2018届二轮复习（文）　解析几何专题六第2讲学案（全国通用）

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第2讲　椭圆、双曲线、抛物线 ‎1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)．‎ ‎2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．‎ 热点一　圆锥曲线的定义与标准方程 ‎1．圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．‎ ‎(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.‎ ‎2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”‎ 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．‎ 例1　(1)(2017·湛江模拟)已知双曲线－＝1(a>0)的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则a等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D. 答案　A 解析　抛物线y2＝8x的焦点为F，在双曲线－＝1(a>0)中， c＝2，c2＝4，b2＝3，所以a2＝c2－b2＝4－3＝1, 所以a＝1，故选A.‎ ‎(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　)‎ A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x 答案　C 解析　如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D ‎，设＝a，则由已知得＝2a，由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中， ∵＝|AF|＝3，‎ ＝3＋3a，∴2＝，即3＋3a＝6，从而得a＝1，＝3a＝3.‎ ‎∴p＝＝＝，‎ 因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.‎ 思维升华　(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．‎ ‎(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．‎ 跟踪演练1　(1)(2017届沈阳市东北育才学校模拟)已知双曲线与椭圆＋＝1的焦点相同，且它们的离心率的乘积等于，则此双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　B 解析　由题意得c＝4，×＝⇒a＝2，∴b2＝12.又双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的方程为－＝1，故选B.‎ ‎(2)△ABC的两个顶点为A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则C点轨迹方程为(　　)‎ A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0)‎ C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0)‎ 答案　D 解析　∵△ABC的两顶点A(－4,0)，B(4,0)，周长为18，∴|AB|＝8，|BC|＋|AC|＝10.∵10>8，∴点C到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝8，即a＝5，c＝4，∴b＝3.∴C点的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．故选D.‎ 热点二　圆锥曲线的几何性质 ‎1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 ‎(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ .‎ ‎(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.‎ ‎2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．‎ 例2　(1)(2017·全国Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0)，半径为a.又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，‎ 所以圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，‎ 所以＝ .‎ 所以e＝＝＝ ＝ ＝.‎ 故选A.‎ ‎(2)(2017届百校大联考全国名校联盟联考)过双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与E的渐近线交于B，C两点，若＋2＝0，则双曲线E的渐近线方程为 (　　)‎ A．y＝±x B．y＝±4x C．y＝±x D．y＝±2x 答案　D 解析　直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于点B，直线l：y＝－x＋a与渐近线l2：bx＋ay＝0交于点C，A.因为＋2＝0，所以＝3，所以－a＝3，‎ 所以b＝2a.‎ 所以双曲线E的渐近线方程为y＝±2x，故选D.‎ 思维升华　(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．‎ ‎(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．‎ 跟踪演练2　(1)(2017届株洲一模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1为左焦点，A为右顶点， B1，B2分别为上、下顶点，若F1，A，B1，B2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由题设圆的半径r＝，则b2＋2＝2，即a2－c2＝ac⇒e2＋e－1＝0，解得e＝，故选B.‎ ‎(2)已知双曲线C: －＝1(a>0, b>0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M, N两点，若＝c，则双曲线C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±4x 答案　B 解析　由题意可设渐近线方程为y＝x，则直线l的斜率kl＝－，直线方程为y＝－，‎ 整理可得ax＋by－a2＝0.‎ 焦点到直线的距离 d＝＝，‎ 则弦长为2＝2＝c，‎ 整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，‎ 即e4－9e2＋12e－4＝0，‎ 分解因式得＝0.‎ 又双曲线的离心率e>1，则e＝＝2，‎ 所以＝ ＝ ＝，‎ 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.‎ 故选B.‎ 热点三　直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 ‎(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．‎ ‎(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．‎ 例3　如图，已知P为椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的点，且a2＋b2＝5.