2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合0，1，，，则如图中阴影部分所表示的集合为( )‎ A．0， B． C． D．0，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，所以，则阴影部分为0，‎ ‎【详解】‎ 由Venn图可知阴影部分对应的集合为，或，0，1，，，即0， ‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查Venn图及集合的交集和补集运算，属基础题．‎ ‎2．在一组样本数据为，，，（，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为（ ）‎ A． B． C．1 D．-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据回归直线方程可得相关系数．‎ ‎【详解】‎ 根据回归直线方程是yx+2，‎ 可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，‎ 且所有样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则有|r|＝1，‎ ‎∴相关系数r＝﹣1．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了由回归直线方程求相关系数，熟练掌握回归直线方程的回归系数的含义是解题的关键．‎ ‎3．将曲线y=sin2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据反解,代入即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由伸缩变换可得:代入曲线,可得: ,即.‎ 故选: .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查曲线的伸缩变换,属基础题,难度容易.‎ ‎4．在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据超几何分布，可知共有 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。‎ 详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，‎ 由超几何分布的概率可知，当0个正品4个次品时 ‎ 当1个正品3个次品时 所以正品数比次品数少的概率为 ‎ 所以选A 点睛：本题考查了超几何分布在分布列中的应用，主要区分二项分布和超几何分布的不同。根据不同的情况求出各自的概率，属于简单题。‎ ‎5．“”是双曲线的离心率为（ ） ‎ A．充要条件 B．必要不充分条件 C．即不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】将双曲线标准化为,由于离心率为可得,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 将双曲线标准化则根据离心率的定义可知本题中应有,则可解得,因为可以推出;反之成立不能得出.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般.‎ ‎6．设函数，若a=),，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】把化成,利用对数函数的性质可得 再利用指数函数的性质得到最后根据的单调性可得的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 因为且,故,又在上为增函数,所以即.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的大小比较,可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系,如果底数不统一,可以利用对数的运算性质统一底数,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,难度较易.‎ ‎7．的展开式中，的系数是（ ）‎ A．160 B．-120 C．40 D．-200‎ ‎【答案】D ‎【解析】将已知多项式展开,将求展开式中的项的系数转化为求二项式展开式的项的系数;利用二项展开式的通项公式求出通项,令通项中的分别取求出二项式的含和含的系数．‎ ‎【详解】‎ 的展开式的通项为，‎ 令得展开式中的项的系数是,‎ 令得展开式中的项的系数是,‎ 的展开式中的项的系数是.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理的应用,其中解答中熟记二项展开式的通项,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,难度较易.‎ ‎8．函数的图象大致是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据f（x）的奇偶性及特殊函数值判断．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（﹣x）＝-f（x），故f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A、B；‎ 又当x=1时，f（1）＝0，‎ 当x＞1时，f（x）＞0，∴排除C，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图像的识别，考查了函数奇偶性的判断及应用，属于基础题．‎ ‎9．若命题“存在，使”是假命题，则非零实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据命题真假列出不等式,解得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为命题“存在，使”是假命题,‎ 所以,解得:,因为.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假求参数,注意已知条件非零实数是正确解答本题的关键,考查学生分析求解能力,难度较易.‎ ‎10．如图，和都是圆内接正三角形，且，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用表示事件“豆子落在内”，表示事件“豆子落在内”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，包含 个小三角形，同时又在内的小三角形共有 个，所以 ，故选D.‎ ‎11．函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．与大小关系不确定 ‎【答案】B ‎【解析】通过构造函数,由导函数,结合,可知函数是上的增函数，得到,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，则，故函数是上的增函数，所以，即，则.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题的难点在于构造函数,由,构造是本题的关键,学生在学习中要多积累这样的方法.‎ ‎12．若在曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”.下列方程：①②；③④对应的曲线中存在的“自公切线”的是（ ）‎ A．①③ B．②③ C．②③④ D．①②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简函数的解析式,结合函数的图象的特征,判断此函数是否有自公切线．