【数学】2018届一轮复习北师大版第01讲函数的定义域常见求法学案

【数学】2018届一轮复习北师大版第01讲函数的定义域常见求法学案

‎【知识要点】‎ 一、函数的定义域的定义 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.‎ 二、求函数的定义域的主要依据 ‎1、分式的分母不能为零.‎ ‎2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.‎ ‎3、指数函数的底数必须满足.‎ ‎ 4、对数函数的真数必须大于零，底数必须满足.‎ ‎5、零次幂的底数不能为零，即中.‎ ‎6、正切函数的定义域是.‎ ‎7、复合函数的定义域的求法 ‎（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.‎ ‎（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域.‎ ‎8、求函数的定义域 一般先分别求函数和函数的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域.‎ ‎9、求实际问题中函数的定义域 不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义.‎ 三、函数的定义域的表示 函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上是集合的一种特殊表示形式.‎ 四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.‎ 五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.‎ 研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带 方便.‎ ‎【方法讲评】 ‎ 方法一 直接法 使用情景 函数的结构比较简单.‎ 解题步骤 直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.‎ ‎ 【例1】求函数的定义域.‎ ‎ 【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域.‎ ‎ 【反馈检测1】求函数的定义域.‎ 方法二 求交法 使用情景 函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为型.‎ 解题步骤 一般先分别求函数和的定义域和,再求,就是函数的定义域.‎ ‎【例2】求函数+的定义域.‎ ‎【解析】由题得 所以函数的定义域为 ‎【点评】（1）求函数的定义域，一般先求和函数的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求的解集时，只需给参数赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学 ‎ ‎【例3】求函数 的定义域.‎ ‎【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.‎ ‎【例4】求函数的定义域.‎ ‎【解析】由题得 ‎ ‎【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数的取值范围，一般要分类讨论.‎ ‎【反馈检测2】求函数的定义域.‎ 方法三 抽象复合法 使用情景 涉及到抽象复合函数.‎ 解题步骤 利用抽象复合函数的性质解答：（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据求出函数的值域，即得原函数的定义域.‎ ‎ ‎ ‎【例5】求下列函数的定义域：‎ ‎（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；‎ ‎（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域；‎ ‎（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域.‎ ‎【点评】（1）已知原函数的定义域为，求复合函数的定义域：只需解不等式，不等式的解集即为所求函数的定义域.第1小题就是典型的例子.（2）已知复合函数的定义域为，求原函数的定义域：只需根据 求出函数的值域，即得原函数的定义域.第2小题就是典型的例子.（3）求函数的定义域，一般先分别求函数和函数的定义域和，再求，则就是所求函数的定义域.‎ ‎ 【反馈检测3】已知函数的定义域为，求函数的定义域.‎ ‎ ‎ ‎【反馈检测4】 若函数的定义域为，求函数的定义域.‎ 方法四 实际法 使用情景 数学问题是实际问题.‎ 解题步骤 先求函数的自变量的取值范围，再考虑自变量的实际限制条件，最后把前面两者的范围求交集，即得函数的定义域.‎ ‎【例6】用长为的铁丝编成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图所示）.若矩形底边长为，求此框架围成的面积与关于的函数解析式，并求出它的定义域.‎ ‎【解析】如图，‎ ‎【点评】（1）求实际问题中函数的定义域，不仅要考虑解析式本身有意义，还要保证满足实际意义.（2）该题中在考虑实际意义时，必须保证解答过程中的每一个变量都有意义，即，不能遗漏.‎ ‎【反馈检测5】 一个圆柱形容器的底部直径是,高是.现在以的速度向容器内注入某种溶液.求容器内溶液的高度关于注入溶液的时间的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第01讲：‎ 函数定义域的常见求法参考答案 ‎【反馈检测1答案】‎ ‎【反馈检测1详细解析】由题得 所以.‎ ‎【反馈检测2答案】当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为.‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】由题得，所以函数的定义域为.‎ ‎【反馈检测4答案】‎ ‎【反馈检测4详细解析】依题意知： 解之得 ∴　的定义域为 ‎【反馈检测5答案】函数解析式为,函数的定义域为{|0≤≤}，值域为{|0≤≤}.‎ ‎【反馈检测5详细解析】向容器内注入溶液经历时间为秒后,容器中溶液的高度为.故秒后溶液的体积为＝底面积×高＝π2＝ 解之得：＝又因为0≤x≤h ‎ 即0≤≤h 0≤t≤，故函数的定义域为{|0≤≤}，值域为{|0≤≤}.‎