- 2021-06-11 发布 |
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文档介绍
高中数学好题速递400题（101—150）
好题速递101 1．在和中，是的中点，，，，若，则与的夹角余弦值为 。 解法一：，则 因为，， 所以 所以 所以，所以 解法二：设 则 又因为为中线，所以，即 所以 在中， 2．一个口袋里装着一个红球、一个黄球、一个蓝球、一个白球，这些小球除了颜色之外，没有区别，从中一次性摸出2个球。若摸得红球记3分，摸得黄球记2分，摸得蓝球记1分，摸得白球得0分，则得分和至少为4分的概率是 。 解：得分和至少为4分的情况为摸出红和黄或摸出红和蓝，故 好题速递102 1．将正方形的四个角（四个全等的小等腰直角三角形）分别沿其底边向同侧折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形的12条棱所在的直线中，共有异面直线 对。 解：可以将空间图形放回正方体内，问题就转化为8条侧面对角线与底面4条棱所在直线组成几对异面直线。 以对角线为一条，共有三条对角线异面，共有对 还有两条底边棱异面，共有对 所以共有28对。 2．某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰，3架飞机；俄方有5艘军舰，2架飞机。从中俄两方中各选2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个单位，所有的飞机和军舰都是不同的），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 种． 解： 好题速递103 1．正，，，，则满足条件的正边长的最大值是 ． 解：，解得 ，解得 所以 故 2．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且仅有两个偶数相邻，则这样的六位数共有 个． 解：288个 好题速递104 1．已知函数是上的奇函数，且在区间上单调递增，。设，集合，集合，则 。 解析：易得，，所以或 由此 所以 即，恒成立 即，即 令，则对恒成立 所以 令，所以 所以 2．有四名志愿者到三个景点服务，每个景点至少1名大学生，则甲乙两名志愿者被分到不同景点的情况有 种． 解： 好题速递105 1．如图，已知正方体的棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面的距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是 。 【解析】依题意知点到点的距离与点直线的距离相等，所以点的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线。作于，则最小时最小。 再由解析几何可得，所以最小值为22，即 2．某教师一天上3个班级的课，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有 种． 解： 好题速递106 1．在平面直角坐标系中有两点，以原点为圆心，以为半径作圆，与射线交于点，与轴正半轴交于点，则当变化时，的最小值为 。 解：设 所以 问题等价于点与轴上的点连线段长的和最短 作，则 当且仅当时，取得最小值。 2．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 （用数值作答）． 解： 好题速递107 1．在中，，，是内部一点，且满足，则 。 解：由得 又 故 设，则，， 故在中由正弦定理得， 在中由正弦定理得， 所以，解得 所以 所以 2．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是 。 解： 好题速递108 1．已知实数满足，且，则的最小值为 。 解：令，，则， 当且仅当，即，即时取得等号。 选题理由：在解决不等式问题时，如果出现分母里的字母较多较复杂时，不妨考虑先换元使得分母简单，更容易看清题目考查的本质。这里其实是以往我们非常熟悉的一次和与倒数和的不等式应用，只是将等式转化为不等式，注重考查了等号能否取到的问题。 同类题：已知正数满足，则的最小值为 。 解：令，，则，所以 故 问题转化为分式函数求值域的问题。 易得当，即时， 2．从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小于k(其中kÎ{5, 6, 7, 8, 9})的概率是，则k= ． 解：，解得 好题速递109 1．在直角坐标系中，若直线与曲线有四个交点，则实数的取值范围是 。 