2019高三数学（人教B版 理）一轮：课时规范练33均值不等式及其应用
课时规范练33 均值不等式及其应用
基础巩固组
1.设0
0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+1a,n=a+1b,则m+n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4.函数y=x2+2x+2x+1(x>-1)的图象的最低点的坐标是( )
A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,1) D.(0,2)
5.(2017山东日照一模)已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则1a+4b的最小值为( )
A.8 B.9 C.16 D.18
6.要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
7.若两个正实数x,y满足2x+1y=1,并且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4) D.(-4,2)
8.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,则1x+1y的最大值为( )
A.2 B.32 C.1 D.12
9.若直线xa+yb=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为 .
10.若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sin πx(00,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则x+yxy的最小值是 .
15.如果a,b满足ab=a+b+3,那么ab的取值范围是 .
16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x)(单元:万元),当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x(单位:万元).当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;
(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
〚导学号21500549〛
创新应用组
17.若正实数x,y满足x+y+1x+1y=5,则x+y的最大值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
18.(2017山东德州一模,理8)圆:x2+y2+2ax+a2-9=0和圆:x2+y2-4by-1+4b2=0有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则4a2+1b2的最小值为( )
A.1 B.3 C.4 D.5〚导学号21500550〛
参考答案
课时规范练33 均值不等式及
其应用
1.B ∵00,即ab>a,D错误,故选B.
2.C ∵正数x,y满足1y+3x=1,
∴3x+4y=(3x+4y)1y+3x=13+3xy+12yx≥13+3×2xy·4yx=25,当且仅当x=2y=5时等号成立.
∴3x+4y的最小值是25.故选C.
3.B 由题意知ab=1,则m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,
∴m+n=2(a+b)≥4ab=4,当且仅当a=b=1时,等号成立.
4.D ∵x>-1,∴x+1>0.∴y=(x+1)2+1x+1=(x+1)+1x+1≥2,当且仅当x+1=1x+1,即x=0时等号成立,即当x=0时,该函数取得最小值2.所以该函数图象最低点的坐标为(0,2).
5.B 由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.
所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.
6.C 设底面矩形的长和宽分别为a m,b m,则ab=4(m2).容器的总造价为20ab+2(a+b)×10=80+20(a+b)≥80+40ab=160(元)(当且仅当a=b=2时等号成立).故选C.
7.D x+2y=(x+2y)2x+1y=2+4yx+xy+2≥8,
当且仅当4yx=xy,即x=2y=4时等号成立.
由x+2y>m2+2m恒成立,
可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-41,b>1,所以ab≤a+b22=3,
所以lg(ab)≤lg 3,从而1x+1y≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=3时等号成立.
9.8 ∵直线xa+yb=1过点(1,2),
∴1a+2b=1.
∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)1a+2b=4+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8.
当且仅当b=2a时等号成立.
10.3+22 由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sin πx(00,
∴乙的购买方式的平均单价较小.故答案为乙.
12.证明 因为a,b均为正实数,
所以1a2+1b2≥21a2·1b2=2ab,
当且仅当1a2=1b2,即a=b时等号成立,
又因为2ab+ab≥22ab·ab=22,
当且仅当2ab=ab时等号成立,
所以1a2+1b2+ab≥2ab+ab≥22,
当且仅当1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42时等号成立.
13.D 令f(y)=|y+4|-|y|,
则f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.
∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x对任意实数x,y都成立,
∴2x+a2x≥f(y)max=4,
∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;
令g(x)=-(2x)2+4×2x,
则a≥g(x)max=4,∴实数a的最小值为4.
14.23+4 x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,可得x+3y=1.
x+yxy=(x+y)(x+3y)xy=x2+3y2+4xyxy=xy+3yx+4≥2xy·3yx+4=23+4.
当且仅当x=3y,x+3y=1,即y=3-36,x=3-12时等号成立.
x+yxy的最小值是23+4.
15.(-∞,1)∪(9,+∞) ∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴(a+b)2=(ab-3)2.
∵(a+b)2≥4ab,
∴(ab-3)2≥4ab,
即(ab)2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.
16.解 (1)因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元,依题意得,当00,y>0,xy≤(x+y)24,
∴1xy≥4(x+y)2,x+yxy≥4x+y,即1x+1y≥4x+y,
∴x+y+1x+1y≥x+y+4x+y.即x+y+4x+y≤5.
设x+y=t,则t>0,∴t+4t≤5,得到t2-5t+4≤0,解得1≤t≤4,
∴x+y的最大值是4.
18.A 由题意可得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+a)2+y2=9,x2+(y-2b)2=1,
圆心分别为(-a,0),(0,2b),半径分别为3和1,故有a2+4b2=16,
∴4a2+1b2=1164a2+1b2·(a2+4b2)=1168+16b2a2+a2b2≥116(8+8)=1,
当且仅当16b2a2=a2b2,即a2=8,b2=2时,等号成立,故选A.
