新课标高二数学同步测试(9)
新课标高二数学同步测试（9）—（2－2 第三章）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的
括号内（每小题 5 分，共 50 分）．
1．方程 2z+|z|=2+6i 的解的情况是 （ ）
A．没有解 B．只有一解 C．有两解 D．多于两解
2．已知 z=x＋yi(x，y∈R)，且 222 log 8 (1 log )xy i x y i ，则 z= （ ）
A．2＋i B．1＋2i C．2＋i 或 1＋2i D．无解
3．下列命题中正确的是 （ ）
A．任意两复数均不能比较大小； B．复数 z 是实数的充要条件是 z= z ；
C．复数 z 是纯虚数的充要条件是z+ =0； D．i+1 的共轭复数是 i－1；
4．设 )()1
1()1
1()( Nni
i
i
inf nn
，则集合 )(nfxx 中元素的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．无穷多个
5．使不等式 m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10 成立的实数 m （ ）
A．1 B．0 C．3 D．复数无法比较大小
6．设复数 ,z x yi x y R ，则满足等式 20zx 的复数 z 对应的点的轨迹是 （ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．若非零复数 ,xy满足 220x xy y ,则 2005 2005( ) ( )xy
x y x y
的值是 （ ）
A．1 B． 1 C． 20042 D． 20042
8．如图所示，复平面内有 RtΔ ABC，其中∠BAC=90°，点 A、B、C 分别对应复数 32 zzz 、、 ，且 z =2，
则 z=（ ）
A． i 3 B． i3
C． i31 D． i31
则实数 a 的取9．复数 z 1 ＝a＋2ｉ，z 2 ＝－2＋ｉ，如果|z |< |z |，
值范围是 （ ）
A．－1
1 C．a>0 D．a<－1 或 a>1
10．如果复数 z 满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______．
A．1 B． 2 C．2 D． 5
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）．
11．已知关于 x 的实系数方程 x2－2ax+a2－4a+4=0 的两虚根为 x1、x2，且|x1|+|x2|=3，则 a 的值为
．
12．已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中 x, y∈R，求 x= ， y= ．
13．i＋i2＋i3+……+i2005= ．
O x
B
C
y A
z
2z 3z
14．已知 x、y、t∈R，t≠－1 且 t≠0，求满足 x＋yi= 1()1
ttitt
时，点(x, y)的轨迹方程
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)．
15．（ 12 分）设|z 1 |＝5，|z 2 |＝2, |z － z2 |＝ 13 ，求 z
z
1
2
的值．
16．（ 12 分）当 m 为何实数时，复数 z＝
2
2
2 3 2
25
mm
m
+(m2+3m－10)i；（ 1）是实数；（2）是虚数；（3）
是纯虚数．
17．（12 分）求同时满足下列条件的所有复数 z:(1)
zz 10 是实数，且 6101 zz ．(2)z 的实部和虚部
都是整数．
18．（ 12 分）设复数|z－i|=1, 且 z0, z2i. 又复数 w 使
z
iz
iw
w 2
2
为实数，问复数 w 在复平面上所对
应的点 Z 的集合是什么图形，并说明理由．
19．（14 分）设虚数 z1,z2，满足 2
2
1 zz .
（1）若 z1,z2 又是一个实系数一元二次方程的两根，求 z1, z2．
（2）若 z1=1+mi(i 为虚数单位，m∈R), 2|| 1 z ,复数 w=z2+3,求|w|的取值范围．
20．（ 14 分）已知：A、B 是 ABC 的两个内角， jBAiBAm 2sin2
5
2cos
，
其中
i 、
j 为相互垂直的单位矢量．若 |
m | =
4
23 ，试求 tanA·t anB 的值．
参考答案
一、1．B；
2．C；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．
∵ 222 log 8 (1 log )xy i x y i ，∴
22
2 8 0
log 1 log
xy
xy
，∴ 3
2
xy
xy
，
解得 2
1
x
y
或 1
2
x
y
, ∴ z＝2＋i 或 z＝1＋2i．
诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）
3．B；
4．C；解析：∵ nn iinf )()( ∴ 0)3(,2)2(,0)1( fff ， ,2)4( f ，∴ 集合 )(nfxx
中的元素为 2,0,2 ，选 C．；
5．C；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．
∵ m2－(m2－3m)i＜(m2－4m＋3)i＋10, 且虚数不能比较大小，
∴
2
2
2
10
30
4 3 0
m
mm
mm
，解得
| | 10
0或 3
3或 1
m
mm
mm
，∴ m=3.
