2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中数学试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高一下学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．如果,那么下列不等式中正确的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据已知条件分别对A、B、C、D，四个选项利用特殊值代入进行求解．‎ ‎【详解】‎ A、如果a＜0，b＞0，那么，∴，故A正确；‎ B、取a＝﹣2，b＝1，可得，故B错误；‎ C、取a＝﹣2，b＝1，可得a2＞b2，故C错误；‎ D、取a，b＝1，可得|a|＜|b|，故D错误；‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查不等关系与不等式，利用特殊值法进行求解更加简便，此题是一道基础题．‎ ‎2．下列说法正确的是（ ）‎ A．棱柱的底面一定是平行四边形 B．底面是矩形的平行六面体是长方体 C．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 D．棱锥的底面一定是三角形 ‎【答案】C ‎【解析】直接利用几何体的定义的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：对于选项，棱柱的底面为任意的四边形即可，故错误．‎ 对于选项，底面是矩形的直平行六面体才是长方体，故错误．‎ 对于选项，三棱锥的底面一定是三角形，故错误．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：几何体的定义的应用，主要考察学生的空间想象能力和转换能力，属于基础题型．‎ ‎3．在中，，，，则为( )．‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】运用正弦定理解角的度数 ‎【详解】‎ 由正弦定理可得：‎ ‎，‎ 或 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了运用正弦定理求角的度数，较为简单，注意可以取到两个角。‎ ‎4．已知为等差数列,若 ,则的值为（ ）‎ A．- B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为d，利用{an}为等差数列，a1+a5+a9=8π，可得3a1+12d=8π，从而可求a2+a8，进而可求cos（a2+a8）的值．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为d， ∵{an}为等差数列，a1+a5+a9=8π， ∴3a1+12d=8π， ， ∴cos（a2+a8）=cos=cos=- ． 故选A.．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项，考查特殊角的三角函数值，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎5．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的( )‎ A．4倍 B．3倍 C． 倍 D．2倍 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，求出圆锥的底面面积，侧面面积，即可得到比值．‎ ‎【详解】‎ 圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r，则它的底面积为πr2；‎ 圆锥的侧面积为：2rπ•2r＝2πr2；‎ 圆锥的侧面积是底面积的2倍．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题是基础题，考查圆锥的特征，底面面积，侧面积的求法，考查计算能力．‎ ‎6．某组合体的三视图如下，则它的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，故选A．‎ ‎【考点】1、三视图；2、体积．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型．应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握锥体和柱体的体积公式．‎ ‎7．若，则有有（ ）.‎ A．最小值5 B．最大值5 C．最小值 D．最大值 ‎【答案】A ‎【解析】直接利用基本不等式求解函数的最值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，则，当且仅当 即时取等号．‎ 故函数有最小值 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．‎ ‎8．等比数列中，，则数列的前8项和等于( )‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：利用等比数列的性质可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用对数的运算性质即可得出．‎ 解：∵数列{an}是等比数列，a4=2，a5=5，‎ ‎∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．‎ ‎∴lga1+lga2+…+lga8‎ ‎=lg（a1a2…×a8）‎ ‎=‎ ‎=4lg10‎ ‎=4．‎ 故选C．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎9．在中，若，则是（ ）.‎ A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】在中，利用正弦定理与二倍角的正弦可得，再利用正弦函数的性质及诱导公式可得或，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：在中，，‎ ‎，‎ 或，‎ 或，‎ 为等腰或直角三角形，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与二倍角的正弦及诱导公式的应用，属于中档题．‎ ‎10．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是(　　)‎ A．33个 B．65个 C．66个 D．129个 ‎【答案】B ‎【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数量为，则，即数列是首项为，公比为的等比数列， ，故小时后细胞的存活数是，故选B.‎ ‎11．在中，若角所对的三边成等差数列，给出下列结论：‎ ‎①；②；③；④.‎ 其中正确的结论是（ ）‎ A．①② B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为，所以①正确；当时可验证②③均不成立；，所以，所以④正确；故选D.‎ ‎【考点】等差数列性质、基本不等式、余弦定理.‎ ‎12．设△ABC的内角的所对的边成等比数列，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：‎ 根据成等比数列,有,‎ 根据正弦定理有,‎ 根据三角形三边关系,有.‎ 所以,即.消掉得.‎ 化简得：，同时除以，可得，‎ 所以解得.则 ‎【考点】等比中项,正弦定理,三角形三边关系 二、填空题 ‎13．不等式的解集是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】．‎ ‎14．数列满足，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得是周期为4的数列，从而可得结论.‎ ‎【详解】‎ 由，，‎ 得，，，，‎ ‎∴是周期为4的数列，‎ 因为，‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.‎ ‎15．