解：是偶函数，故只需画出时的图象，，再关于轴对称作出整个图象 易求得与相切时， 斜率 故由图可知时，恰有四个交点。 选题理由：遇到一个未知函数时，一定要充分利用奇偶性和单调性画出函数图象。考试中遇到的函数图象往往是几段能画的图象拼接而成，画好图象是解决函数问题的王道！ 2．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周五、周六、周日三天中任选一天参加公益活动，则每天都有同学参加公益活动的概率是_________。 解： 好题速递110 1．设是定义在上的函数，对任意的，恒有成立，，若在上单调递增，且，则的取值范围是 。 解：令，得 又因为在上单调递增，故在上也单调递增， 又是奇函数，故在上单调递增， 得 所以 所以，得 2．已知且，则复数对应点在第二象限的概率为 。（用最简分数表示） 解： 好题速递111 1．已知，若，使得，则实数的取值范围是 。 解：要使命题成立需满足，函数在上是增函数，所以，函数在上是减函数，所以，所以。 2．一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票： 窗口 6排A座 6排B座 6排C座 走廊 6排D座 6排E座 窗口 其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有__________种。 解：30 好题速递112 1．若实数满足，则的最大值是 。 解：令， 则， 问题转变求为圆弧上一点到原点的距离的平方减3的最大值 故 2．设集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为 。（用数字作答） 解：十个字母中有个字母是，有个字母是0， 故有 好题速递113 1．在平面直角坐标系中，定义点、之间的“直角距离”为，若到、的“直角距离”相等，其中实数满足，则所有满足条件的的轨迹的长度之和为 ． 解： 先以为分类指标，当时，，无解 当时，，无解 当时， 再以为分类指标，若，则，线段长度为1； 若，则，线段长度为； 若，则，线段长度为4； 故的轨迹的长度之和为 2．用数字“”组成一个四位数，则数字“”都出现的四位偶数有 个。 解：7 好题速递114 1．在平面直角坐标系中，圆，圆，过轴负半轴上一点作圆的切线，与圆O相切于点A，与圆分别相交于点，若，则点的坐标为 。 解：设，连结，并作， 则， 在中，有 所以 解得，所以 又，所以，即，所以，所以 2．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 。 解：，所以 即，解得 好题速递115 1．如图，为的外心，，，为钝角，是边的中点，则的值为 ． 解：因为 所以 2．袋子中装有大小、材质都相同的2个绿球、3个白球共5个小球．随机从袋子中一次性摸取2个小球，规定摸到1个绿球得2分、1个白球得1分．问摸取2个小球的得分之和为几分的概率是最大的？试通过计算给出回答． 解：摸取个小球的得分之和可能出现三种情况，依次记其发生的事件分别为． 事件表明摸取的个小球都为白球，其概率； 事件表明摸取的个小球为个白球个绿球，其概率； 事件表明摸取的个小球为个绿球，其概率． 通过以上的计算结果可以知道： 摸取个小球的得分之和为分的概率是最大的． 评注：注意一下大题的书写方式。 好题速递116 1．已知中，角的对边满足，则的最大值是 ． 解： 即，且为钝角，为锐角 由余弦定理得 锐角在区间上递减，故当时，则 2．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 解： 好题速递117 1．已知为锐角，且，则的最大值是 ． 解法一： 即 当且仅当时取得等号。 解法二：由得 即 即 当且仅当，即时取得等号。 2．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 。 解： 好题速递118 1．已知函数对任意都有，则实数的取值范围是 。 解：这里如果直接代入去解很繁琐，所以进行一次换元有效简化计算。 令，， 则问题转化为对恒成立 代入后化简得 所以对恒成立或对恒成立 即或 2．在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，则甲、乙两人分到同一社区的概率为 。 解： 好题速递119 1．在三棱锥中，，，，，则直线与所成角的余弦值是 。 解：将三棱锥放入到长方体内， 长方体的高，，，，， 故在中， 2．如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”。例如，年份2014的各位数字之和为7，恰为“七巧年”。那么从2000年到2999年中“七巧年”共有 年。 解：21 好题速递120 1．