高中数学人教a版必修二 章末综合测评3 word版含答案

高中数学人教a版必修二 章末综合测评3 word版含答案

章末综合测评(三) 直线与方程 (时间 120 分钟，满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2015·吉林高一检测)在直角坐标系中，直线 3x－y－3＝0 的倾斜角是 ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 【解析】 直线的斜率 k＝ 3，倾斜角为 60°. 【答案】 B 2．(2015·许昌高一检测)若 A(－2,3)，B(3，－2)，C 1 2 ，m 三点共线，则 m 的 值为( ) A.1 2 B．－1 2 C．－2 D．2 【解析】 由 －2－3 3－－2 ＝m＋2 1 2 －3 ，得 m＝1 2. 【答案】 A 3．如图，在同一直角坐标系中，表示直线 y＝ax 与 y＝x＋a 正确的是( ) 【解析】 当 a>0 时，A，B，C，D 均不成立；当 a<0 时，只有 C 成立． 【答案】 C 4．两平行直线 5x＋12y＋3＝0 与 10x＋24y＋5＝0 之间的距离是( ) 【导学号：09960125】 A. 2 13 B. 1 13 C. 1 26 D. 5 26 【解析】 5x＋12y＋3＝0 可化为 10x＋24y＋6＝0. 由平行线间的距离公式可得 d＝ |6－5| 102＋242 ＝ 1 26. 【答案】 C 5．(2015·大连高一检测)直线 l1：(3－a)x＋(2a－1)y＋7＝0 与直线 l2：(2a＋1)x ＋(a＋5)y－6＝0 互相垂直，则 a 的值是( ) A．－1 3 B.1 7 C.1 2 D.1 5 【解析】 因为 l1⊥l2，所以(3－a)(2a＋1)＋(2a－1)(a＋5)＝0，解得 a＝1 7. 【答案】 B 6．直线 kx－y＋1－3k＝0，当 k 变动时，所有直线都通过定点( ) A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1) 【解析】 由 kx－y＋1－3k＝0，得 k(x－3)－(y－1)＝0， ∴x＝3，y＝1，即过定点(3,1)． 【答案】 C 7．已知 A(2,4)与 B(3,3)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为( ) A．x＋y＝0 B．x－y＝0 C．x＋y－6＝0 D．x－y＋1＝0 【解析】 kAB＝4－3 2－3 ＝－1，故直线 l 的斜率为 1， AB 的中点为 5 2 ，7 2 ， 故 l 的方程为 y－7 2 ＝x－5 2 ， 即 x－y＋1＝0. 【答案】 D 8．已知直线 l 过点(1,2)，且在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 2 倍，则直 线 l 的方程为( ) A．x＋2y－5＝0 B．x＋2y＋5＝0 C．2x－y＝0 或 x＋2y－5＝0 D．2x－y＝0 或 x－2y＋3＝0 【解析】 当直线在两坐标轴上的截距都为 0 时，设直线 l 的方程为 y＝kx， 把点(1,2)代入方程，得 2＝k，即 k＝2，所以直线的方程为 2x－y＝0；当直线在两 坐标轴上的截距都不为 0 时，设直线的方程为 x 2b ＋y b ＝1，把点(1,2)代入方程，得 1 2b ＋2 b ＝1，即 b＝5 2 ，所以直线的方程为 x＋2y－5＝0.故选 C. 【答案】 C 9．直线 y＝x＋3k－2 与直线 y＝－1 4x＋1 的交点在第一象限，则 k 的取值范围 是( ) A. －2 3 ，1 B. －2 3 ，0 C．(0,1) D. －2 3 ，1 【解析】 由方程组 y＝x＋3k－2， y＝－1 4x＋1， 解得 x＝121－k 5 ， y＝3k＋2 5 ， 所以直线 y＝x＋3k－2 与直线 y＝－1 4x＋1 的交点坐标为 121－k 5 ，3k＋2 5 . 要使交点在第一象限，则 121－k 5 >0， 3k＋2 5 >0， 解得－2 30，b>0)， 由题意有 ab＝12， 1 a ＋3 b ＝1， ∴ a＝2， b＝6. ∴x 2 ＋y 6 ＝1. 化为一般式为 3x＋y－6＝0. 【答案】 A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线 上) 13．