二OO八年潜山中学高中数学竞赛试题

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二OO八年潜山中学高中数学竞赛试题

二OO八年潜山中学高中数学竞赛试题 一、选择题 ‎1、在直三棱柱中。已知与E分别为和的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)。若,则线段DF长度的取值范围为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、在1~50这50个自然数中,任取三个不同的数,其中能组成公比为正整数的等比数列的概率是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、椭圆的左准线为,左右焦点分别为。抛物线的准线为,焦点是,与的一个交点为,则的值为( )‎ ‎、 、 、4 、8‎ ‎4、三棱锥中,顶点在平面ABC的射影为,满足,点在侧面上的射影是的垂心,,则此三棱锥体积的最大值为( )‎ A、 36 B、 ‎48 ‎‎ ‎‎ C、 54 D、 72‎ ‎5、设有反函数,将的图象向左平移2个单位,再关于x轴对称后所得函数的反函数是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6、函数的值域为( )‎ 二、填空题 ‎7、过椭圆的右焦点作一条倾角为的直线交椭圆于A、B两点,若满足,则椭圆的离心率为 ‎ ‎8、已知实数a,b均不为零,,且,则等于_______‎ ‎9、设,其中,若定义,则集合{ |}的元素个数是___________‎ ‎10、设是偶函数,,若含有10个元素,则的取值范围是 ‎11、已知函数f(x)= ,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 ‎ ‎12、若不等式1-loga<0有解,则实数a的范围是 .‎ 三、解答题 ‎13、如图,椭圆:,、、、为椭圆的顶点.(Ⅰ)设点,若当且仅当椭圆上的点在椭圆的顶点时, 取得最大值与最小值,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为,且与直线相交于,两点(不是椭圆的左右顶点),并满足.试研究:直线是否过定点?若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由.‎ ‎14、在中,已,又的面积等于6.‎ ‎(Ⅰ)求的三边之长;‎ ‎(Ⅱ)设P是(含边界)内一点,P到三边AB、BC、AB的距离为、和,求的取值范围.‎ ‎15、‎ B A C E A1‎ B1‎ C1‎ 如图,正三棱柱中,是中点. (Ⅰ)求证://平面; (Ⅱ)若,求点到平面的距离; (Ⅲ)当为何值时,二面角E—BC1—C的正弦值为?‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、A ‎2、A ‎3、B ‎4、A ‎ ‎5、A 解:设上有点 左移2 关于x轴对称取反函数 ‎, 代入得 ‎,‎ ‎6、答:.‎ 解:的定义域为则,令,则 因,则 .‎ 二、填空题 ‎7、‎ ‎8、 ‎ ‎9、11 ‎ ‎10、 ‎ ‎11、作出函数f(x)的图象,要使斜率为1的直线与y=f(x),有两个不同的交点,必须a<1, ‎ ‎12、当a>1时,不等式化为10-ax>a,要使不等式有解,必须10-a>0‎ ‎∴1<a<10‎ 当0<a<1时,不等式化为0<10-ax<a10-a<ax<10不等式恒有解 故满足条件a的范围是(0,1)∪(1,10)‎ 三、解答题 ‎13、(Ⅰ)设.‎ 对称轴方程,‎ 由题意或或.‎ ‎∴或或,‎ ‎∴ .‎ ‎(Ⅱ)由已知与(Ⅰ)得:,,‎ ‎,,.‎ 椭圆的标准方程为. ‎ 设,,‎ 联立 得,‎ 又,‎ 因为椭圆的右顶点为,‎ ‎,即,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎.‎ 解得:‎ ‎,,且均满足,‎ 当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾;‎ 当时,的方程为,直线过定点.‎ 所以,直线过定点,定点坐标为.‎ ‎14、 解:(Ⅰ)设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c,‎ ‎∵,∴,由正弦定理有,‎ 又由余弦定理有,∴,即,‎ 所以为Rt,且. ‎ ‎①‎ ‎②‎ 又 ‎①÷②,得 令a=4k, b=3k (k>0)‎ 则,∴三边长分别为3,4,5.‎ ‎(Ⅱ)以C为坐标原点,射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系,则A、B坐标为(3,0),(0,4),直线AB方程为 设P点坐标为(x, y),则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1, d2和d3可知 ‎,且故 令,由线性规划知识可知0≤m≤8,故d1+d2+d3的取值范围是 ‎15、解:(Ⅰ)连接交于点,连接.‎ ‎ 在中,因为分别为中点,则.‎ ‎ 因为平面,平面,则平面.‎ ‎ (Ⅱ)法一:由题知点到平面的距离即点到平面的距离,‎ B A C E A1‎ B1‎ C1‎ H G 是正三棱柱,平面,‎ ‎ 平面,平面平面,‎ ‎ 过点作于点,则平面,‎ ‎ 即点到平面的距离. ‎ 在△中,=,,,由面积相等可得=.‎ 点到平面的距离为.‎ 法二:设点到平面的距离为h,在△中,=,,.‎ ‎,,‎ 点到平面的距离为.‎ 法三:取中点,连接,‎ B A C E A1‎ B1‎ C1‎ x z y G 以为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示 则,‎ 则.‎ 设平面的法向量为,‎ 则即,令,则,即.‎ 设点到平面的距离为,则,‎ 点到平面的距离为.‎ ‎ (Ⅲ)法一:过作于,由三垂线定理得,‎ 故∠为二面角的平面角. ‎ 当AA1=‎2a,AB=b,则,‎ ‎  在△中,.‎ ‎ 解得b=‎2a,‎ ‎ 当时,二面角的正弦值为.‎ ‎ 法二:设,取中点,连接,‎ ‎ 以为坐标原点建立空间直角坐标系,如右图所示 B A C E A1‎ B1‎ C1‎ x z y G ‎ ‎ 则,‎ ‎ 则.‎ ‎ 设平面的法向量为,平面的法向量为,‎ ‎ 则有,,即, ‎ ‎ 设,则,‎ ‎ .‎ ‎ ,解得a=1.‎ ‎ 即当时,二面角的正弦值为.‎
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