黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题

铁人中学2018级高二学年上学期月考考试数学试题（文科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题 ‎1.下列语句中不是命题的有（ ）‎ ‎①；②与一条直线相交的两直线平行吗？③；④．‎ A. ①③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。②是疑问句，①④无法判断真假。‎ ‎【详解】由题，②是疑问句，故不是命题；‎ ‎①④是陈述句，但无法判断真假，故不是命题；‎ ‎③是陈述句，且可以得到，该语句不正确，即可以判断真假，故是命题；‎ 故选C ‎【点睛】本题考查对命题定义的理解，先判定是陈述句，再判定是否可以判断真假。‎ ‎2.命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是( )‎ A. 若A∪B≠A，则A∩B≠B B. 若A∩B＝B，则A∪B＝A C. 若A∩B≠B，则A∪B≠A D. 若A∪B≠A，则A∩B＝B ‎【答案】A ‎【解析】‎ 根据命题“若，则”的否命题为“若非，则非”可得“若，则”的否命题为“若，则”，故选A.‎ ‎3.双曲线的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把双曲线方程化为标准方程，得到，根据、、的关系求得焦距 ‎【详解】由题意，双曲线的标准方程为，则，，‎ ‎，焦距为 故选D ‎【点睛】本题考查求双曲线的焦距，解题时需注意要在双曲线标准方程下找到、‎ ‎4.设甲是乙的必要条件；丙是乙的充分但不必要条件，那么（ ）‎ A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C. 丙是甲的充要条件 D. 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，要找到丙是甲的什么条件，就观察丙能不能推出甲，甲能不能推出丙即可，利用中间与乙的关系来分析 ‎【详解】甲是乙的必要条件，所以乙是甲的充分条件，即乙甲； 丙是乙的充分但不必要条件，则丙乙，乙丙，显然丙甲，甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，故选A ‎【点睛】本题考查充分条件和必要条件的知识，需掌握充分及必要条件与命题之间的联系。‎ ‎5.已知命题“设、、，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，命题“设、、，若，则”为真命题，所以它的逆否命题也为真命题；又由原命题的逆命题为“设、、，若，则”为假命题，所以它的否命题也为假命题，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有一个，故选B．‎ 考点：四种命题的真假的判定．‎ ‎6.已知椭圆的离心率，则的值为（ ）‎ A. 3 B. 3或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对m分类讨论，分别求得a2，b2，c2，再根据离心率可求m.‎ ‎【详解】当m＞5时，a2＝m，b2＝5，c2＝m﹣5，e2⇒m；‎ 当0＜m＜5时，a2＝5，b2＝m，c2＝5﹣m，e2⇒m＝3；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，考查了椭圆的离心率的公式，考查了分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎7.下列命题中的假命题是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B。‎ 考点：特称命题与存在命题的真假判断。‎ ‎8.如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，出现平分，即弦上中点，使用点差法，求出弦所在直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线方程，最后整理为一般方程的形式。‎ ‎【详解】设该弦与椭圆的两个交点分别为， ，点为中点，‎ ‎，利用点差法可得，，即 由中点公式可得，，，即 为，即，故选B ‎【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系中弦的直线方程，题目中被点平分是解题关键，遇到弦中点要考虑点差法求解。‎ ‎9.设，则的一个必要而不充分的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由可得或 ，所以，是的充分不必要条件；或是的充要条件；由 得或，所以是的一个必要而不充分的条件，由得，或， 所以是充分不必要条件，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题通过不等式的解集主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题.‎ ‎10.下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若命题：，，则命题：，‎ B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 若，则 D. 函数图象的一条对称轴是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析每个选项，选项A求存在性命题的否定，要求，结论进行否定；选项B要先求出符合条件的的值，看二者范围是否一致；选项C根据均值定理可以判断；选项D由三角函数的性质可以判断。‎ ‎【详解】选项A： 命题：，，故A错；‎ 选项B：当直线与直线互相垂直时，需满足，则，故B错；‎ 选项C：由均值定理可知，当时，成立，故C错 选项D：将代入中，得，故D正确 故选D ‎【点睛】本题考查存在性命题的否定、充要条件的判定、均值定理的使用条件以及三角函数几何性质中的对称轴判定。此题将多个考点综合到一起，考查学生对各知识点的掌握程度。‎ ‎11.存在实数，使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 存在实数，使不等式成立，即求的最大值大于即可，设，由辅助角公式得到，根据的范围得到其最大值。‎ ‎【详解】设，则，，则 故选D ‎【点睛】本题考查存在性条件下的恒成立问题，需转化为最值问题理解；以及三角函数的最值问题，需注意自变量的取值范围。‎ ‎12.