若直线 l 的方程为 y－a＝(a－1)(x＋2)，且 l 在 y 轴上的截距为 6，则 a＝ ________. 【解析】 令 x＝0，得 y＝(a－1)×2＋a＝6，∴a＝8 3. 【答案】 8 3 14．已知点(m,3)到直线 x＋y－4＝0 的距离等于 2，则 m 的值为________. 【导学号：09960126】 【解析】 由点到直线的距离得|m＋3－4| 2 ＝ 2. 解得 m＝－1，或 m＝3. 【答案】 －1 或 3 15．经过两条直线 2x＋y＋2＝0 和 3x＋4y－2＝0 的交点，且垂直于直线 3x－ 2y＋4＝0 的直线方程为________． 【解析】 由方程组 3x＋4y－2＝0， 2x＋y＋2＝0， 得交点 A(－2,2)，因为所求直线垂直 于直线 3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率 k＝－2 3 ，由点斜式得所求直线方程为 y －2＝－2 3(x＋2)，即 2x＋3y－2＝0. 【答案】 2x＋3y－2＝0 16．已知 A，B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x－y＝0 和 x＋ay＝0 上，且 线段 AB 的中点为 P 0，10 a ，则线段 AB 的长为________． 【解析】 直线 2x－y＝0 的斜率为 2， x＋ay＝0 的斜率为－1 a. 因为两直线垂直， 所以－1 a ＝－1 2 ，所以 a＝2. 所以直线方程为 x＋2y＝0，线段 AB 的中点 P(0,5)． 设坐标原点为 O，则|OP|＝5， 在直角三角形中斜边的长度|AB|＝2|OP|＝2×5＝10， 所以线段 AB 的长为 10. 【答案】 10 三、解答题(本大题共 6 个小题，满分 70 分．解答应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)已知两条直线 l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋ 2m＝0，当 m 为何值时，l1 与 l2 (1)相交；(2)平行；(3)重合． 【解】 当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2. 当 m＝2 时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0， ∴l1 与 l2 相交． 当 m≠0 且 m≠2 时，由 1 m－2 ＝m2 3m ，得 m＝－1 或 m＝3，由 1 m－2 ＝ 6 2m ，得 m ＝3. 故(1)当 m≠－1 且 m≠3 且 m≠0 时，l1 与 l2 相交． (2)当 m＝－1 或 m＝0 时，l1∥l2. (3)当 m＝3 时，l1 与 l2 重合． 18．(本小题满分 12 分)若一束光线沿着直线 x－2y＋5＝0 射到 x 轴上一点， 经 x 轴反射后其反射线所在直线为 l，求 l 的方程． 【解】 直线 x－2y＋5＝0 与 x 轴交点为 P(－5,0)，反射光线经过点 P.又入射 角等于反射角，可知两直线倾斜角互补． ∵k1＝1 2 ，∴所求直线斜率 k2＝－1 2 ， 故所求方程为 y－0＝－1 2(x＋5)， 即 x＋2y＋5＝0. 19．(本小题满分 12 分)(2016·连云港高一检测)在平面直角坐标系 xOy 中，已 知直线 l 的方程为 2x＋(k－3)y－2k＋6＝0，k∈R. (1)若直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距之和为 1，求坐标原点 O 到直线 l 的距离； (2)若直线 l 与直线 l1：2x－y－2＝0 和 l2：x＋y＋3＝0 分别相交于 A，B 两点， 点 P(0,2)到 A、B 两点的距离相等，求 k 的值． 【解】 (1)令 x＝0 时，纵截距 y0＝2； 令 y＝0 时，横截距 x0＝k－3； 则有 k－3＋2＝1⇒k＝2， 所以直线方程为 2x－y＋2＝0， 所以原点 O 到直线 l 的距离 d＝ |2| 12＋22 ＝2 5 5 . (2)由于点 P(0,2)在直线 l 上，点 P 到 A、B 的距离相等， 所以点 P 为线段 AB 的中点． 