已知，则的最大值为 。 解：设，由此可知，越大，抛物线顶点越低，由于，如图所示，当抛物线过点时， 2．两个三口（父母及一个小孩）之家共同游览黄山，需乘坐两辆不同的缆车，每辆缆车最多只能乘坐4人，但两个小孩不能单独乘坐同一辆缆车，则不同的乘坐方法共有 种。 解： 好题速递121 1．在中，若，则的最大值为 。 解： 即，则 2．现有4人去旅游，旅游地点有A、B两个地方可以选择。但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地； （1）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率； （2）求这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率。 解：依题意，这4个人中，每个人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为 设“这4个人中恰有人去A地旅游”为事件 ∴ （1）这4个人中恰有1人去A地游戏的概率为 （2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则， 好题速递122 1．已知，，且的最小值为 。 解：的周期为8，图象关于点中心对称，图象也关于点中心对称，故要最小，在轴右侧最靠近轴的四个点 2．将3个不相同的黑球和3个相同白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数，数到最末一个球，黑球的个数大于或等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现有效排列的概率为 。 解：“有效数列”要求从后往前数，黑球数目总是大于或等于白球的个数，有如下五种模式 ○○○●●●； ○○●○●●； ○●○○●●；以上三种是后两位都是黑球 ○●○●○●； ○○●●○●；以上两种是后三位黑白黑（罗列要有规律） 故概率为 评注：在求概率的时候所有的相同不同的球一律视为不同，从而保证基本事件等概率。 好题速递123 1．自平面上点引两条射线，，点分别在射线，上，且（点与点不重合），且，则的取值范围是 。 解：设，则， 2．一个不透明的袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分混合后，现从中任意摸出3个球，则至少得到１个白球的概率是 （用数值作答）． 解： 好题速递124 1．若的内角满足，则的最小值是 。 解：由得，即 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2．用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…,9的9个小正方形（如图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂的颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 。 解：求n(W)： 第一步：涂1、5、9，有3种方法； 第二步：涂2、6、3， 类①，2、6同色：涂2、6，有2种(如1涂红，则2、6可黄黄或蓝蓝)， 涂3，有2种(3与2不同色，但可与1同色).故有2´2=4种； 类②，2、6不同色：涂2、6，有2种(如1涂红，则2、6可黄蓝或蓝黄)， 涂3，只有1种(只能与1同色).故有2种； 第二步：涂4、8、7，与涂2、6、3一样，有4+2=6种. 故共有n(W)=3´6´6=108. 求n(A)： 把“1、3、5、7、9”看作一块，“2、4、6、8”看作另一块，用3种颜色涂这2块， ∴n(A)=，∴. 好题速递125 1．设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设且，则双曲线离心率的取值范围 。 解：设左焦点为，令，，则 所以，即 因为，所以 所以 即 又因为 于是得 因为，所以 故 故 2．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是 . 解： 好题速递126 1．已知函数，若存在，使得函数有三个零点，则实数的取值范围是 。 解： 若，对称轴时，在上递增 若，对称轴时，在上递增 所以当时，在上递增，则函数不可能有三个零点，故只需考虑的情况 画出的大致图象知，要使得函数有三个零点，只能 即，即存在，使得即可 令，只要使即可，而 故 2．如图，沿田字型的路线从往走，且只能向右或向下走， 随机地选一种走法，则经过点的概率是 ． 解： 好题速递127 1．已知是空间相互垂直的单位向量，且，则的最小值是 。 