‎ ‎【详解】‎ ‎①是一个等轴双曲线,没有自公切线;‎ ‎②,在和处的切线都是,故②有自公切线;‎ ‎③此函数是周期函数,过图象的最高点的切线都重合,故此函数有自公切线;‎ ‎④即结合图象可得,此曲线没有自公切线.‎ 故选:.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用,考查学生的数形结合的能力,难度一般.‎ 二、填空题 ‎13．设随机变量的分布列为为常数，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得=1，解得c=，由此能求出P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．‎ ‎【详解】‎ 随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，3，‎ ‎∴=1，‎ 即，解得c=，‎ ‎∴P（0.5＜ξ＜2.5）=P（ξ=1）+P（ξ=2）‎ ‎===．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分布列的合理运用．‎ ‎14．有7张卡片分别写有数字从中任取4张，可排出不同的四位数的个数是__________．‎ ‎【答案】114‎ ‎【解析】根据题意,按取出数字是否重复分4种情况讨论:①、取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4;②、取出的4张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2;③若取出的4张卡片为2张1和2张2;④、取出的4张卡片种有3个重复数字，则重复的数字为1.分别求出每种情况下可以排出四位数的个数,由分类计数原理计算可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，分4种情况讨论：‎ ‎(1)取出的4张卡片中没有重复数字,即取出的4张卡片中的数字为1、2、3、4，此时=24种顺序,可以排出24个四位数;‎ ‎(2)取出的4张卡片中有2个重复数字,则2个重复的数字为1或2，若重复的数字为1,在2、3、4中取出2个,有种取法,安排在四个位置中,有种情况,剩余位置安排数字1,可以排出3×12=36个四位数,同理,若重复的数字为2,也可以排出36个重复数字;‎ ‎(3)若取出的4张卡片为2张1和2张2,在4个位置安排两个1,有种情况,剩余位置安排两个2,则可以排出6×1=6个四位数;‎ ‎(4)取出的4张卡片中有3个重复数字,则重复的数字为1,在2、3、4中取出1个卡片,有 种取法,安排在四个位置中,有 种情况,剩余位置安排1,可以排出3×4=12个四位数;所以一共有24+36+36+6+12=114个四位数.‎ 故答案为:114.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用,属于难题,有关排列组合的综合问题,往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题,解答这类问题理解题意很关键,一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”,在应用分类计数加法原理讨论时,既不能重复交叉讨论又不能遗漏,这样才能提高准确率,难度较难.‎ ‎15．已知直线的参数方程为：(为参数)，椭圆的参数方程为：(为参数)，若它们总有公共点 ，则取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把参数方程化为普通方程，若直线与椭圆有公共点， 对判别式进行计算即可.‎ ‎【详解】‎ 直线l的参数方程为（t为参数），‎ 消去t化为普通方程为ax﹣y﹣1＝0，且,‎ 椭圆C的参数方程为：（θ为参数），消去参数化为．‎ 联立直线与椭圆，消y整理得，‎ 若它们总有公共点，则，解得且,‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程与普通方程之间的互化，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎16．给出定义 ：对于三次函数设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.已知函数.设.若则__________．‎ ‎【答案】-4037‎ ‎【解析】由题意对已知函数求两次导数,令二阶导数为零,即可求得函数的中心对称,即有,,借助倒序相加的方法,可得进而可求的解析式,求导,当代入导函数解得,计算求解即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 函数函数的导数由得解得,而故函数关于点对称, ‎ 故，‎ 两式相加得，则.‎ 同理,,,令,则,‎ ‎,故函数关于点对称, ‎ ‎,两式相加得,则.‎ 所以当时, 解得: ,所以则.‎ 故答案为: -4037.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对新定义的理解,考查二阶导数的求法,仔细审题是解题的关键,考查倒序法求和,难度较难.‎ 三、解答题 ‎17．已知曲线的参数方程为（为参数，）,直线经过且倾斜角为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程、直线的参数方程.‎ ‎（2）直线与曲线交于A、B两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（为参数，） (2) ‎ ‎【解析】(1)利用,消去参数即可求得曲线的普通方程,根据直线参数方程的定义即可求得直线的参数方程；‎ ‎(2)利用直线参数方程的几何意义,联立方程,借助韦达定理,即可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由,代入中得，‎ 整理得曲线的普通方程为,直线的参数方程为（为参数，），‎ ‎(2)将直线的参数方程代入并整理得..‎ 设对应的参数分别为，则，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程与直角坐标方程的相互转化,体现了转化与化归的数学思想,同时考查了直线参数方程中参数的几何意义,体现了参数方程解题的优势,难度较易.‎ ‎18．“初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6.‎ ‎（1）完成列联表（应适当写出计算过程）；‎ ‎（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.‎ 统计数据如下表所示：‎ 不善于总结反思 善于总结反思 合计 学习成绩优秀 ‎40‎ 学习成绩一般 ‎20‎ 合计 ‎200‎ 参考公式：其中 ‎【答案】（1）见解析 （2）有，分析见解析 ‎【解析】(1)根据已知抽取的学生人数为200名,抽到不善于总结反思的学生概率是0.6,即可求出抽到不善于总结反思的学生人数为,进而可求得其他数据,完善列联表即可.‎ ‎(2) 由(1)可得列联表,根据公式计算出后可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由抽取的学生人数为200名,抽到不善于总结反思的学生概率是0.6, 抽到不善于总结反思的学生人数为,进而可求其他数据,完善表格如下.‎ 列联表：‎ 不善于总结反思 善于总结反思 合计 学习成绩优秀 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ 学习成绩一般 ‎80‎ ‎20‎ ‎100‎ 合计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ 所以有的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了2×2列联表,考查独立性检验,考查了学生的计算能力,难度较易.