2017-2018学年河南省天一大联考高二下学期阶段性测试（三）数学理试题（解析版）

2017-2018学年河南省天一大联考高二下学期阶段性测试（三）数学理试题（解析版）

天一大联考 ‎2017—2018学年高二年级阶段性测试(三)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若的实部与虚部相等，则实数（ ）‎ A. -2 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先将所给的复数利用四则运算法则进行计算，然后结合实部虚部的表达形式得到关于实数a的方程，解方程即可求得实数a的值.‎ 详解：由题意可得：，‎ 该复数的实部与虚部相等，则：，‎ 求解关于实数a的方程可得：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.‎ ‎2. 对于小于41的自然数，积等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用排列数、组合数公式逐项写出所给算式的表达形式，结合题意选择符合题意的选项即可.‎ 详解：由排列数公式可知：，‎ ‎，‎ ‎；‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：排列数、组合数公式是高中的基础公式，熟练掌握：(1)排列数公式；(2)组合数公式，这是正确计算的关键．‎ ‎3. 若 (为虚数单位)，则使的值可能是（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先计算的结果，结合所得的结果分别令实部、虚部相等，得到关于的三角方程，求解三角方程即可求得的值.‎ 详解：由题意可得：‎ ‎，‎ 结合可得：，对比选项可知：.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.‎ ‎4. 若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：首先确定所给函数的导函数为是，然后结合函数的极值确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定函数的大致图象.‎ 详解：三次函数的导函数为二次函数，其图象与轴有两个交点，‎ 结合函数的极值可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；‎ 则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；‎ 观察所给的函数图象可知，只有C选项符合题意.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．‎ ‎(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．‎ ‎5. 用反证法证明命题“等腰三角形的底角必是锐角”,下列假设正确的是（ ）‎ A. 等腰三角形的顶角不是锐角 B. 等腰三角形的底角为直角 C. 等腰三角形的底角为钝角 D. 等腰三角形的底角为直角或钝角 ‎【答案】D ‎【解析】分析：反证法的假设需要写出命题的反面，结合题意写出所给命题的反面即可.‎ 详解：反证法的假设需要写出命题的反面.‎ ‎“底角必是锐角”的反面是“底角不是锐角”，即底角为直角或钝角.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.‎ ‎6. 某科技小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则小组中的女生人数为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设有女生x人，结合题意得到关于女生人数的组合方程，求解关于x的方程即可确定女生人数.‎ 详解：设有女生x人，则有男生6-x人，于是有，‎ 即（6-x)（5-x)（4-x)=24，整理可得：，‎ 解得x=2.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．‎ ‎(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．‎ ‎7. 观察下面的三个图形，根据前两个图形的规律，可知第三个图中（ ）‎ A. 9 B. 60 C. 120 D. 100‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意，观察分析前两个圆中内部数据和外部数据的关系，归纳出数据的特点，然后求解实数的值即可.‎ 详解：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的算术平方根的和：‎ ‎，，‎ 据此可得：.‎ 解得：，所以“x”处该填的数字是100.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎8. 在的展开式中，称为项的次数，则所有次数为3的项的系数之和为（ ）‎ A. 45 B. 60‎ C. 120 D. 210‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意结合次数的定义和二项式定理展开式定理得到所有次数为3的项的系数的表达式，然后结合组合数计算公式即可求得系数的值.‎ 详解：由条件得，次数为3的项有，‎ 这些项的系数和为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．‎ ‎9. 函数在上存在导数，若，则必有（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意结合不等式的性质确定导函数的符号，结合导函数的符号即可确定函数的单调性，最后，利用单调性即可确定题中不等式的符号.‎ 详解：，则x>1时；x<1时.‎ 故f(x)在上为增函数或常数函数，在上为减函数或常数函数.‎ 故，，即f(0)+f(2)≤2f(1).‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.‎ ‎10. 在某种信息的传输过程中，用6个数字的一个排列〔数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息100110至多有三个对应位置上的数字相同的信息个数为（ ）‎ A. 22 B. 32 C. 42 D. 61‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意，分类讨论可知0个、1个、2个和3个对应位置的数字相同，结合组合数公式和加法原理即可求得最终结果.