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文档介绍
【数学】2020届一轮复习(理)人教通用版9-2两条直线的位置关系学案
§9.2 两条直线的位置关系 最新考纲 考情考向分析 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主,有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主,要求相对较低,但内容很重要,特别是距离公式,是高考考查的重点. 1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行: (ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2. (ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. ②两条直线垂直: (ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2, 则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2. (2)两条直线的交点 直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解. 2.几种距离 (1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|=. (2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d=. (3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=. 概念方法微思考 1.若两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率有什么关系? 提示 当两条直线l1与l2的斜率都存在时,·=-1;当两条直线中一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,l1与l2也垂直. 2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意什么? 提示 (1)将方程化为最简的一般形式. (2)利用两平行线之间的距离公式时,应使两平行线方程中x,y的系数分别对应相等. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × ) (2)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0.( √ ) (3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( × ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ ) (5)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.( √ ) 题组二 教材改编 2.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( ) A. B.2- C.-1 D.+1 答案 C 解析 由题意得=1. 解得a=-1+或a=-1-.∵a>0,∴a=-1+. 3.已知P(-2,m),Q(m,4),且直线PQ垂直于直线x+y+1=0,则m=________. 答案 1 解析 由题意知=1,所以m-4=-2-m, 所以m=1. 4.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为________. 答案 -9 解析 由得 所以点(1,2)满足方程mx+2y+5=0, 即m×1+2×2+5=0,所以m=-9. 题组三 易错自纠 5.直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于( ) A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3 答案 C 解析 直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.故选C. 6.直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是______. 答案 解析 先将2x+2y+1=0化为x+y+=0, 则两平行线间的距离为d==. 7.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________. 答案 0或1 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1. 题型一 两条直线的平行与垂直 例1 (2018·满洲里调研)已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)试判断l1与l2是否平行; (2)当l1⊥l2时,求a的值. 解 (1)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3, l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为l1:y=-x-3, l2:y=x-(a+1), l1∥l2⇔解得a=-1, 综上可知,当a=-1时,l1∥l2,a≠-1时,l1与l2不平行. 方法二 由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0, 由A1C2-A2C1≠0, 得a(a2-1)-1×6≠0, ∴l1∥l2⇔ ⇔可得a=-1, 故当a=-1时,l1∥l2.当a≠-1时,l1与l2不平行. (2)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1与l2不垂直,故a=1不成立; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2, 故a=0不成立; 当a≠1且a≠0时, l1:y=-x-3,l2:y=x-(a+1), 由·=-1,得a=. 方法二 由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0, 可得a=. 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 跟踪训练1 (1)已知直线l1:x+2ay-1=0,l2:(a+1)x-ay=0,若l1∥l2,则实数a的值为( ) A.- B.0 C.-或0 D.2 答案 C 解析 若a≠0,则由l1∥l2⇒=,故2a+2=-1,即a=-;若a=0,l1∥l2,故选C. (2)(2018·营口模拟)已知两条直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的a,b的值. ①l1⊥l2,且直线l1过点(-3,-1); ②l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 ①∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0, 又∵直线l1过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故a=2,b=2. ②∵直线l2的斜率存在,l1∥l2, ∴直线l1的斜率存在. ∴k1=k2,即=1-a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, ∴l1,l2在y轴上的截距互为相反数, 即=b. 故a=2,b=-2或a=,b=2. 题型二 两直线的交点与距离问题 1.(2018·葫芦岛调研)若直线l与两直线y=1,x-y-7=0分别交于M,N两点,且MN的中点是P(1,-1),则直线l的斜率是( ) A.- B. C.- D. 答案 A 解析 由题意,设直线l的方程为y=k(x-1)-1,分别与y=1,x-y-7=0联立解得M,N.又因为MN的中点是P(1,-1),所以由中点坐标公式得k=-. 2.若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 因为=≠,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值为. 3.已知直线y=kx+2k+1与直线y=-x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是 ________. 答案 解析 方法一 由方程组 解得 (若2k+1=0,即k=-,则两直线平行) ∴交点坐标为. 又∵交点位于第一象限,∴ 解得-查看更多