当 m＝3 时，原不等式成立．
诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件．
6．D；7．A；8．C；
9．A；利用复数模的定义得 a 2 22 < 5 ，选 A；；
10．A；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选 A；
二、11．
2
1 ；12．x= 2
5 , y=4；
13．i；解：此题主要考查 in 的周期性．
i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005
=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i＝0＋0＋……＋0+i＝i.
或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）
诠释：本题应抓住 in 的周期及合理分组．
14．xy=1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．
∵ x＋yi= 1()1
ttitt
，∴ 1
1
tx t
ty t
， ∴xy=1,
∴ 点(x，y)的轨迹方程为 xy＝1，它是以 x 轴、y 轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．
三、
15． 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．
【解】 如图，设 z 1 ＝OA、z 2 ＝OB后，则 z1 ＝OC 、 z2 ＝OD 如图所示．
由图可知，|
z
z
1
2
|＝ 5
2 ，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：
cos∠AOD＝ 5 2 13
2 5 2
2 2 2 ( )
× × ＝ 4
5
∴ ＝ ( ± 3
5 ｉ)＝2± 3
2 ｉ
【另解】设 z ＝ 、 ＝ 如图所示．则|
z
z
1
2
|＝ ，且
cos∠AOD＝ ＝ ，sin∠AOD＝± 3
5 ，
所以 ＝ ( ± ｉ)＝2± ｉ，即 ＝2± ｉ．
【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表
达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼． 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成
几何问题，
16．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．
y A
D
O B x
C
y A
D
O x
（1）z 为实数，则虚部 m2+3m－10=0，即
2
2
3 10 0
25 0
mm
m
，
解得 m=2，∴ m=2 时，z 为实数．
（2）z 为虚数，则虚部 m2+3m－10≠0，即
2
2
3 10 0
25 0
mm
m
，
解得 m≠2 且 m≠±5. 当 m≠2 且 m≠±5 时，z 为虚数．
2
2
2
2 3 2 0
3 10 0
25 0
mm
mm
m
，
解得 m=－
2
1 , ∴当 m=－ 时，z 为纯虚数．
诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零
这一要求．
17．分析与解答：
设 z=a+bi (a,b∈R,且 a2+b2≠0).
则 22
)(101010
ba
biabiabiabiazz
ibabbaa )101()101( 2222
由(1)知
zz 10 是实数，且 6101 zz ,
∴ 0)101( 22 bab 即 b=0 或 a2+b2=10.
又 6)101(1 22 baa *
当 b=0 时，*化为 6101 aa 无解．
当 a2+b2=10 时，*化为 1<2a≤6, ∴ 32
1 a .
由(2)知 a=1,2,3.
∴ 相应的 b=±3, ± 6 (舍)，±1，
因此，复数 z 为：1±3i 或 3±i.
此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法．
18．分析与解答：设 z=a+bi, w=x+yi (a,b, x,y∈R).
由题 z≠0, z≠2i 且|z－i|=1,
∴ a≠0, b≠0 且 a2+b2－2b=0.
2222
22
22
22
22
22
2
)2(
2)2(
2)2(
)2(
2)2(
2
2
2
2
ba
ai
yx
xiyyx
ba
aibba
yx
xiyyx
bia
ibia
iyix
yix
z
iz
iw
wu
记
已知 u 为实数，
∴ 02
)2(
2
2222
22
ba
a
yx
yyx ，
∵a≠0, ∴ x2+y2－2y=0 即 x2+(y－1)2=1.
∴w 在复平面上所对应的点 Z 的集合是以(0, 1)为圆心，1 为半径的圆．
又∵ w－2i≠0, ∴除去(0, 2)点．
此题中的量比较多，由于是求 w 对应点的集合，所以不妨设 w 为 x+yi(x,y∈R), z=a+bi(a,b∈R).关
于 z 和 w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意．
19．分析与解答：
(1)∵z1, z2 是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，
可设 z1=a+bi(a,b∈R 且 b≠0),则 z2=a－bi,
由 2
2
1 zz 得(a+bi)2=a－bi
即： a2－b2+2abi=a－bi
根据复数相等，
bab
aba
2
22
∵b≠0 解得：
2
3
2
1
b
a
或
2
3
2
1
b
a
，
∴
iz
iz
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
或
iz
iz
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
．
(2)由于 2
2
1 zz ，z1=1+mi, w=z2+3,
∴w=(1+mi)2+3=4－m2+2mi.
∴ 12)2(4)4(|| 22222 mmmw ,
由于 2|z| 1 且 m≠0, 可解得 0
查看更多
