2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）

2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）

‎2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于（　　）‎ A．∅ B．{1} C．{y|y＞1} D．{y|y≥1}‎ ‎2．（5分）设复数z=1+（其中i为虚数单位），则等于（　　）‎ A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2i D．2i ‎3．（5分）下列说法正确的是（　　）‎ A．“f （0）=0”是“函数 f （x） 是奇函数”的充要条件 B．若 p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0‎ C．若p∧q为假命题，则p，q 均为假命题 D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”‎ ‎4．（5分）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（　　）‎ A．60 B．75 C．90 D．105‎ ‎5．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎6．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2﹣|=1，则||=（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎7．（5分）函数的图象大致是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎8．（5分）已知，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎10．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2018，对任意的x∈R，都有f′（x）＜2x成立，则不等式f（x）＜x2+2014的解集为（　　）‎ A．（﹣2，+∞） B．（2，2） C．（﹣∞，2） D．R ‎11．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．2﹣3‎ ‎12．（5分）已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，6Sn=an2+3an，n∈N*，bn=，若∀n∈N*，k＞Tn恒成立，则k的最小值是（　　）‎ A． B．49 C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上）‎ ‎13．（5分）公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=　 　．‎ ‎14．（5分）在△‎ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=2sinB，且a+b=c，则角C的大小为　 　．‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=若关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是　 　．‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=﹣xlnx+ax在区间（0，e）内是增函数，函数g（x）=|ex﹣a|+（其中e为自然对数的底数），当x∈[0，1n3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为．则实数a=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．‎ ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知函数 f（x）=sinωxcosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）如图，在锐角三角形ABC中有f（B）=1，若在线段BC上存在一点D使得AD=2，且 AC=，CD=﹣1，求三角形ABC的面积．‎ ‎20．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）令，设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0‎ ‎（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；‎ ‎（Ⅱ）当a＞﹣2时，求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）‎ ‎（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；‎ ‎（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．‎ ‎　‎ ‎2018年湖南省永州市祁阳县高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．（5分）已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={y|y=}，则M∩N等于（　　）‎ A．∅ B．{1} C．{y|y＞1} D．{y|y≥1}‎ ‎【解答】解：M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}，N={y|y=}={y|y==∈[0，1]}={y|0≤y≤1}，‎ 则M∩N=∅，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设复数z=1+（其中i为虚数单位），则等于（　　）‎ A．1﹣2i B．1+2i C．﹣2i D．2i ‎【解答】解：∵z=1+=，‎ ‎∴，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）下列说法正确的是（　　）‎ A．“f （0）=0”是“函数 f （x） 是奇函数”的充要条件 B．若 p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1＜0‎ C．若p∧q为假命题，则p，q 均为假命题 D．“若α=，则sinα=”的否命题是“若α≠，则sinα≠”‎ ‎【解答】解：对于A，f （0）=0时，函数 f （x）不一定是奇函数，如f（x）=x2，x∈R；‎ 函数 f （x） 是奇函数时，f（0）不一定=0，如f（x）=，x≠0；‎ 是即不充分也不必要条件，A错误；‎ 对于B，命题p：∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，‎ 则￢p：∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B错误；‎ 对于C，若p∧q为假命题，则p，q至少有一假命题，∴C错误；‎ 对于D，若α=，则sinα=的否命题是 ‎“若α≠，则sinα≠”，∴D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（　　）‎ A．60 B．75 C．90 D．105‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，Sn为其前n项和，a3+a4+a8=25，‎ ‎∴3a1+12d=25，∴，‎ ‎∴S9==9a5=9×=75．