【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版10-2复数学案

【数学】2020届一轮复习（理）江苏专版10-2复数学案

第二节复__数 ‎1．复数的有关概念 ‎(1)复数的概念：‎ 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎(4)复数的模：‎ 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎2．复数的几何意义 ‎(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．‎ ‎(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量 .‎ ‎3．复数的运算 ‎(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎(2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．‎ ‎[小题体验]‎ ‎1．(2019·徐州调研)若复数z满足i·z＝1＋2i(其中i为虚数单位)，则z 的模为________．‎ 解析：由i·z＝1＋2i，得z＝＝＝2－i，‎ ‎∴|z|＝.‎ 答案： ‎2．若复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为________．‎ 解析：因为z＝＝＝1＋2i，所以＝1－2i.‎ 答案：1－2i ‎3．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．‎ 答案：3＋5i ‎1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．‎ ‎2．两个虚数不能比较大小．‎ ‎3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2＜0在复数范围内有可能成立．‎ ‎[小题纠偏]‎ ‎1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________.‎ 解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，‎ 因此4－a＝0，a＝4.‎ 答案：4‎ ‎2．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．‎ 解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2.‎ 答案：2‎ 　 ‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．(2018·扬州期末)已知i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数是________．‎ 解析：∵z＝＝＝－i，‎ ‎∴＝＋i.‎ 答案：＋i ‎ ‎2．(2019·盐城模拟)设复数z＝(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为________．‎ 解析：法一：复数z＝＝＝＋i为纯虚数，‎ 则＝0，≠0，故a＝－1.‎ 法二：设z＝＝bi，b∈R，b≠0，则a＋i＝bi(1＋i)＝－b＋bi，‎ 故得a＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎3．(易错题)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________.‎ 解析：依题意得(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，‎ 则|(1－z)·|＝|－3＋i|＝＝.‎ 答案： ‎4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.‎ 解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.‎ 设z2＝a＋2i，a∈R，‎ 则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.‎ 因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.‎ 答案：4＋2i ‎[谨记通法]‎ 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．‎ 　 ‎[题组练透]‎ ‎1．(2019·淮安模拟)复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为________．‎ 解析：z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限．‎ 答案：第一象限 ‎2．在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为________．‎ 解析：因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.‎ 答案：1－i ‎3．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，‎ 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，‎ 又此点在第二象限，所以解得a＜－1.‎ 答案：(－∞，－1)‎ ‎4．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．‎ 解析：因为|z－2|＝＝，‎ 所以(x－2)2＋y2＝3.‎ 由图可知max＝＝.‎ 答案： ‎[谨记通法]‎ 对复数几何意义的理解及应用 ‎(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.‎ ‎(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．‎ 　 ‎[题组练透]‎ ‎1．(2019·赣榆检测)复数z满足(1＋i)z＝|2i|(i为虚数单位)，则z＝________.‎ 解析：由(1＋i)z＝|2i|，得z＝＝＝1－i.‎ 答案：1－i ‎2．(2018·苏州测试)已知＝3＋i(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝________.‎ 解析：因为＝3＋i，所以a＋bi＝(3＋i)(2－i)＝7－i，‎ 所以a＝7，b＝－1，所以a＋b＝6.‎ 答案：6‎ ‎3．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.‎ 解析：因为z＝＝＝＝＝＝－＋i，‎ 故＝－－i，‎ 所以z·＝ ‎＝＋＝.‎ 答案： ‎4．(2018·江苏信息卷)已知复数z＝(b∈R)的实部和虚部相等，则z2 018＝________.‎ 解析：复数z＝＝－b－i，因为复数的实部和虚部相等，‎ 所以b＝1，所以z2 018＝(－1－i)2 018＝(2i)1 009＝21 009i.‎ 答案：21 009i ‎[谨记通法]‎ 复数代数形式运算问题的解题策略 ‎(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．‎ ‎(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎[提醒]　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．