‎ 详解：至多有三个对应位置相同，包含0个、1个、2个和3个，‎ 即与信息100110至多有三个对应位置上的数字相同的信息个数为：‎ ‎.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(‎ 或位置)．‎ ‎11. 老师和甲、乙两名同学都知道桌上有6张扑克牌：红桃3、红桃6、黑桃5、黑桃A、方块10、梅花6.老师从中挑选一张,将这张牌的花色告诉甲同学,将牌上的点数告诉乙同学.随后发生了下面一段对话：‎ 甲：“我不知道这张牌是什么.”‎ 乙：“我本来也不知道这张牌是什么，但是听了你说的话，我就知道了.”‎ 甲：“现在我也知道了.”‎ 根据他们的对话,这张牌是 A. 红桃3 B. 红桃6 C. 黑桃 D. 梅花6‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由题意首先分析甲的说法，然后结合甲的说法分析乙的说法，据此即可确定老师挑选的牌面.‎ 详解：一开始，甲仅凭花色无法判断这张牌是什么，说明这张牌的花色在6张牌里不是唯一的，可能是红桃或黑桃；乙仅凭数字无法判断这张牌是什么，说明这张牌的数字也不是唯一的，只能是6，结合甲的话，乙就知道了这张牌是红桃6，甲根据乙的话也就知道答案了.所以这张牌是红桃6.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：虽然合情推理所得的结果具有偶然性，但也不是完全凭空想象，它是根据一定的知识和方法作出的探索性的判断，经历观察、试验、猜想、证明等数学活动即可得出正确合理的结论.‎ ‎12. 已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先求得导函数，由原函数单调递增求得函数的单调递增区间，结合题意将原问题转化为子区间的问题，得到关于m的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值范围.‎ 详解：因为，‎ 令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递增，‎ 则区间（2m，m+1）是区间（-2，2）的子区间，‎ 所以，求解不等式组可得：，‎ 据此可得：-1≤m<1.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：‎ ‎(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；‎ ‎(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；‎ ‎(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13. 由曲线，坐标轴及直线围成的图形的面积等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先确定函数图象，然后结合函数图象和定积分的几何意义即可求得曲线所围成的图形的面积.‎ 详解：绘制函数的图象如图所示，‎ 结合定积分的几何意义可得，所求面积值为：‎ ‎.‎ 故答案为： ．‎ 点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；‎ ‎(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.‎ ‎14. 对偶数构成的数列2,4,6,8,10,…进行如下分组：第一组含一个数；第二组含两个数；第三组含三个数；第四组含四个数.……试观察猜想每组内各数之和与组的编号数的关系式为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意结合所给的前四组数据归纳出和的特点，然后结合归纳出的算式计算与组的编号数的关系式即可.‎ 详解：由于，，‎ ‎，，，‎ 据此猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3+n.‎ 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎15. 已知某质点的位移(单位：)与时间(单位：)的关系式为，则该质点的瞬时速度的最小值为__________.(用含有的式子表示)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：对位移函数进行求导，结合导函数的物理意义确定瞬时速度的单调性，由单调性即可求得该质点的瞬时速度的最小值.‎ 详解：质点在t时的瞬时速度为s'=t2+bt+1，‎ 因为b>0，所以s'=t2+bt+1在时单调递增，‎ 所以该质点的瞬时速度的最小值为 .‎ 点睛：导数的几何意义为切线的斜率，曲线中切线斜率的物理意义为瞬时速度，据此结合函数的单调性即可确定速度的最小值，注意转化思想的应用.‎ ‎16. 图中共有__________个矩形.‎ ‎【答案】45‎ ‎【解析】分析：结合图形进行分类，利用排列组合的性质求解每类中矩形的个数，然后利用加法原理即可求得图中矩形的个数.‎ 详解：如图所示，由排列组合知识可知，在矩形中，含有矩形的个数为，‎ 在矩形中，含有矩形的个数为，‎ 除去上面考虑过的情况，‎ 在矩形中，含有矩形的个数为，‎ 在矩形中，含有矩形的个数为，‎ 综上可得：图中矩形的个数为：.‎ ‎(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 设复数 （其中).‎ ‎（Ⅰ）若复数为纯虚数，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若复数在复平面内对应的点在第二或第四象限，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的取值范围是.‎ ‎【解析】分析：(Ⅰ)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，据此可得：，解得；‎ ‎(Ⅱ)由题意可知实部虚部符号相反，据此得到关于实数a的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.‎ 详解：（Ⅰ）因为复数为纯虚数，所以所以.‎ ‎（Ⅱ）因为对应的点在第二或第四象限，所以或 解不等式组得或，‎ 即的取值范围是.‎ 点睛：这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.