安徽省马鞍山市第二中学2020届高三阶段性素质测试数学（文）试题

安徽省马鞍山市第二中学2020届高三阶段性素质测试数学（文）试题

马鞍山二中2020届高三第二次阶段性素质测试 数学（文科）试卷 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集，，则等于（ ）‎ A. R B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用补集定义直接求解．‎ ‎【详解】解：全集，集合，‎ 集合．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎2.命题：，则命题为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 命题为:,选C.‎ 点睛：(1)对全称(存在性)命题进行否定两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“”是真命题，需要对集合中的每个元素，证明 成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合中的一个特殊值，使不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个，使成立即可，否则就是假命题.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 本题主要考查的是三角函数中的奇次求值问题．由条件可知，又，所以，代入得，应选D．‎ ‎4.已知，，，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为所以选C．‎ 考点：比较大小 ‎5.某几何体的三视图如何所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的三视图，画出几何体的直观图，代入棱锥体积公式，可得答案．‎ ‎【详解】解：由已知中的三视图，可得几何体的直观图如下图所示：‎ 它有四棱锥与三棱锥组成，‎ 故体积，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查知识点是棱锥的体积，简单几何体的三视图，属于中档题．‎ ‎6.直线与圆位置关系是（ ）‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D.‎ ‎ 相交但不过圆心 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由圆的标准方程找出圆心坐标和圆的半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，比较与的大小可得出直线与圆的位置关系即可得到正确的选项．‎ ‎【详解】解：由圆的方程，化成标准式为得到圆心坐标为，半径，‎ 圆心到直线的距离，‎ 直线与圆的位置关系是相交但不过圆心．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及点与直线的位置关系，直线与圆的位置关系可以用与的大小来判断：当时，直线与圆相加；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离．‎ ‎7.若定义域为R的函数在上为增函数，且函数为偶函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用函数的奇偶性求出，再利用单调性判断函数值的大小．‎ ‎【详解】解：为偶函数，‎ 令，得，‎ 又知在上为增函数，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】此题主要考查偶函数的图象性质：关于轴对称及函数的图象中平移变换，属于中档题．‎ ‎8.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极小值 D. 函数在处取得极大值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增；‎ 所以函数单调递减区间为，递增区间为，‎ 且函数在和取得极小值，在取得极大值，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导函数与原函数 关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9.在正方体中，E为棱中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连结，则，从而是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】解：连结，‎ 在正方体中，为棱的中点，‎ ‎，‎ 是异面直线与所成角（或所成角的补角），‎ 设正方体中棱长为2，‎ 则，，，‎ ‎，‎ 异面直线与所成角的余弦值为：‎ ‎．‎ 故异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．‎ ‎10.若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 9 C. 10 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得，直线过圆心，即，，利用基本不等式求出其最小值．‎ ‎【详解】解：‎ 由题意，直线始终平分圆，所以直线过圆心，‎ 即，所以，．‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查直线和圆相交的性质，基本不等式的应用，解题的突破口是判断直线过圆心，解题的关键是利用．‎ ‎11.已知圆，圆，分别为圆 上的点，为轴上的动点，则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求得的最小值，得到答案．‎ ‎【详解】如图所示，圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1，‎ 圆的圆心坐标为,，半径为3，‎ 由图象可知，当三点共线时，取得最小值，‎ 且的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径之和，‎ 即，‎ 故选D．‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12.函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出．‎ ‎【详解】解：令，，‎ ‎，‎ ‎，恒成立，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 函数在上单调递增，‎ ‎，即，；‎ 令，，‎ ‎，‎ ‎，恒成立，‎ ‎，‎ 函数在上单调递减，‎ ‎，即，，‎ 综上可得 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.函数的最大值为________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用两角和公式对函数解析式化简，进而利用正弦函数的性质求得答案．‎ ‎【详解】解：‎ 函数的最大值为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角和公式的化简求值，正弦函数的单调性，三角函数的最值．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．‎ ‎14.已知实数x，y满足方程.