‎ ‎(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；‎ ‎(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；‎ ‎(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，‎ i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.‎ 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 ‎1．若z＝3－2i，则＝________.‎ 解析：由z＝3－2i，得＝3＋2i.‎ 则＝＝＝＋i.‎ 答案：＋i ‎2．(2018·淮安调研)复数z＝i(1－2i)(i是虚数单位)的实部为________．‎ 解析：因为z＝i(1－2i)＝2＋i，所以复数z的实部为2.‎ 答案：2‎ ‎3．(2018·泰州中学高三学情调研)已知复数z＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i是虚数单位)是实数，则a＝________.‎ 解析：因为z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，所以a－1＝0，所以a＝1.‎ 答案：1‎ ‎4．(2019·徐州调研)已知(1＋3i)(a＋bi)＝10i，其中i为虚数单位，a，b∈R，则ab的值为________．‎ 解析：∵(1＋3i)(a＋bi)＝10i，‎ ‎∴a－3b＋(3a＋b－10)i＝0，∴a－3b＝3a＋b－10＝0，‎ 解得a＝3，b＝1，则ab＝3.‎ 答案：3‎ ‎5．(2018·苏州一调)若复数(a＋i)2对应的点在y轴的负半轴上(其中i是虚数单位)，则实数a的值是________．‎ 解析：因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，‎ 由条件得从而a＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎6．已知复数z满足(1＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________．‎ 解析：因为(1＋i)z＝i，所以z＝＝＝，所以z的实部为.‎ 答案： 二保高考，全练题型做到高考达标 ‎1．(2018·南京名校联考)若i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝1，则|2z－3|＝________.‎ 解析：由(1－i)z＝1得z＝＝，则|2z－3|＝|－2＋i|＝.‎ 答案： ‎2．(2019·常熟高三学情调研)已知i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数对应的点位于第________象限．‎ 解析：∵z＝＝＝1＋i，‎ ‎∴＝1－i.‎ 则对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．‎ 答案：四 ‎3．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在第________象限．‎ 解析：由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝＝－－i，所以＝－＋i，其在复平面内对应的点在第二象限．‎ 答案：二 ‎4．(2019·金陵中学检测)若z＝，则z100＋z50＋1的值是________．‎ 解析：∵z＝，‎ ‎∴z2＝2＝－i.‎ 又∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，‎ ‎∴z100＋z50＋1＝i50－i25＋1＝－i.‎ 答案：－i ‎5．若复数z满足(z－1)i＝－1＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模是________．‎ 解析：因为z＝1＋＝2＋i，所以|z|＝＝.‎ 答案： ‎6．已知复数z满足：(1－i)z＝4＋2i(i为虚数单位)，则z的虚部为________．‎ 解析：由(1－i)z＝4＋2i，得 z＝＝＝1＋3i，‎ ‎∴z的虚部为3.‎ 答案：3‎ ‎7．已知复数z满足＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________.‎ 解析：由＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝，所以|z|＝＝＝2.‎ 答案：2‎ ‎8．(2019·苏州一模)已知i是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．‎ 解析：∵＝＝＋i的实部与虚部互为相反数，∴＋＝0，即a＝－3.‎ 答案：－3‎ ‎9．(2018·常州期末)已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.‎ 解析：因为(x－i)2＝x2－2xi＋i2＝x2－1＋2xi为纯虚数，‎ 所以解得x＝1.‎ 答案：1‎ ‎10．(2018·南京、盐城二模)若复数z满足z(1－i)＝2i(i是虚数单位)，是z的共轭复数，则z·＝________.‎ 解析：因为z·＝|z|2，且|z|＝＝＝，所以z·＝2.‎ 答案：2‎ ‎11．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．‎ 解：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，‎ ＝(1，－1)，‎ 根据＝λ＋μ得 ‎(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，‎ 所以 解得 所以λ＋μ＝1.‎ ‎12．计算：(1)；‎ ‎(2)；‎ ‎(3)＋；‎ ‎(4).‎ 解：(1)＝＝－1－3i.‎ ‎(2)＝＝＝＝＋i.‎ ‎(3)＋＝＋＝＋＝－1.‎ ‎(4)＝＝＝＝－－i.‎ 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 ‎1．(2018·扬州期末)若复数(a－2i)(1＋3i)是纯虚数，则实数a的值为________．‎ 解析：∵(a－2i)(1＋3i)＝(a＋6)＋(3a－2)i是纯虚数，‎ ‎∴即a＝－6.‎ 答案：－6‎ ‎2．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________.‎ 解析：z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋ (sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝＋i.‎ 答案：＋i ‎3．(2019·淮安调研)已知复数z＝1－2i(i为虚数单位)．‎ ‎(1)若z·z0＝2z＋z0，求复数z0的共轭复数；‎ ‎(2)若z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，求实数m的值．‎ 解：(1)∵复数z＝1－2i，z·z0＝2z＋z0，‎ ‎∴z0(z－1)＝2z，‎ ‎∴z0＝＝＝2＋i，‎ ‎∴复数z0的共轭复数 ＝2－i.‎ ‎(2)∵复数z＝1－2i是关于 x 的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，‎ ‎∴(1－2i)2－(1－2i)m＋5＝0，‎ 整理，得2－m＋(2m－4)i＝0，‎ 解得m＝2.‎