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【解答】解：由题意y=cos2x=sin（2x+），‎ 函数y=sin（2x+）的图象经过向右平移，得到函数y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）的图象，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知非零向量，的夹角为60°，且||=1，|2﹣|=1，则||=（　　）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【解答】解：∵非零向量，的夹角为60°，且||=1，∴=||•1•=，‎ ‎∵|2﹣|=1，∴=4﹣4+=4﹣2||+1=1，∴4﹣2||=0，∴||=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）函数的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：由题意知当x＞1或x＜﹣1时，y＞0，故排除A、B；又当x→0时，函数的值也趋近于0，故排除C，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知，则=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴===‎ ‎===，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知偶函数，当时，，设a=f（1），b=f（2），c=f（3），则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎【解答】解：∵当时，y=sinx单调递增，y=x也为增函数，‎ ‎∴函数，也为增函数．‎ ‎∵函数为偶函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴f（2）=f（π﹣2），f（3）=f（π﹣3），‎ ‎∵0＜π﹣3＜1＜π﹣2，‎ ‎∴f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），‎ 即c＜a＜b，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2018，对任意的x∈R，都有f′（x）＜2x成立，则不等式f（x）＜x2+2014的解集为（　　）‎ A．（﹣2，+∞） B．（2，2） C．（﹣∞，2） D．R ‎【解答】解：根据题意，令g（x）=f（x）﹣x2﹣2014，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，‎ ‎∴函数g（x）在R上单调递减，‎ 而f（﹣2）=2018，‎ ‎∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2014=0．‎ ‎∴不等式f（x）＜x2+2014，可化为g（x）＜g（﹣2），‎ ‎∴x＞﹣2．‎ 即不等式f（x）＞x2+2014的解集为（﹣2，+∞）；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）过点P（﹣1，1）作圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1（t∈R）的切线，切点分别为A，B，则•的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．2﹣3‎ ‎【解答】解：圆C：（x﹣t）2+（y﹣t+2）2=1的圆心坐标为（t，t﹣2），半径为1，‎ ‎∴|PC|2=（t+1）2+（t﹣3）2=2t2﹣4t+10，‎ ‎∴|PA|2=|PB|2=|PC|2﹣1=（t+1）2+（t﹣3）2﹣1=2t2﹣4t+9，cos∠APC==，‎ ‎∴cos∠PAB=2cos2∠APC﹣1=2×（）﹣1==‎ ‎∴•=||•||cos∠PAB=（2t2﹣4t+9）•=[（t2﹣2t+5）+（t2﹣2t+4）]•，‎ 设t2﹣2t+4=x，则x≥3，‎ 则•=f（x）=（x+x+1）•=，‎ ‎∴f′（x）=＞0恒成立，‎ ‎∴f（x）在[3，+∞）单调递增，‎ ‎∴f（x）min=f（3）=，‎ ‎∴•的最小值为 故选：C ‎　‎ ‎12．（5分）已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且an＞0，6Sn=an2+3an，n∈N*，bn=，若∀n∈N*，k＞Tn恒成立，则k的最小值是（　　）‎ A． B．49 C． D．‎ ‎【解答】解：∵6Sn=an2+3an，∴6Sn+1=an+12+3an+1，‎ ‎∴6an+1=（an+1+an）（an+1﹣an）+3（an+1﹣an）‎ ‎∴（an+1+an）（an+1﹣an）=3（an+1+an），‎ ‎∵an＞0，‎ ‎∴an+1+an＞0，‎ ‎∴an+1﹣an=3，‎ 又6a1=a12+3a1，a1＞0，∴a1=3．‎ ‎∴{an}是以3为首项，以3为公差的等差数列，‎ ‎∴an=3n，‎ ‎∴bn==（﹣）=（﹣），‎ ‎∴Tn=（﹣+﹣+…+﹣）‎ ‎=（﹣）＜=．‎ ‎∴k≥．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二．填空题（本题共4小题，共20分.把答案填写在答题卡相应的横线上）‎ ‎13．（5分）公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a14成等比数列，，则a10=　19　．‎ ‎【解答】解：设数列的公差为d，（d≠0）‎ ‎∵S5=a32，得：5a3=a32，‎ ‎∴a3=0或a3=5；‎ ‎∵a2，a5，a14成等比数列，‎ ‎∴a52=a2•a14，‎ ‎∴（a3+2d）2=（a3﹣d）（a3+11d）‎ 若a3=0，则可得4d2=﹣11d2即d=0不符合题意，‎ 若a3=5，则可得（5+2d）2=（5﹣d）（5+11d），‎ 解可得d=0（舍）或d=2，‎ ‎∴a10=a3+7d=5+7×2=19，‎ 故答案为：19．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=2sinB，且a+b=c，则角C的大小为　60°　．‎ ‎【解答】解：∴sinA=2sinB，‎ 由正弦定理：可得a=2b．即a2=4b2．‎ ‎∵a+b=c，即3b=c，‎ 由余弦定理：2abcosC=a2+b2﹣c2．‎ 可得：cosC=．‎ ‎∵0＜C＜π．‎ ‎∴C=60°．‎ 故答案为：60°．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知函数f（x）=若关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是　（2，]　．‎ ‎【解答】解：作函数f（x）=的图象如右图，‎ ‎∵关于x的函数y=f2（x）﹣bf（x）+1有8个不同的零点，‎ ‎∴方程x2﹣bx+1=0有2个不同的正解，且在（0，4]上；‎ ‎∴，‎ 解得，2＜b≤；‎ 故答案为：（2，]．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知函数f（x）=﹣xlnx+ax在区间（0，e）内是增函数，函数g（x）=|ex﹣a|+（其中e为自然对数的底数），当x∈[0，1n3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为．则实数a=　　．