高考数学复习课时冲关练(九) 3_2
课时冲关练(九)
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
(40分钟 80分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2014·北大附中模拟)函数f(x)=2sin2x-1是( )
A.最小正周期为2π的奇函数
B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数
D.最小正周期为π的偶函数
【解析】选D.f(x)=2sin2x-1=-cos2x,
所以最小正周期为T==π.
f(-x)=-cos[2(-x)]=-cos2x为偶函数.
2.(2013·浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是
( )
A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2
【解析】选A.f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin,
所以A=1,T=π.
3.(2014·江门模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.为了得到f(x)的图象,则只要将g(x)=sin2x的图象 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解题提示】由图象特点先求f(x)的解析式,再求解图象变换.
【解析】选C.由图象得f(x)=sin=sin 2(x+),则要得到f(x)的图象只需将g(x)图象向左平移个单位长度.
【加固训练】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,|φ|<)的图象如图所示.为得到g(x)=Asin3x的图象,则只要将f(x)的图象 ( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】选B.根据图象得:
取k=0得:ω=3,φ=,f(x)=Asin,
g(x)=Asin3x=Asin,
所以应该向右平移个单位长度.
4.关于函数y=sin|2x|+|sin2x|,下列说法正确的是 ( )
A.是周期函数,周期为π
B.关于直线x=对称
C.在上最大值为
D.在上是单调递增的
【解析】选D.由题意得函数的图象如图所示:
由图象可知,此函数不是周期函数,关于x=0对称,在上最大值为2,在上是单调递增的.
5.(2014·汕头模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=b(0
0,由2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得6k≤x≤6k+3,k∈Z.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2014·淮南模拟)如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)
与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(2,0),
∠PQR=,M为QR的中点,PM=2,则A的值为 .
【解析】因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,|φ|≤与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(2,0),∠PQR=,M为QR的中点,
所以设Q(2a,0),a>0,则R(0,-2a),
所以M(a,-a).
因为PM=2,
所以=2,
解得a=4,T=12,ω=.
函数经过P,R,
所以
因为|φ|≤,所以φ=-,所以A=.
答案:
7.(2014·梅州模拟)若动直线x=a(a∈R)与函数f(x)=sin和g(x)=cos的图象分别交于M,N两点,则|MN|的最大值为 .
【解析】实际上|MN|=|f(x)-g(x)|,
因此我们只要求|f(x)-g(x)|的最大值,
|f(x)-g(x)|=sin-cos
=|2sinx|,其最大值为2.
答案:2
8.(2014·池州模拟)已知函数f(x)=cosx·sinx,给出下列五个说法:
①f=;
②若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2;
③f(x)在区间上单调递增;
④将函数f(x)的图象向右平移个单位可得到y=cos2x的图象;
⑤f(x)的图象关于点成中心对称.
其中正确说法的序号是 .
【解析】f(x)=cosx·sinx=sin2x.
①正确,f=f=sin=;
②错误,由f(x1)=-f(x2)=f(-x2)知x1=-x2+2kπ或x1=π+x2+2kπ(k∈Z);
③错误,令-+2kπ≤2x≤+2kπ,
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
由复合函数性质知f(x)在每一个闭区间[-+kπ,+kπ](k∈Z)上单调递增,
但不是集合(k∈Z)的子集,
故函数f(x)在上不是单调函数;
④正确,将函数f(x)的图象向右平移个单位可得到
y=sin2=sin=cos2x;
⑤错误,函数的对称中心的横坐标满足2x0=kπ(k∈Z),
解得x0=(k∈Z),即对称中心坐标为(k∈Z),
则点不是其对称中心.
答案:①④
三、解答题(9题12分,10～11题每题14分,共40分)
9.(2014·湖北高考)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天的最大温差.
(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?
【解析】(1)因为f(t)=10-2cost+sint=10-2sin,
又0≤t<24,
当t=2时,sin=1;
当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12℃,取得最小值8℃.
故实验室这一天最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
(2)依题意,当f(t)>11时实验室需要降温,
由(1)得f(t)=10-2sin,
故有10-2sin>11,
即sin<-.
又0≤t<24,
因此0),函数f(x)=m·n的最大值为6.
(1)求A的值.
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的值域.
【解析】(1)f(x)=m·n=Asinxcosx+cos2x=A(sin2x+cos2x)=Asin(2x+).
因为f(x)的最大值为6,且A>0,所以A=6.
(2)由(1)知f(x)=6sin(2x+).
将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到
y=6sin[2+]=6sin(2x+)的图象;
再将所得图象上各点横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到y=6sin(4x+)的图象.
因此g(x)=6sin.
因为x∈[0,],
所以4x+∈[,],-≤sin≤1,
所以-3≤g(x)≤6.
所以g(x)在上的值域为[-3,6].
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