l : 3 xy 将直线与椭圆方程联立       3 1 918 22 xy yx , 消去 x得, 0322  yy ,解得 31 y , 12 y 4|| 21  yy ,所以 643 2 1|||| 2 1 21  yyPFS PAB (3)假设存在这样的点 )0,( 0xC ,使得直线 AC和 BC的斜率之和为 0,由题意得, 直线 l : )3(  xky ( 0k )       )3( 1 918 22 xky yx ,消去 y得, 0)1(1812)21( 2222  kxkxk 0 恒成立,            2 2 21 2 2 21 21 )1(18 21 12 k kxx k kxx 01 1 xx y k AD   , 02 2 xx y kBD      01 1 xx y kk BDAD 02 2 xx y  0 ))(( ))(3())(3()3()3( 0201 012021 02 2 01 1           xxxx xxxkxxxk xx xk xx xk 所以 06))(3(2 021021  kxxxxkxkx 06 21 )3(12 21 )1(36 02 0 3 2 2       kx k xk k kk 解得 60 x ,所以存在一点 )0,6( ,使得直线 AC和 BC的斜率之和 为 0