‎ ‎19．设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，如果直线OP，曲线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记为S1、S2.‎ ‎(1)当S1＝S2时，求点P的坐标；‎ ‎(2)当S1＋S2有最小值时，求点P的坐标和最小值．‎ ‎【答案】（1），（2），‎ ‎【解析】试题分析：（1）可考虑用定积分求两曲线围成的封闭图形面积，直线OP的方程为y=tx，则S1为直线OP与曲线y=x2‎ 当x∈（0，t）时所围面积，所以，S1=∫0t（tx﹣x2‎ ‎）dx，S2为直线OP与曲线y=x2当x∈（t，2）时所围面积，所以，‎ S2=∫t2（x2﹣tx）dx，再根据S1=S2就可求出t值．‎ ‎（Ⅱ）由（2）可求当S1+S2，化简后，为t的三次函数，再利用导数求最小值，以及相应的x值，就可求出P点坐标为多少时，S1+S2有最小值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），‎ 直线OP的方程为y=tx ‎ S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，‎ 因为S1=S2，，所以t=，点P的坐标为 ‎ ‎（2）S=S1+S2==‎ ‎ S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t= ‎ ‎ 因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0 ‎ 所以，当t=时，Smin=，P点的坐标为．‎ 点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．‎ ‎20．已知曲线的极坐标方程为 ‎（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若是曲线上一个动点，求的最大值，以及取得最大值时点的坐标.‎ ‎【答案】（1）.（2）最大值为6，.‎ ‎【解析】(1)利用极坐标化直角坐标的公式求解即可;(2)设利用三角函数图象和性质解答得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)把曲线的极坐标方程为,化为直角坐标方程为;‎ ‎(2)化出曲线的参数方程为 (为参数).‎ ‎ 若是曲线上的一个动点,则,‎ 可得 ‎,其中,故当时, 取得最大值为,此时,,,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化,考查三角函数的恒等变换和最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,难度一般.‎ ‎21．某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表：‎ 每分钟跳绳个数 得分 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ 年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.‎ ‎（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）‎ ‎（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：‎ ‎（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；‎ ‎（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望与方差.‎ 附：若随机变量服从正态分布，则，，.‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）1683；（ii）.‎ ‎【解析】（1）根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解．‎ ‎（2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况：‎ ‎①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分；‎ ‎③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.‎ 由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，‎ 则由古典概型的概率计算公式可得.‎ 所以两人得分之和小于35的概率为.‎ ‎（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：‎ ‎（个）.‎ 又由，得标准差，‎ 所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.‎ ‎（i）因为，所以，‎ 故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为 ‎（人）.‎ ‎（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为，‎ 所以，的所有可能的取值为0，1，2，3.‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图的应用问题、正态分布的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题．‎ ‎22．设，，其中a，．‎ Ⅰ求的极大值；‎ Ⅱ设，，若对任意的，恒成立，求a的最大值；‎ Ⅲ设，若对任意给定的，在区间上总存在s，，使成立，求b的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.‎ ‎【解析】Ⅰ求出的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，进而求得的极大值；‎ Ⅱ当，时，求出的导数，以及的导数，判断单调性，去掉绝对值可得，构造函数，求得的导数，通过分离参数，求出右边的最小值，即可得到a的范围；‎ Ⅲ求出的导数，通过单调区间可得函数在上的值域为，由题意分析时，结合的导数得到在区间上不单调，所以，，再由导数求得的最小值，即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ，‎ 当时，，在递增；当时，，在递减．‎ 则有的极大值为；‎ Ⅱ当，时，，，‎ 在恒成立，在递增；‎ 由，在恒成立，在递增．‎ 设，原不等式等价为，‎ 即，，在递减，‎ 又，在恒成立，‎ 故在递增，，‎ 令，，‎ ‎∴‎ ‎，在递增，‎ 即有，即；‎ Ⅲ，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减．‎ 又因为，，，‎ 所以，函数在上的值域为．‎ 由题意，当取的每一个值时，‎ 在区间上存在，与该值对应．‎ 时，，，‎ 当时，，单调递减，不合题意，‎ 当时，时，，‎ 由题意，在区间上不单调，所以，，‎ 当时，，当时， 0'/>‎ 所以，当时，，‎ 由题意，只需满足以下三个条件：，‎ ‎，使．‎ ‎，所以成立由，所以满足，‎ 所以当b满足即时，符合题意，‎ 故b的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，主要考查不等式恒成立和存在性问题，注意运用参数分离和构造函数通过导数判断单调性，求出最值，属于难题．‎