已知椭圆上一点和该椭圆上两动点、，直线、的斜率分别为、，且，则直线的斜率（ ）‎ A. 或 B. C. D. 的值不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，可以判断点在椭圆上，，设直线、方程分别为，，分别将直线方程与椭圆方程联立，得到点、点坐标，根据斜率公式计算即可。‎ ‎【详解】由，设直线为，直线为，点为，点为 易知，点在椭圆上，联立直线与椭圆方程得，，由韦达定理得，即，代入直线中得到，即点为；同理可得，点为，‎ 则直线的斜率为，故选C ‎【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系，直线的斜率，直线与椭圆的关系，解题关键在于发现已知点所在位置这个隐藏条件，联立方程后即可得到所求点的表示情况。‎ 第Ⅱ卷 二、填空题 ‎13.已知，方程表示双曲线，则是的 条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）‎ ‎【答案】充分不必要.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：化简命题:，即．所以由命题成立，则命题就成立，是的充分条件；而命题成立时，命题不一定成立，不是的必要条件，故是的充分不必要条件．‎ 考点：充分必要条件．‎ ‎14.已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，不能确定焦点的位置，分别讨论焦点在轴与在轴的情况，再将点坐标代入，以及利用渐近线方程得到、关系，进而求解。‎ ‎【详解】当焦点在轴上时，设双曲线方程为，，此时渐近线方程为，，，双曲线方程为 当焦点在轴上时，设双曲线方程为，，此时渐近线方程为，，舍去 故双曲线的标准方程为 ‎【点睛】本题考查根据几何性质求双曲线的标准方程，在焦点不确定位置的情况下，注意讨论两种状态的双曲线标准方程。‎ ‎15.在直角坐标系中，点在第四象限的充要条件是 ．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析：因为点在第四象限，所以，‎ 即，所以或 考点：本题主要考查必要条件、充分条件与充要条件的判断；简单不等式的解法。‎ 点评： 数形结合，认识第四象限点的坐标的特征，建立不等式组。‎ ‎16.设F1，F2分别是椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为（　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设|F1B|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，‎ ‎∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k ‎ ‎∵cos∠AF2B=，‎ 在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，‎ ‎∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-（2a-3k）（2a-k），‎ 化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，‎ ‎∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，‎ ‎∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，‎ ‎∴AF1⊥AF2，‎ ‎∴△AF1F2是等腰直角三角形，‎ ‎∴c=a，‎ ‎∴椭圆的离心率e=，‎ 故选：D．‎ 点睛：（1）解答圆锥曲线的问题时，若条件中出现了曲线上的点与焦点的连线，则一般应考虑用曲线的定义去解题，借助于定义可将问题转化，变得易于解决。‎ ‎（2）在本题中利用三角形的余弦定理建立边的方程，用到了平面几何的知识，进而得到三角形△AF1F2是等腰直角三角形。‎ 三、解答题 ‎ ‎17.将命题“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”改写成“若，则”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，同时判断它们的真假．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将命题改写成“若，则”，“是”之前是条件，“是”之后是结论。逆命题是条件结论互换位置；否命题是条件结论都否定；逆否命题是将逆命题的条件结论都否定。将四个命题都写出后，根据平行四边形的判定定理来判断命题的真假。‎ ‎【详解】解：“若，则”的形式：若一个四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形．（真命题）‎ 逆命题：若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等．（真命题）‎ 否命题：若一个四边形的一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是平行四边形．（真命题）‎ 逆否命题：若一个四边形不是平行四边形，则这个四边形的一组对边不平行或不相等．（真命题）‎ ‎【点睛】本题考查命题“若，则”形式的改写，对逆命题、否命题、逆否命题概念的理解及其真假判断。‎ ‎18.椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类，不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组，再解方程组得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程，最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可．‎ ‎【详解】解：①焦点在x轴上，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，且c＝. ‎ 设双曲线为－＝1(m>0，n>0)，则m＝a－4.‎ 因为＝，所以＝，解得a＝7，m＝3.‎ 因为椭圆和双曲线的半焦距为，‎ 所以b2＝36，n2＝4.‎ 所以椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1. ‎ ‎②焦点在y轴上，椭圆方程为＋＝1，双曲线方程为－＝1.