设直线 l 与 2x－y－2＝0 的交点为 A(x，y)， 则直线 l 与 x＋y＋3＝0 的交点 B(－x,4－y)，由方程组 2x－y－2＝0， －x＋4－y＋3＝0， 解得 x＝3， y＝4， 即 A(3,4)， 又点 A 在直线 l 上，所以有 2×3＋(k－3)×4－2×k＋6＝0，即 k＝0. 20．(本小题满分 12 分)如图 1 所示，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0)， AB 边所在直线的方程为 x－3y－6＝0，点 T(－1,1)在 AD 边所在直线上．求： 图 1 (1)AD 边所在直线的方程； (2)DC 边所在直线的方程． 【导学号：09960127】 【解】 (1)由题意知 ABCD 为矩形，则 AB⊥AD， 又 AB 边所在直线方程为 x－3y－6＝0， ∴AD 边所在的直线的斜率 kAD＝－3， 而点 T(－1,1)在直线 AD 上， ∴AD 边所在直线的方程为 3x＋y＋2＝0. (2)∵M 为矩形 ABCD 两条对角线的交点， ∴点 M 到直线 AB 和直线 DC 的距离相等． 又 DC∥AB，∴可令 DC 的直线方程为 x－3y＋m＝0(m≠－6)． 而 M 到直线 AB 的距离 d＝ 4 10 ＝2 5 10. ∴M 到直线 DC 的距离为2 5 10， 即|2＋m| 10 ＝2 5 10⇒m＝2 或－6， 又 m≠－6，∴m＝2， ∴DC 边所在的直线方程为 x－3y＋2＝0. 21．(本小题满分 12 分)已知△ABC 的顶点 B(－1，－3)，AB 边上高线 CE 所 在直线的方程为 x－3y－1＝0，BC 边上中线 AD 所在的直线方程为 8x＋9y－3＝0. (1)求点 A 的坐标； (2)求直线 AC 的方程． 【解】 (1)设点 A(x，y)， 则 8x＋9y－3＝0， y＋3 x＋1 ·1 3 ＝－1， 解得 x＝－3， y＝3. 故点 A 的坐标为(－3,3)． (2)设点 C(m，n)， 则 m－3n－1＝0， 8·m－1 2 ＋9·n－3 2 －3＝0， 解得 m＝4，n＝1，故 C(4,1)， 又因为 A(－3,3)， 所以直线 AC 的方程为y－1 3－1 ＝ x－4 －3－4 ， 即 2x＋7y－15＝0. 22．(本小题满分 12 分)已知三条直线 l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线 l2：－4x＋ 2y＋1＝0 和直线 l3：x＋y－1＝0，且 l1 与 l2 的距离是 7 10 5. (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使得 P 点同时满足下列三个条件： ①P 是第一象限的点； ②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的1 2 ； ③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能，求出 P 点坐标；若 不能，说明理由． 【解】 (1)l2 即 2x－y－1 2 ＝0， ∴l1 与 l2 的距离 d＝|a－ －1 2 | 22＋－12 ＝7 5 10 ， ∴|a＋1 2| 5 ＝7 5 10 ，∴|a＋1 2|＝7 2 ， ∵a>0，∴a＝3. (2)设点 P(x0，y0)，若 P 点满足条件②， 则 P 点在与 l1，l2 平行的直线 l′：2x－y＋C＝0 上， 且|C－3| 5 ＝1 2· |C＋1 2| 5 ，即 C＝13 2 或 C＝11 6 ， ∴2x0－y0＋13 2 ＝0 或 2x0－y0＋11 6 ＝0； 若 P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 有|2x0－y0＋3| 5 ＝ 2 5·|x0＋y0－1| 2 ， 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|， ∴x0－2y0＋4＝0 或 3x0＋2＝0； 由于 P 在第一象限，∴3x0＋2＝0 不可能． 联立方程 2x0－y0＋13 2 ＝0 和 x0－2y0＋4＝0， 解得 x0＝－3， y0＝1 2 ， 应舍去． 由 2x0－y0＋11 6 ＝0， x0－2y0＋4＝0， 解得 x0＝1 9 ， y0＝37 18. ∴P 1 9 ，37 18 即为同时满足三个条件的点．