- 2021-06-11 发布 |
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文档介绍
二OO八年潜山中学高中数学竞赛试题
二OO八年潜山中学高中数学竞赛试题 一、选择题 1、在直三棱柱中。已知与E分别为和的中点,D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)。若,则线段DF长度的取值范围为( ) A. B. C. D. 2、在1~50这50个自然数中,任取三个不同的数,其中能组成公比为正整数的等比数列的概率是( ) A. B. C. D. 3、椭圆的左准线为,左右焦点分别为。抛物线的准线为,焦点是,与的一个交点为,则的值为( ) 、 、 、4 、8 4、三棱锥中,顶点在平面ABC的射影为,满足,点在侧面上的射影是的垂心,,则此三棱锥体积的最大值为( ) A、 36 B、 48 C、 54 D、 72 5、设有反函数,将的图象向左平移2个单位,再关于x轴对称后所得函数的反函数是( ) A. B. C. D. 6、函数的值域为( ) 二、填空题 7、过椭圆的右焦点作一条倾角为的直线交椭圆于A、B两点,若满足,则椭圆的离心率为 8、已知实数a,b均不为零,,且,则等于_______ 9、设,其中,若定义,则集合{ |}的元素个数是___________ 10、设是偶函数,,若含有10个元素,则的取值范围是 11、已知函数f(x)= ,若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 12、若不等式1-loga<0有解,则实数a的范围是 . 三、解答题 13、如图,椭圆:,、、、为椭圆的顶点.(Ⅰ)设点,若当且仅当椭圆上的点在椭圆的顶点时, 取得最大值与最小值,求的取值范围; (Ⅱ)若椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为,且与直线相交于,两点(不是椭圆的左右顶点),并满足.试研究:直线是否过定点?若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由. 14、在中,已,又的面积等于6. (Ⅰ)求的三边之长; (Ⅱ)设P是(含边界)内一点,P到三边AB、BC、AB的距离为、和,求的取值范围. 15、 B A C E A1 B1 C1 如图,正三棱柱中,是中点. (Ⅰ)求证://平面; (Ⅱ)若,求点到平面的距离; (Ⅲ)当为何值时,二面角E—BC1—C的正弦值为? 以下是答案 一、选择题 1、A 2、A 3、B 4、A 5、A 解:设上有点 左移2 关于x轴对称取反函数 , 代入得 , 6、答:. 解:的定义域为则,令,则 因,则 . 二、填空题 7、 8、 9、11 10、 11、作出函数f(x)的图象,要使斜率为1的直线与y=f(x),有两个不同的交点,必须a<1, 12、当a>1时,不等式化为10-ax>a,要使不等式有解,必须10-a>0 ∴1<a<10 当0<a<1时,不等式化为0<10-ax<a10-a<ax<10不等式恒有解 故满足条件a的范围是(0,1)∪(1,10) 三、解答题 13、(Ⅰ)设. 对称轴方程, 由题意或或. ∴或或, ∴ . (Ⅱ)由已知与(Ⅰ)得:,, ,,. 椭圆的标准方程为. 设,, 联立 得, 又, 因为椭圆的右顶点为, ,即, , , . 解得: ,,且均满足, 当时,的方程为,直线过定点,与已知矛盾; 当时,的方程为,直线过定点. 所以,直线过定点,定点坐标为. 14、 解:(Ⅰ)设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a, b, c, ∵,∴,由正弦定理有, 又由余弦定理有,∴,即, 所以为Rt,且. ① ② 又 ①÷②,得 令a=4k, b=3k (k>0) 则,∴三边长分别为3,4,5. (Ⅱ)以C为坐标原点,射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系,则A、B坐标为(3,0),(0,4),直线AB方程为 设P点坐标为(x, y),则由P到三边AB、BC、AB的距离为d1, d2和d3可知 ,且故 令,由线性规划知识可知0≤m≤8,故d1+d2+d3的取值范围是 15、解:(Ⅰ)连接交于点,连接. 在中,因为分别为中点,则. 因为平面,平面,则平面. (Ⅱ)法一:由题知点到平面的距离即点到平面的距离, B A C E A1 B1 C1 H G 是正三棱柱,平面, 平面,平面平面, 过点作于点,则平面, 即点到平面的距离. 在△中,=,,,由面积相等可得=. 点到平面的距离为. 法二:设点到平面的距离为h,在△中,=,,. ,, 点到平面的距离为. 法三:取中点,连接, B A C E A1 B1 C1 x z y G 以为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示 则, 则. 设平面的法向量为, 则即,令,则,即. 设点到平面的距离为,则, 点到平面的距离为. (Ⅲ)法一:过作于,由三垂线定理得, 故∠为二面角的平面角. 当AA1=2a,AB=b,则, 在△中,. 解得b=2a, 当时,二面角的正弦值为. 法二:设,取中点,连接, 以为坐标原点建立空间直角坐标系,如右图所示 B A C E A1 B1 C1 x z y G 则, 则. 设平面的法向量为,平面的法向量为, 则有,,即, 设,则, . ,解得a=1. 即当时,二面角的正弦值为.查看更多