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程，求椭圆和双曲线方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可考查分类讨论的数学思想同时也考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎19.已知：实数满足，其中；：实数满足．‎ ‎（1）若，且，均正确，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对命题、中的不等式求出范围，因，均正确，故求其范围的交集 ‎（2）先分别得到、所对应的的范围，因为是的充分不必要条件，则可得到，利用数轴讨论的范围即可 ‎【详解】解（1）由，，得．‎ 当时，，即正确时，实数取值范围是．‎ 由，得，即正确时，实数的取值范围是．‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎（2）是的充分不必要条件，即，且不能推出．‎ 所以，‎ 则，且，即．‎ 所以实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式、分式不等式求解，依据充分不必要条件求参，关于命题求参数范围问题的最终是集合的运算问题，梳理清楚命题之间的逻辑关系是解题的关键。‎ ‎20.已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线：与椭圆相交于，两点，且弦中点横坐标为1，求值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的几何性质得到、，进一步求得椭圆的标准方程；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，已知直线与椭圆交于两点，故，得到，即对的限定范围，再利用韦达定理与中点公式求得的值 ‎【详解】解：（1）椭圆的焦点在轴上，短轴长为2，离心率为，‎ 可得，解得，，所以椭圆方程为．‎ ‎（2）由，得，‎ ‎，得，‎ 设，，则，∴，得，符合题意．‎ ‎【点睛】本题考查利用几何性质求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的关系求参数，求参数时需注意题目中根据位置关系所隐藏的对范围的限制条件，是对最终结果取舍的关键。‎ ‎21.已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得，又有，联立可求离心率；‎ ‎（2）由（1）设椭圆方程，再设直线方程，与椭圆方程联立，求得，令，可得，即得椭圆方程.‎ 试题解析：（Ⅰ）过点的直线方程为，‎ 则原点到直线的距离，‎ 由，得，解得离心率 ‎（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为.‎ 依题意，圆心是线段的中点，且.‎ 易知，不与轴垂直.‎ 设其直线方程为，代入（1）得 ‎.‎ 设，则，.‎ 由，得，解得.‎ 从而.‎ 于是.‎ 由，得，解得.‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎22.设椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由已知，根据点到直线的距离公式，求解，再由椭圆的离心率，求得，进而可求得椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）法一：设，，①当直线l的斜率不存在时，求得点O到直线AB的距离为定值；②当直线l的斜率存在时，设其方程为联立方程组，根据根与系数的关系和题设条件，化简得，进而求得点O到直线AB的距离为定值.‎ 法二：设直线方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和题设条件，化简得，进而得到点O到直线AB的距离为定值；‎ ‎（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，联立方程组，进而求得面积的表达式，利用基本不等式，即可求解面积的最小值；‎ 法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，②当直线l的斜率存在时，得出面积的表示，利用基本不等式求得最小值，即可得到答案.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由已知，）‎ 因为故所求椭圆的方程为;‎ ‎（Ⅱ）法一：设，，‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知，，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即 又因为点在椭圆上，故，解得，‎ 此时点O到直线AB的距离为 ‎②当直线l斜率存在时，设其方程为．‎ 联立得：‎ 所以，‎ 由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且 故 化简得，‎ 故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值 法二：（若设直线方程，也要对直线斜率为0进行讨论）‎ 设，‎ ‎①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即 又因为点在椭圆上，故，解得，‎ 此时点O到直线AB的距离为 ‎②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为．‎ 联立得：‎ 所以，‎ 故，‎ 即,所以,‎ 所以,‎ 化简得，故点O到直线AB的距离为 综上，点O到直线AB的距离为定值 ‎（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1;‎ 当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，‎ 则直线OB的斜率为，由得，‎ 同理故 令，则 故综上，△AOB面积S的最小值为．‎ 法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，‎ ‎②当直线l的斜率存在时，，且点O到直线AB的距离为，‎ ‎​ ‎ 故，‎ 令，则，‎ 因为，故．综上，△AOB面积S的最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目时，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎ ‎