过点P的动直线与圆F：x2＋y2＝a2＋1相交于A，B两点，过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q.‎ ‎(1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)若|AB|＝2，求|PQ|.‎ 解　(1)依题意知，＋＝1，a2＋b2＝5，a>b>0，‎ 解得a2＝3，b2＝2，‎ 所以椭圆E的离心率e＝ ＝ ＝.‎ ‎(2)依题意知圆F的圆心为原点，半径r＝2，＝2，‎ 所以原点到直线AB的距离为 d＝＝ ＝1，‎ 因为点P的坐标为，所以直线AB的斜率存在，设为k.‎ 所以直线AB的方程为y－1＝k，‎ 即kx－y－k＋1＝0，‎ 所以d＝＝1，解得k＝0或k＝2.‎ ‎①当k＝0时，此时直线PQ的方程为x＝，‎ 所以的值为点P的纵坐标的两倍，‎ 即＝2×1＝2；‎ ‎②当k＝2时，直线PQ的方程为 y－1＝－，‎ 将它代入椭圆E的方程＋＝1，‎ 消去y并整理，得34x2－10x－21＝0，‎ 设Q点坐标为，所以＋x1＝，‎ 解得x1＝－，‎ 所以＝ ＝.‎ 思维升华　解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．‎ 跟踪演练3　(2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上， ＝，过点F1的直线l与椭圆C分别交于M，N两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程及离心率；‎ ‎(2)若△OMN的面积为，O为坐标原点，求直线l的方程．‎ 解　(1)由题意得 解得a＝，b＝，c＝1，‎ 故所求椭圆的方程为＋＝1，离心率为e＝＝.‎ ‎(2)当直线MN与x轴垂直时， ＝，‎ 此时S△MON＝不符合题意，舍去；‎ 当直线MN与x轴不垂直时，‎ 设直线MN的方程为y＝k，‎ 由 ‎ 消去y得x2＋6k2x＋3k2－6＝0.‎ 设M，N，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ 所以＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ 原点O到直线MN的距离为d＝，‎ 所以三角形的面积S△OMN＝d ‎＝××，‎ 由S△OMN＝，得k2＝3，故k＝±，‎ 所以直线l的方程为y＝或y＝－.‎ 真题体验 ‎1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为________．‎ 答案　2‎ 解析　设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，‎ 圆的圆心为(2,0)，半径为2，‎ 由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为＝.‎ 由点到直线的距离公式，得＝，‎ 解得b2＝3a2.‎ 所以双曲线C的离心率e＝＝＝＝2.‎ ‎2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________．‎ 答案　2 解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x ‎＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．‎ 联立方程组 解得或 ‎∵点M在x轴的上方，∴M(3,2)．‎ ‎∵MN⊥l，∴N(－1,2)．‎ ‎∴|NF|＝＝4，‎ ‎|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.‎ ‎∴△MNF是边长为4的等边三角形．‎ ‎∴点M到直线NF的距离为2.‎ ‎3．(2017·全国Ⅲ)双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.‎ 答案　5‎ 解析　∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.‎ ‎4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py (p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ 答案　y＝±x 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，‎ ‎∴y1＋y2＝.‎ 又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，‎ ‎∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，‎ ‎∴＝p，即＝，∴＝，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 押题预测 ‎1．(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且＝，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 押题依据　圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．‎ 答案　A 解析　由F2到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即＝b，则＝3b.‎ 在△AF2O中， ＝c，tan∠F2OA＝， tan∠AOB＝＝，化简可得a2＝2b2，即c2＝a2＋b2＝a2，即e＝＝，故选A.‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在该椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．‎ 押题依据　椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．‎ 解　(1)由题意可得e＝＝，‎ 又a2＝b2＋c2，‎ 所以b2＝a2.‎ 因为椭圆C经过点，‎ 所以＋＝1，‎ 解得a＝2，所以b2＝3，‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，‎ 由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，‎ 显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝，y1y2＝－，‎ 所以|y1－y2|＝ ‎＝＝，‎ 所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝，‎ 化简得18t4－t2－17＝0，‎ 即(18t2＋17)(t2－1)＝0，‎ 解得t＝1，t＝－(舍去)．‎ 又圆O的半径r＝＝，‎ 所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.‎ A组　专题通关 ‎1．(2017·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－y2＝1 D．x2－＝1‎ 答案　D 解析　根据题意画出草图如图所示 .‎ 由△AOF是边长为2的等边三角形，得∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.‎ 又点A在双曲线的渐近线y＝x上，∴＝tan 60°＝.‎ 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，‎ ‎∴双曲线的方程为x2－＝1.‎ 故选D.‎ ‎2．(2017届汕头模拟)若椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为(　　)‎ A．36 B．16‎ C．20 D．24‎ 答案　B 解析　设＝n，则m2＋n2＝4＝80，即2－2mn＝80.