【数学】2019届一轮复习北师大版1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案
1.全称量词与存在量词
(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.
(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.
2.全称命题与特称命题
(1)含有全称量词的命题叫全称命题.
(2)含有存在量词的命题叫特称命题.
3.命题的否定
(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.
(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.
4.简单的逻辑联结词
(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.
(2)简单复合命题的真值表：
p
q
綈p
綈q
p或q
p且q
真
真
假
假
真
真
真
假
假
真
真
假
假
真
真
假
真
假
假
假
真
真
假
假
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题p且q为假命题，则命题p、q都是假命题.( × )
(2)命题p和綈p不可能都是真命题.( √ )
(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p或q是真命题.( √ )
(4)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词.( × )
(5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词.( √ )
(6)存在x0∈M，p(x0)与任意x∈M，綈p(x)的真假性相反.( √ )
1.设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A.p为真 B.綈q为假
C.p且q为假 D.p或q为真
答案 C
解析 函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；x＝不是y＝cos x的对称轴，命题q为假命题，故p且q为假.故选C.
2.命题p：任意x∈R，sin x<1；命题q：存在x∈R，cos x≤－1，则下列结论是真命题的是( )
A.p且q B.綈p且q
C.p或綈q D.綈p且綈q
答案 B
解析 ∵p是假命题，q是真命题，
∴綈p且q是真命题.
3.(2015·浙江)命题“任意n∈N＋，f(n)∈N＋且f(n)≤n”的否定形式是( )
A.任意n∈N＋，f(n)∉N＋且f(n)＞n
B.任意n∈N＋，f(n)∉N＋或f(n)＞n
C.存在n0∈N＋，f(n0)∉N＋且f(n0)＞n0
D.存在n0∈N＋，f(n0)∉N＋或f(n0)＞n0
答案 D
解析 写全称命题的否定时，要把量词，任意改为存在，并且否定结论，注意把“且”改为“或”.故选D.
4.(2015·山东)若“任意x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.
答案 1
解析 ∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1.依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.
5.(教材改编)给出下列命题：
①任意x∈N，x3>x2；
②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；
③存在x0∈R，x－x0＋1≤0；
④存在一个四边形，它的对角线互相垂直.
则以上命题的否定中，真命题的序号为________.
答案 ①②③
题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断
例1 (1)已知命题p1：y＝ln[(1－x)·(1＋x)]为偶函数；命题p2：y＝ln 为奇函数，则下列命题是假命题的是( )
A.p1且p2 B.p1或(綈p2)
C.p1或p2 D.p1且(綈p2)
(2)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p且q；②p或q；③p且(綈q)；④(綈p)或q中，真命题是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
答案 (1)D (2)C
解析 (1)对于命题p1：令f(x)＝y＝ln[(1－x)(1＋x)]，由(1－x)(1＋x)>0得－1
y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题.
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题.
由真值表知：①p且q为假命题；②p或q为真命题；③p且(綈q)为真命题；④(綈p)或q为假命题.故选C.
思维升华 “p或q”“p且q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：
(1)确定命题的构成形式；
(2)判断其中命题p、q的真假；
(3)确定“p且q”“p或q”“綈p”等形式命题的真假.
(1)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )
A.p且q B.(綈p)且(綈q)
C.(綈p)且q D.p且(綈q)
(2)若命题p：关于x的不等式ax＋b>0的解集是{x|x>－}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集是{x|a0 B.任意x∈R，－10，故C错，故选D.
(2)根据幂函数的性质，对任意x∈(0，＋∞)，x>x，故命题p1是假命题；由于＝－＝，故对任意x∈(0,1)，，所以存在x0∈(0,1)，，命题p2是真命题；当x∈时，01”的否定是( )
A.对任意实数x，都有x>1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
(2)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：任意x∈A,2x∈B，则綈p为：______.
答案 (1)C (2)存在x0∈A,2x0∉B
解析 (1)利用特称命题的否定是全称命题求解，“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”.故选C.
(2)命题p：任意x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题.
∴綈p：存在x0∈A,2x0∉B.
思维升华 (1)判定全称命题“任意x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立.
(2)对全(特)称命题进行否定的方法
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词.
②对原命题的结论进行否定.
(1)下列命题中的真命题是( )
A.存在x∈R，使得sin x＋cos x＝
B.任意x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C.存在x∈(－∞，0)，2x<3x
D.任意x∈(0，π)，sin x>cos x
(2)(2015·课标全国Ⅰ)设命题p：存在n∈N，n2>2n，则綈p为( )
A.任意n∈N，n2>2n B.存在n∈N，n2≤2n
C.任意n∈N，n2≤2n D.存在n∈N，n2＝2n
答案 (1)B (2)C
解析 (1)因为sin x＋cos x＝sin(x＋)≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图像在y＝3x的图像上方，故C错误；因为x∈(0，)时有sin x2n”改为“n2≤2n”.
题型三 由命题的真假求参数的取值范围
例4 已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p或q为假命题，则实数m的取值范围为( )
A.m≥2 B.m≤－2
C.m≤－2或m≥2 D.－2≤m≤2
答案 A
解析 依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；
当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<0，－20，
∴m>2或m<－2.
由得0≤m≤2，
∴m的取值范围是[0,2].
思维升华 根据命题真假求参数的方法步骤
(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；
(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.