‎ ‎18. 已知二项式 ‎（Ⅰ）若，展开式中含项的系数为960，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若展开式中各项系数和为，且，求展开式的所有二项式系数之和.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）32．‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合二项式展开式的通项公式可得，据此计算可得；‎ ‎（Ⅱ）由题意可得,据此可得，,则二项式系数之和为.‎ 详解：（Ⅰ）的展开式通项为，‎ 令，得，‎ 解得 ‎（Ⅱ）因为展开式中各项系数和为，所以,‎ 故或或，又因为，所以，,‎ 所以展开式的所有二项式系数之和为.‎ 点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．‎ ‎19. 是否存在正整数，使得对任意正整数都能被36整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】答案见解析 ‎【解析】分析：由题意计算可得，，，.猜想最小的正整数的值为9，即.‎ 用数学归纳法讨论可知成立，假设时成立，可证得时成立，即可证得猜想成立.‎ 详解：由，得，，‎ ‎，.要使得对都能被36整除，最小的正整数的值为9，‎ 由此猜想最小的正整数的值为9，即.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎（1）当时，显然成立.‎ ‎（2）假设时，能被36整除，即能被36整除.‎ 当时，，‎ 由于是2的倍数，故能被36整除.‎ 这就是说，当时，也能被36整除.‎ 由（1）（2）可知对一切正整数都有能被36整除，的最小值为9.‎ 点睛：1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．‎ ‎2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n＝n0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n＝k＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.‎ ‎20. 某商场根据销售某种商品的经验发现,该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为5元/干克时，每日可售出该商品11千克.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，则销售价格为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大？‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得时，，代入函数解析式可得的值；（Ⅱ） 根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差，列函数关系式（三次函数），利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.‎ 试题解析：解：（Ⅰ）因为时，，所以，故 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 从而 于是，当变化时，的变化情况如下表：‎ 由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.‎ 所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于42‎ 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ 视频 ‎21. 对于函数，设是函数的导数是的导数，若方有实数解，则称点为函数的“拐点”.‎ ‎（Ⅰ）证明：三次函数的拐点是其图象的对称中心(提示：可将函数化为的形式)‎ ‎（Ⅱ）若设，计算的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）4035．‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合拐点的定义可得的拐点为.据此计算可得的图象可由的图象按向量平移得到，则图象关于点对称.即三次函数的拐点是其图象的对称中心.‎ ‎（Ⅱ）由题意结合(Ⅰ)的结论可得的拐点即的对称中心为.据此倒序相加可得.‎ 详解：（Ⅰ）对于三次函数，，‎ ‎，令，得.‎ 又，‎ 所以的拐点为.‎ 因为 则的图象可由的图象按向量平移得到，‎ 而是奇函数，图象关于点对称，所以图象关于点对称.‎ 即三次函数的拐点是其图象的对称中心.‎ ‎（Ⅱ）由题意得，所以，令，得，‎ 所以的拐点为点，‎ 即的对称中心为.‎ 所以，若，则，‎ 令 则 所以 ‎，‎ 所以，所以，‎ 即.‎ 点睛：求和的方法技巧：‎ ‎(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．‎ ‎(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．‎ ‎(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．‎ ‎22. 设，，其中.‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）设函数，若在上单调递增，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2．‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）构造函数，则，讨论可得的最小值为，故成立.‎ ‎（Ⅱ）构造函数.由题意可得在上恒成立.二次求导可知的最小值为.故.构造函数，则在上递增，在上递减，据此计算可得.‎ 详解：（Ⅰ）令，所以，‎ 所以在上单调递增，且 易知当时，，当时，，‎ 所以的最小值为，所以成立.‎ ‎（Ⅱ）由题意得.则.‎ 易知当或时，均有.‎ 因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.‎ 的导函数，令，得，‎ 当时，，递减；当时，，递增.‎ 则的最小值为.‎ 所以.‎ 令，‎ 则，则在上递增，在上递减，‎ 所以，当且仅当时取等号.‎ 所以.‎