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=﹣xlnx+ax，∴f'（x）=﹣lnx+a﹣1‎ ‎∵函数f（x）=﹣xlnx+ax在（0，e）上是增函数 ‎∴f'（x）=﹣lnx+a﹣1≥0在（0，e）恒成立 ‎∵y=﹣lnx是（0，e）上的减函数 ‎∴f'（x）=﹣lnx+a+1的最小值大于等于0即可，即﹣1+a﹣1≥0‎ ‎∴a≥2‎ ‎∵x∈[0，ln3]，∴ex∈[1，3]‎ ‎∴ex=a时，函数取得最小值为 ‎∵x=0时，；x=ln3时，‎ ‎3＞a≥2时，函数g（x）的最大值M=‎ ‎∵函数g（x）的最大值M与最小值m的差为 ‎∴3＞a≥2时，‎ ‎∴a=‎ a＞3时，x0＞ln3，此时x在[0，ln3]内单调递减，所以函数在f（0）处取最大值，在f（ln3）处取最小值，a=不符合a大于3，所以舍去．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知幂函数f（x）=（m﹣1）2x在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）=2x﹣k ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）当x∈[1，2]时，记f（x），g（x）的值域分别为集合A，B，设命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）依题意得：（m﹣1）2=1，⇒m=0或m=2，‎ 当m=2时，f（x）=x﹣2在（0，+∞）上单调递减，‎ 与题设矛盾，舍去，‎ ‎∴m=0． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x2，‎ 当x∈[1，2）时，f（x）∈[1，4），即A=[1，4），‎ 当x∈[1，2）时，g（x）∈[2﹣k，4﹣k），即B=[2﹣k，4﹣k），‎ 若命题p是q成立的必要条件，则B⊆A，‎ 则，即，‎ 解得：0≤k≤1．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．‎ ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵．‎ ‎∴由正弦定理，可得：，整理可得：a2+b2﹣c2=ab，‎ ‎∴由余弦定理可得：cosC===，‎ ‎∴C∈（0，π），‎ ‎∴C=；‎ ‎（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：B=﹣A，‎ ‎∴由正弦定理可得：====‎ ‎=2sin（A+），‎ ‎∵0＜A＜，＜A+＜，＜sin（A+）≤1，‎ ‎∴从而解得：=2sin（A+）∈（1，2]．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知函数 f（x）=sinωxcosωx﹣sin2ωx+1（ω＞0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；‎ ‎（Ⅱ）如图，在锐角三角形ABC中有f（B）=1，若在线段BC上存在一点D使得AD=2，且 AC=，CD=﹣1，求三角形ABC的面积．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数 f（x）=sinωxcosωx﹣sin2ωx+1=sin2ωx﹣cos2ωx+1=sin（2ωx）‎ ‎∵图象的相邻两条对称轴之间的距离为．‎ ‎∴，即T=π 那么：T=，‎ 可得ω=1‎ 那么f（x）=sin（2x）‎ 由2x 得：≤x≤．‎ ‎∴函数f（x）的单调递减区间为[：，]，k∈Z．‎ ‎（Ⅱ）由f（B）=1，即f（B）=sin（2B）=1．‎ ‎∵，‎ ‎＜2B ‎∴：2B=‎ 解得：B=．‎ 在△ADC中，AD=2，且 AC=，CD=﹣1，‎ 利余弦定理：cosC==．‎ ‎∵，‎ ‎∴C=．‎ 由A+B+C=π，‎ ‎∴A==‎ 由正弦定理：，可得AB=2．‎ 那么三角形ABC的面积S=AB•ACsinA=．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．‎ ‎（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（2）令，设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n．‎ ‎【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公式为q，‎ 由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．‎ 得，解得．‎ ‎∴．‎ ‎（2）由a1=3，an=2n+1得Sn=n（n+2），‎ 则n为奇数，，n为偶数，．‎ ‎∴T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0‎ ‎（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；‎ ‎（Ⅱ）当a＞﹣2时，求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）若f（x）=0恰有一解，且解不为，‎ 即a2﹣4=0，解得a=±2；‎ 若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，‎ 代入得+a+1=0，‎ 解得a=﹣，检验满足△＞0；‎ 综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．‎ ‎（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，‎ 函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，‎ 故ymax=f（1）=2+a；‎ ‎（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，‎ 此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；‎ 故ymax=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，‎ 综上所述，ymax=‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知函数f（x）=ax+xlnx（a∈R）‎ ‎（1）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围；‎ ‎（2）当a=1且k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，‎ ‎∴f′（x）=a+lnx+1≥0在区间[e，+∞）上恒成立，∴a≥（﹣lnx﹣1）max=﹣2．‎ ‎∴a≥﹣2．‎ ‎∴a的取值范围是[﹣2，+∞）．‎ ‎（2）a=1时，f（x）=x+lnx，k∈Z时，不等式k（x﹣1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，‎ ‎∴k＜，‎ 令 g（x）=，则g′（x）=，‎ 令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1）． ‎ 则h′（x）=1﹣=＞0，∴h（x） 在 （1，+∞）上单增，‎ ‎∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，‎ 存在x0∈（3，4），使 h（x0）=0．‎ 即当 1＜x＜x0时h（x）＜0 即 g′（x）＜0‎ x＞x0时 h（x）＞0 即 g′（x）＞0‎ g（x）在 （1，x0）上单减，在 （x0+∞）上单增．‎ 令h（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，即lnx0=x0﹣2，‎ g（x）min=g（x0）===x0∈（3，4）．‎ k＜g（x）min=x0∈（3，4），且k∈Z，‎ ‎∴kmax=3．‎ ‎　‎