(1)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A.{a|a≤－2或a＝1}
B.{a|a≥1}
C.{a|a≤－2或1≤a≤2}
D.{a|－2≤a≤1}
(2)已知命题“存在x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－1,3)
C.(－3，＋∞) D.(－3,1)
答案 (1)A (2)B
解析 (1)∵“p且q”为真命题，∴p、q均为真命题，
∴p：a≤1，q：a≤－2或a≥1，
∴a≤－2或a＝1.
(2)依题意可知“任意x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4×2×<0，即(a＋1)(a－3)<0，解得－10 D.任意x∈R，x2≥0
答案 A
解析 因为任意x∈R，sin x≤1<，所以A是假命题；对于B，存在x＝2，log2x＝1；对于C，根据指数函数图像可知，任意x∈R，()x>0；对于D，根据二次函数图像可知，任意x∈R，x2≥0.
4.下列命题中的假命题是( )
A.任意x∈R,2x－1>0
B.任意x∈N＋，(x－1)2>0
C.存在x0∈R，lg x0<1
D.存在x0∈R，tan＝5
答案 B
解析 A项，∵x∈R，∴x－1∈R，由指数函数性质得2x－1>0；B项，∵x∈N＋，∴当x＝1时，(x－1)2＝0与(x－1)2>0矛盾；C项，当x0＝时，lg ＝－1<1；D项，当x∈R时，tan x∈R，∴存在x0∈R，tan＝5.
5.已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N＋).则下面选项中真命题是( )
A.(綈p)且(綈q) B.(綈p)或(綈q)
C.p或(綈q) D.p且q
答案 B
解析 当a＝1.1，x＝2时，
ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，
此时，ax0，由题意知，其为真命题，
则Δ＝(a－1)2－4×2×<0，
则－20，x0＋＝2，则綈p为( )
A.任意x>0，x＋＝2 B.任意x>0，x＋≠2
C.任意x>0，x＋≥2 D.存在x>0，x＋≠2
答案 B
解析 “存在”的否定为“任意”，“＝”的否定为“≠”.故选B.
8.已知命题p：存在m∈R，m＋1≤0，命题q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0.若“p且q”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A.(－∞，－2]∪(－1，＋∞)
B.[2，＋∞)
C.(－∞，－2]∪[2，＋∞)
D.[－2,2]
答案 A
解析 若“p且q”为假命题，则p，q中至少有一个是假命题，若命题p为真命题，则m≤－1，若q为真命题，则Δ＝m2－4<0，∴－2－1，故选A.
9.命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________________.
答案 任意x∈R，x2＋2x＋5≠0
解析 否定为全称命题：“任意x∈R，x2＋2x＋5≠0”.
10.若命题“存在x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________________.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
解析 因为命题“存在x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”等价于x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3.
11.已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是________.
答案 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)
解析 因为“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，<0，得20，解得x>1或x<－3，由解得x<－3或10.则命题“p且(綈q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”.其中正确结论的序号为________.
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p且(綈q)为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确，所以正确结论的序号为①③.
B组 专项能力提升
(时间：15分钟)
13.已知命题p：存在x∈R，x－2>lg x，命题q：任意x∈R，x2>0，则( )
A.p或q是假命题
B.p且q是真命题
C.p且(綈q)是真命题
D.p或(綈q)是假命题
答案 C
解析 ∵x＝10时，x－2＝8，lg 10＝1，x－2>lg x成立，∴命题p为真命题，又x2≥0，命题q为假命题，
∴p且(綈q)是真命题.
14.四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.4
答案 A
解析 ∵x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，
∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，
∴①为假命题.
当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.
对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.
4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，
∴④为假命题.
∴①②③④均为假命题.
15.下列结论正确的是( )
A.若p：存在x∈R，x2＋x＋1<0，则綈p：任意x∈R，x2＋x＋1<0
B.若p或q为真命题，则p且q也为真命题
C.“函数f(x)为奇函数”是“f(0)＝0”的充分不必要条件
D.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题
答案 D
解析 ∵x2＋x＋1<0的否定是x2＋x＋1≥0，∴A错；若p或q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴B错；f(x)为奇函数，但f(0)不一定有意义，∴C错；命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”，是真命题，D对.
16.已知命题p：“任意x∈R，存在m∈R,4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________.
答案 (－∞，1]
解析 若綈p是假命题，则p是真命题，
即关于x的方程4x－2·2x＋m＝0有实数解，
由于m＝－(4x－2·2x)＝－(2x－1)2＋1≤1，∴m≤1.
17.设p：方程x2＋2mx＋1＝0有两个不相等的正根；q：方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根.则使p或q为真，p且q为假的实数m的取值范围是________________________.
答案 (－∞，－2]∪[－1,3)
解析 设方程x2＋2mx＋1＝0的两根分别为x1，x2，
由得m<－1，
所以命题p为真时，m<－1.
由方程x2＋2(m－2)x－3m＋10＝0无实根，可知Δ2＝4(m－2)2－4(－3m＋10)<0，得－21；
④在△ABC中，若3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则角C等于30°或150°.
其中的真命题是________.
答案 ③
解析 对于①，y＝coscos＝cos 2x，相邻两个对称中心的距离为＝，①错；对于②，函数y＝的图像关于点(1,1)对称，②错；对于③，根据全称命题的否定，③很明显是对的；对于④，由3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，两式平方后相加得sin(A＋B)＝，则A＋B＝或，而3sin A＋4cos B＝6≤4＋3sin A，故sin A≥>，即A>，
∴A＋B＝，故C＝，④错.
