【数学】2018届一轮复习苏教版I2-5指数与指数函数教案(江苏专用)

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【数学】2018届一轮复习苏教版I2-5指数与指数函数教案(江苏专用)

‎2.5 指数与指数函数 ‎1.分数指数幂 ‎(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是= (a>0,m,n∈N*,且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,我们规定=(a>0,m,n∈N*,且n>1).0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.‎ ‎(2)有理数指数幂的运算性质:asat=as+t,(as)t=ast,(ab)t=atbt,其中s,t∈Q,a>0,b>0.‎ ‎2.指数函数的图象与性质 y=ax a>1‎ ‎00时,y>1;‎ 当x<0时,00时,01‎ ‎(6)在(-∞,+∞)上是增函数 ‎(7)在(-∞,+∞)上是减函数 ‎【知识拓展】‎ ‎1.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1,).‎ ‎2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大. ‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)=()n=a.( × )‎ ‎(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.( × )‎ ‎(3)==.( × )‎ ‎(4)函数y=a-x是R上的增函数.( × )‎ ‎(5)函数y=(a>1)的值域是(0,+∞).( × )‎ ‎(6)函数y=2x-1是指数函数.( × )‎ ‎1.(教材改编)若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点P(2,),则f(-1)=________.‎ 答案  解析 由题意知=a2,所以a=,‎ 所以f(x)=()x,所以f(-1)=()-1=.‎ ‎2.(2016·苏州模拟)已知函数f(x)=ax-2+2的图象恒过定点A,则A的坐标为________.‎ 答案 (2,3)‎ 解析 由a0=1知,当x-2=0,即x=2时,f(2)=3,即图象必过定点(2,3).‎ ‎3.已知则a,b,c的大小关系是______________.‎ 答案 cb>1,‎ 又c=<()0=1,‎ ‎∴cf(x+1);‎ 当x=log2时,f(x)=f(x+1);‎ 当x>log2时,f(x)b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是______.‎ 答案 [,2)‎ 解析 函数的图象如图所示.因为a>b≥0,f(a)=f(b),所以0.5≤b<1且1.5≤f(a)<2.所以0.75≤bf(a)<2.‎ 题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 指数函数单调性的应用 例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________.‎ ‎①1.72.5>1.73; ②0.6-1>0.62;‎ ‎③0.8-0.1>1.250.2; ④1.70.3<0.93.1.‎ ‎(2)设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是________.‎ 答案 (1)② (2)(-3,1)‎ 解析 (1)②中,∵y=0.6x是减函数,‎ ‎∴0.6-1>0.62.‎ ‎(2)当a<0时,不等式f(a)<1可化为()a-7<1,‎ 即()a<8,即()a<()-3,‎ 所以a>-3.又a<0,∴-30,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值是14,则a的值为________.‎ 答案 (1) (2)或3‎ 解析 (1)因为x∈[-3,2],‎ 所以若令t=x,则t∈,‎ 故y=t2-t+1=2+.‎ 当t=时,ymin=;当t=8时,ymax=57.‎ 故所求函数的值域为.‎ ‎(2)令ax=t,则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1‎ ‎=(t+1)2-2.‎ 当a>1时,因为x∈[-1,1],所以t∈[,a],又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,‎ 所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(负值舍去).‎ 当00,a≠1)在区间[-,0]上有最大值3,最小值, 则a,b的值分别为________.‎ 错解展示 解析 令t=x2+2x=(x+1)2-1,‎ ‎∵-≤x≤0,∴-1≤t≤0.‎ ‎∵≤at≤1,∴b+≤b+at≤b+1,‎ 由得 答案 2,2‎ 现场纠错 解析 令t=x2+2x=(x+1)2-1,‎ ‎∵x∈[-,0],∴t∈[-1,0].‎ ‎①若a>1,函数f(x)=at在[-1,0]上为增函数,‎ ‎∴at∈[,1],∈[b+,b+1],‎ 依题意得解得 ‎②若0b>c 解析 由0.2<0.8,底数0.4<1知,y=0.4x在R上为减函数,所以0.40.2>0.40.8,即b>c.‎ 又a=40.2>40=1,b=0.40.2<1,‎ 所以a>b,综上,a>b>c.‎ ‎4.函数y=的值域是__________.‎ 答案 [0,4)‎ 解析 因为4x>0,所以16-4x<16.‎ 又因为16-4x≥0,所以0≤16-4x<16,‎ 即0≤<4,即y∈[0,4).‎ ‎5.(2015·山东改编)若函数f(x)=是奇函数,则使f(x)>3成立的x的取值范围为__________.‎ 答案 (0,1)‎ 解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),‎ 即=-,整理得(a-1)(2x+1)=0,‎ ‎∴a=1,∴f(x)>3即为>3,‎ 当x>0时,2x-1>0,∴2x+1>3·2x-3,解得0()x+4的解集为________.‎ 答案 (-1,4)‎ 解析 原不等式等价为>2-x-4,‎ 又函数y=2x为增函数,∴-x2+2x>-x-4,‎ 即x2-3x-4<0,∴-10且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是________.‎ 答案 (0,)‎ 解析 (数形结合法)‎ 由图象可知0<2a<1,∴00,试证明函数f(x)在R上是增函数;‎ ‎(3)当a=1时,求函数y=f(x),x∈(-1,3]的值域.‎ ‎(1)解 函数f(x)=2ax+2对任意实数都有意义,所以定义域为实数集R.‎ ‎(2)证明 任取x1,x2∈R,且x10,得ax1+20,‎ 等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解.‎ 记g(m)=2am2-m-1,‎ 当a=0时,解为m=-1<0,不成立.‎ 当a<0时,开口向下,对称轴m=<0,‎ 过点(0,-1),不成立.‎ 当a>0时,开口向上,对称轴m=>0,‎ 过点(0,-1),必有一个根为正,所以a>0.‎ ‎14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f(x)=+m,m是实常数.‎ ‎(1)当m=1时,写出函数f(x)的值域;‎ ‎(2)当m=0时,判断函数f(x)的奇偶性,并给出证明;‎ ‎(3)若f(x)是奇函数,不等式f(f(x))+f(a)<0有解,求a的取值范围.‎ 解 (1)当m=1时,f(x)=+1,定义域为R,‎ ‎3x+1∈(1,+∞),则∈(0,2),‎ 所以f(x)=+1∈(1,3),‎ 即当m=1时,函数f(x)的值域为(1,3).‎ ‎(2)当m=0时,f(x)为非奇非偶函数.‎ 证明如下 :当m=0时,f(x)=,f(1)==,‎ f(-1)==,‎ 因为f(-1)≠f(1),所以f(x)不是偶函数;‎ 又因为f(-1)≠-f(1),‎ 所以f(x)不是奇函数.‎ 故f(x)为非奇非偶函数.‎ ‎(3)因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)恒成立,‎ 即+m=--m对x∈R恒成立,‎ 化简整理得-2m=+,即-2m=2,‎ 所以m=-1.‎ 下面用定义法研究f(x)=-1的单调性.‎ 任取x1,x2∈R且x1f(x2),‎ 所以函数f(x)在R上单调递减.‎ 所以f(f(x))+f(a)<0有解,且函数f(x)为奇函数,‎ 所以f(f(x))<-f(a)=f(-a),又因为函数f(x)在R上单调递减,所以f(x)>-a有解,又易求函数f(x)=-1的值域为(-1,1),所以-a<1,即a>-1.‎
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