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中， ，则原的面积为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据直观图画出原图，再根据三角形面积公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：依题意得到直观图的原图如下：‎ 且，‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斜二测画法中原图和直观图面积之间的关系，属于基础题．‎ ‎16．给出下列五个结论: ‎ ‎①已知中，三边，，满足，则等于.‎ ‎②若等差数列的前项和为，则三点，，共线.‎ ‎③等差数列中，若，，则.‎ ‎④设，则的值为.其中，结论正确的是______.(将所有正确结论的序号都写上)‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】利用余弦定理可判断①；根据斜率公式及等差数列前项和公式可判断②；根据等差数列片段和的性质可判断③；可证即可判断④.‎ ‎【详解】‎ 解：①由，得到，化简得：，‎ 则，根据，得到，所以此选项错误；‎ ‎②因为，同理，，‎ 则，‎ 所以三点，，共线．此选项正确；‎ ‎③根据等差数列的性质可知，，，成等差数列，‎ 得到：，将，，‎ 代入得：，解得：．此选项正确；‎ ‎④因为 ‎，‎ 则．此选项正确．‎ 所以，正确的结论序号有：②③④．‎ 故答案为：②③④‎ ‎【点睛】‎ 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及余弦定理化简求值，灵活运用等差数列的前项和的公式化简求值，利用归纳总结找规律的方法求函数的值，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．若不等式的解集是.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当的解集为时，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由不等式的解集是，利用根与系数关系列式求出的值，把代入不等式 后直接利用因式分解法求解；‎ ‎（2）代入得值后，由不等式对应的方程的判别式小于等于0列式求解的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为不等式的解集是，‎ 所以，且和是方程的两根，‎ 由根与系数关系得，解得，‎ 则不等式，即为，所以，解得或，所以不等式的解集为或.‎ ‎（2）由（1）知，不等式，即为，因为不等式的解集为，则不等式恒成立，‎ 所以，解得，所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．‎ ‎18．某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？‎ ‎【答案】15千米 ‎【解析】画出示意图如图，设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理的推论得，‎ ‎，则，‎ ‎，所以sin∠MAC=sin（120°−C）=sin120°cosC–cos120°sinC=．‎ 在△MAC中，由正弦定理得 ‎，从而有MB=MC−BC=15．‎ 所以汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站．‎ ‎【考点】利用正、余弦定理求距离．‎ ‎19．已知是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，，.‎ ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和为.‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析 ‎【解析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）由（1）有，利用错位相减法即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为；‎ 则，，‎ 则，解得或，‎ 因为等比数列各项均为正数，所以要舍去，‎ 所以，所以，.‎ ‎（2）由（1）知， ‎ ‎①， ②，‎ ‎ ①减②得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎20．在中，角所对的边分别为，已知.‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）用诱导公式化为，然后展开即易求解B；‎ ‎（2）用余弦定理把表示为关系式，然后应用基本不等式求出的一个范围，最后还要注意三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边这个性质．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎（2）‎ ‎，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理，考查两角和的余弦公式、诱导公式，同角间的三角函数关系等．本题解题关键是用诱导公式化，然后用两角和的余弦公式展开后可求得角，如果不这样变形，解题将无法进行．这就要求我们如何去确定使用哪个公式，本题中由于条件只有一个，而有三个角，因此可想到用诱导公式减少一个角，把已知式变为两个角的关系，从而才能求解．‎ ‎21．已知数列的前项和，且（）．‎ ‎（1）若数列是等比数列，求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式。‎ ‎【答案】（1）1；（2）（）‎ ‎【解析】分析：（1）由可得，∴a2=3，a3=7，依题意，得（3+t）2=（1+t）（7+t），解得t=1；‎ ‎ （2）由（1），知当n≥2时，，即数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，得，即可求通项．‎ 详解：（1）当时，由，得．‎ 当时，，‎ 即，‎ ‎∴，．‎ 依题意，得，解得，‎ 当时，，，‎ 即为等比数列成立，‎ 故实数的值为1；‎ ‎（2）由（1），知当时，，‎ 又因为，‎ 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．　‎ 所以，‎ ‎∴（）.‎ 点睛：（1）证明数列为等比数列时，常运用等比数列的定义去证明，在证明过程中，容易忽视验证首项不为零这一步骤。‎ ‎（2）数列通项的求法方法多样，解题时要根据数列通项公式的特点去选择。常用的方法有：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、取倒数等。‎ ‎22．已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的正整数的最大值.‎ ‎（3）设，是否存在，使得成立?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）672（3）不存在，理由见解析 ‎【解析】（1）由数列的递推式，计算可得所求通项公式；‎ ‎（2）求得，运用裂项相消求和可得，判断的单调性，可得最小值，即可得到的最大值；‎ ‎（3）讨论为奇数或偶数，假设存在，计算可判断是否存在．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为，所以，又因为满足上式，所以.‎ ‎（2）由（1）可知，所以，显然随着的增大而增大，故的最小值为，由可得.‎ ‎（3）结论：不存在满足条件的.‎ 理由如下:①当为奇数时为偶数，则，即 ‎，所以，解得，矛盾.‎ ‎②当为偶数时为奇数，则，即，所以，解得，矛盾.综上所述，不存在满足条件的.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的通项公式的求法，以及数列的裂项相消求和，考查分类讨论思想和不等式恒成立思想的解法，考查化简变形能力，属于中档题．‎