则的最大值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当直线与圆相切时，取得最值，利用切线的性质求出；‎ ‎【详解】解：设圆，即．‎ 设，则当直线与圆相切时，直线斜率最大或最小，即最大或最小．‎ 如图所示：‎ 设直线与圆切于第一象限内的点，则，，，‎ ‎，‎ 由图象的对称性可知当与圆相切于第四象限内时，．‎ 的最大值为，最小值为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查直线的斜率公式，点到直线的距离公式的应用，直线和圆相切的性质，属于中档题．‎ ‎15.已知球面上有四个点A，B，C，D，球心为点O，O在CD上，若三棱锥的体积的最大值为，则该球O的表面积为____．‎ ‎【答案】16π ‎【解析】‎ 由题意知，为该球的直径，由此易知，当顶点在底面的射影为球心时，且底面为等腰直角三角形时，三棱锥体积最大，所以，解得，故所求球的表面积为.‎ 点睛：此题主要考查了简单组合体的体积、表面积的计算，以及空间想象能力等有关方面的知识与能力，属于中高档题型，也是常考题型.此题中需要对三棱锥的体积在约定的条件下，什么情况出现最大值作出判断，那当然是底面积最大且高最长时出现最大值，而由条件已知底面三角形中一边为球的直径，因此当该三角形的高为半径时面积最大，又当三棱锥的高亦为半径时，所求三棱锥的体积最大，从而问题可得解.‎ ‎16.已知函数，若关于x的方程恰有2个不同的实数解，实数m的值为___________________.‎ ‎【答案】或且 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的导数，可得单调区间和极值，作出的图象，设，关于的方程，即为，解得，再由图象可得的方程，解得．‎ ‎【详解】解：函数的导数为，‎ 当时，，递增；‎ 当，，递减，‎ 可得在处取得极大值，‎ 作出的图象，‎ 设，‎ 关于的方程，‎ 即为，‎ 解得或，‎ 当时，即存在一个实根；‎ 要使恰有2个不同的实数解 即关于的方程的另一个根或且 解得或且 故答案为：或且．‎ ‎【点睛】本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知圆，直线．‎ ‎（1）当直线与圆相切，求的值；‎ ‎（2）当直线与圆相交于 两点，且时，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) (2) 或.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把一般方程配成圆的标准方程，求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离为半径得到关于的方程，解出即可．（2）先利用几何性质由弦长得到圆心距为，再利用点到直线距离公式得到关于的方程，解出即可．‎ 解析：圆化成标准方程为，则此圆的圆心为，半径为.‎ ‎（1）当直线与圆相切，则有 ，解得 ‎（2）过圆心作于，则根据题意和圆的性质， ，，解得或，故所求直线方程为或. ‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期 ‎（2）将函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将得到的图像向右平移个单位长度，得到函数图像，求的单减区间.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角和差的正弦公式及辅助角公式化简函数解析式，再利用周期公式求得其最小正周期.‎ ‎（2）按照三角函数的变换规则求出的解析式，再结合正弦函数的单调性求单调区间.‎ ‎【详解】解：（1）‎ ‎（2）将函数的图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得，再将的图像向右平移个单位长度，得 即，要求其单调递减区间，令.‎ 解得 即的单调递减区间为 ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，函数的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．‎ ‎19.如图所示，在中，，，平面，M是上一个动点，，为定值.求证：‎ ‎（1）平面平面 ‎（2）当取得最小值时，求的值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平面可得，又可证平面，即可得证.‎ ‎（2）在中，由于为定值，要使取最小值，即是使取最小值，当且仅当时，取得最小值，即可求出的值.‎ ‎【详解】解：（1）∵平面 ‎∴‎ 由题意可知，‎ ‎∵.平面，平面.‎ ‎∴ 平面 又平面.‎ ‎∴平面平面 ‎（2）∵，为定值 ‎∴当取得最小值时，即取得最小值 即当时，取得最小值 由题意可知，当时，，.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的判定，属于基础题.‎ ‎20.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．‎ ‎（）求角的大小．‎ ‎（）若，且，求的面积．‎ ‎【答案】（）;（）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（）由正余弦定理化简可得角得大小；（）由，根据正弦定理化简，求出，即可求出得面积.‎ 试题解析：（）在中，由，‎ 由余弦定理：，‎ 可得：．‎ 由正弦定理：，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎（）由，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 根据正弦定理，可得，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎21.在三棱柱中，侧面为菱形，且侧面底面，，，，，分别为，中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）若，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取中点为，连结，，证明四边形为平行四边形，得即可证明；（2）连，，证明底面，转化 求解即可 ‎【详解】（1）取中点为，连结，.‎ ‎∵，，为，，的中点，∴，.‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ 又∵平面 平面，∴平面 ‎（2）连，‎ ‎∵，且为中点，∴.‎ 又且，∴平面. ∴.‎ ‎∴.‎ 又∵四边形为菱形，∴且.‎ ‎∵侧面底面，∴底面.‎ 由（1）知平面.‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定，三棱锥的体积计算，考查空间想象及推理能力，注意等体积转化的应用，是中档题 ‎22.设，.‎ ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)当时，设恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)，解，<0得单调区间；(2)不等式恒成立转化为,，利用零点存在定理得，结合的单调性确定其最小值为,解不等式即可 ‎【详解】(1).，当时，，递增，‎ 当时，，递减．‎ 故的单调递增区间为，单调递减区间为．‎ ‎(2).，‎ ‎，‎ 因为设的根为，即有，可得，当时，，递减，当时，，递增 所以 ‎,令单增；单减，又故的解为 ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调区间及最值，利用导数研究不等式恒成立，转化思想，零点存在定理的应用，考查计算能力，是中档题 ‎ ‎