解法一：由知在方向上的投影为1，在方向上的投影为2， 是在组成的平面内的任意向量，表示空间向量的终点到平面上任一点的距离，最小值就是连线垂直于平面时，即 解法二： 2．从集合中随机选取一个数记为m，从集合中随机选取一个数记为n，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率为 ． 解： 好题速递128 1．已知函数，若关于的方程有五个不同实根，则的值是 。 解：画出的图象，可知当时，有3个根，把代入，得或 当时，方程有5个根，当时，或，此时有7个根，舍去。 2．袋子中装有大小、材质都相同的2个绿球、3个白球共5个小球．随机从袋子中一次性摸取2个小球，规定摸到1个绿球得2分、1个白球得1分．问摸取2个小球的得分之和为几分的概率是最大的？试通过计算给出回答． 解：摸取个小球的得分之和可能出现三种情况，依次记其发生的事件分别为 ．………………1分 事件表明摸取的个小球都为白球，其概率；…………2分 事件表明摸取的个小球为个白球个绿球，其概率……3分 事件表明摸取的个小球为个绿球，其概率．……4分 通过以上的计算结果可以知道： 摸取个小球的得分之和为分的概率是最大的．………5分 好题速递129 1．已知三棱锥的侧面底面，侧棱，且，如图平面，以直线为轴旋转三棱锥，记该三棱锥在平面上的俯视图面积为，则的取值范围是 。 解：因为侧面底面， 所以在旋转过程中等边在底面上的射影总在侧面与平面的交线上，且长度范围是 由已知可推得 所以 2．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是 。 解： 好题速递130 1．已知非零向量的夹角为，，，则的取值范围是 。 解：由与 两式平方相加和相减得和 ，得 2．（1）的展开式中常数项为240，则的展开式中项的系数为 。 （2）2015年5月12日，尼泊尔再次发生强烈地震，世界各国纷纷派出搜救队员参与到尼泊尔的抗震救灾中。现要从7名中国籍搜救队员，4名非中国籍搜救队员中选5名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，求这5名队员中至少有2名非中国籍队员的概率。 解：（1） （2） 好题速递131 1．函数，，若对，，，则的最大值为 。 解：， 若使对，，成立首先需使且 且线段与曲线无交点 由得无正根 （i）若，即时，要求， 解得，即 （ii）若时，满足，恒成立 综上， 故要使对，，成立只需，画出可行域可得 2．（1）若复数与其共轭复数满足，，则 。 （2）若函数的图象总在图象的上方，求实数的取值集合。 解：（1）2 （2）对且恒成立， 故或 令，……，得 好题速递132 1．已知，若的最大值是，则关于的不等式的解集是 。 解：令，则 所以 当时， 当时， 当时， ，解得或 2．（1）设，复数满足：且（其中 为虚数单位），求． （2）已知是函数的一个极值点，图像经过点．设在其图像上不同两点处的切线分别为．当时，求证为定值． （1）解：由得． 再由得. 解得． （2）解：由得． 由是函数的一个极值点知． 又由图像经过点得． 所以．． 由得． 化为．由于，得． 所以当时，为定值． 好题速递133 1．如图，一条隧道的截面由一个长方形和抛物线构成，现欲在隧道抛物线拱顶上安装监控探头，若位置对隧道底的张角最大时，采集效果最好，则采集效果最好时位置到的距离是 。 解：以抛物线顶点为原点建系，则抛物线方程为， 设，则 且 所以两式相除得 当且仅当时，即到的距离为m时，取得 2．（1）某校周四下午第三、四两节是选修课时间，现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课，丙、丁教师各自最多可以开设一节课。现要求第三、四两节课中每节课恰有两位教师开课（不考虑教师所开课的班级和内容），则不同的开课方案共有 种。 解：若只有甲乙两人开课，他们两人每人开设两节，只有一种方案； 若甲乙两人开课，丙丁中有一人开课，则有种方案； 若甲乙两人中有一人开课，丙丁两人均开课，有种方案； 若甲乙丙丁四人全部开课，每人一节，有种方案； 故共有19种 （2）若二项式展开式中含有常数项，则的最小取值是 。 解：7 好题速递134 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则双曲线的离心率为 。 解：如图所示，标出两个焦点三角形各边的长度，是的中点，则在中，利用勾股定理得 所以 即 2．（1）将二项式的展开式按的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中的指数是整数的项共有 个。 （2）无重复数字的五位数a1a2a3a4a5 ， 当a1查看更多