又m＋n＝2×6＝12，∴mn＝32，S△PF1F2＝mn＝16，故选B.‎ ‎3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，则直线l的斜率为(　　)‎ A．± B．±1‎ C．± D．± 答案　C 解析　由题意知直线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为y＝k，点A，B，‎ 线段AB的中点为M.‎ 由得k2x2－x＋k2＝0，‎ 所以x1＋x2＝.‎ 又因为弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5，所以＋＝＋1＝5，‎ 所以x1＋x2＝＝8，解得k2＝，‎ 所以k＝±，故选C.‎ ‎4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图， F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2的直线与双曲线C交于A，B两点，若∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B．3‎ C. D．2‎ 答案　A 解析　设＝3x，＝5x，所以△ABF1是直角三角形．因为＝2a，所以＋2a＝4x＋2a, ＝x＋2a.又＝2a，即5x－x－2a＝2a，解得x＝a，又2＋2＝4c2，即2＋2＝4c2，即2＋2＝4c2，解得＝13，即e＝，故选A.‎ ‎5．(2017·全国Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.‎ 答案　6‎ 解析　如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，‎ ‎∴PM∥OF.‎ 由题意知，F(2,0)，‎ ‎|FO|＝|AO|＝2.‎ ‎∵点M为FN的中点，PM∥OF，‎ ‎∴|MP|＝|FO|＝1.‎ 又|BP|＝|AO|＝2，‎ ‎∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.‎ 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，‎ 故|FN|＝2|MF|＝6.‎ ‎6．(2017届浙江省嘉兴市第一中学适应性考试)若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍，则双曲线的离心率为________，如果双曲线上存在一点P到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，则双曲线的虚轴长为________．‎ 答案　2　4 解析　由右焦点到渐近线的距离等于焦距的倍可知，双曲线的渐近线y＝x的倾斜角为，即＝，所以e＝＝＝2.因为a＝2，从而b＝a＝2，‎ 所以虚轴长为4.‎ ‎7．(2017·泉州质检)椭圆C：＋y2＝1(a>1)的离心率为， F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则的最大值为______．‎ 答案　7‎ 解析　因为离心率为，所以＝⇒a＝2，‎ 由椭圆定义得＋＋＝4a＝8，‎ 即＋＝8－.‎ 而由焦点弦性质知，当AB⊥x轴时，取最小值2×＝1，因此的最大值为8－1＝7.‎ ‎8．一动圆与圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________．‎ 答案　＋＝1‎ 解析　两定圆的圆心和半径分别是O1(－3,0)，r1＝1；‎ O2(3,0)，r2＝9.‎ 设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件，‎ 可得|MO1|＝R＋1，|O2M|＝9－R.‎ ‎∴|MO1|＋|MO2|＝10>|O1O2|＝6.‎ 由椭圆的定义知，点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，‎ 且2a＝10,2c＝6，∴b2＝16.‎ ‎∴动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.‎ ‎9．(2017届唐山模拟)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)经过点M，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆Γ的方程；‎ ‎(2)设点M在x轴上的射影为点N，过点N的直线l与椭圆Γ相交于A, B两点，且＋3＝0，求直线l的方程．‎ 解　(1)由已知可得＋＝1, ＝，‎ 解得a＝2, b＝1，‎ 所以椭圆Γ的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由已知N的坐标为，‎ 当直线l斜率为0时，直线l为x轴，易知＋3＝0不成立．‎ 当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为x＝my＋，‎ 代入＋y2＝1，整理得y2＋2my－1＝0，‎ 设A， B，则 y1＋y2＝， ①‎ y1y2＝， ②‎ 由＋3＝0，得y2＝－3y1， ③‎ 由①②③解得m＝±.‎ 所以直线l的方程为x＝±y＋，‎ 即y＝±.‎ ‎10.如图所示，抛物线y2＝4x的焦点为F，动点T(－1，m)，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.‎ ‎(1)证明：线段NT平行于x轴(或在x轴上)；‎ ‎(2)若m＞0且|NF|＝|TF|，求m的值及点N的坐标．‎ ‎(1)证明　易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，动点T(－1，m)在准线上，则kTF＝－.‎ 当m＝0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然线段NT在x轴上．‎ 当m≠0时，由条件知kPQ＝，‎ 所以直线PQ的方程为y＝(x－1)，‎ 联立 得x2－(2＋m2)x＋1＝0，‎ Δ＝[－(2＋m2)]2－4＝m2(4＋m2)＞0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 可知x1＋x2＝2＋m2，y1＋y2＝(x1＋x2－2)＝2m.‎ 所以弦PQ的中点N，又T(－1，m)，‎ 所以kNT＝0，则NT平行于x轴．‎ 综上可知，线段NT平行于x轴(或在x轴上)．‎ ‎(2)解　已知|NF|＝|TF|，‎ 在△TFN中，tan∠NTF＝＝1⇒∠NTF＝45°，‎ 设A是准线与x轴的交点，则△TFA是等腰直角三角形，所以|TA|＝|AF|＝2，‎ 又动点T(－1，m)，其中m＞0，则m＝2.‎ 因为∠NTF＝45°，所以kPQ＝tan 45°＝1，‎ 又焦点F(1,0)，可得直线PQ的方程为y＝x－1.‎ 由m＝2，得T(－1,2)，由(1)知线段NT平行于x轴，‎ 设N(x0，y0)，则y0＝2，代入y＝x－1，得x0＝3，‎ 所以N(3,2)．‎ B组　能力提高 ‎11.(2017·长沙市长郡中学模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH, AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为(　　)‎ A．圆的部分 B．椭圆的部分 C．双曲线的部分 D．抛物线的部分 答案　D 解析　如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于半长轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.‎ ‎12．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F，离心率为，过点F的动直线交M于A, B两点，若x轴上的点P使得∠APO＝∠BPO总成立(O为坐标原点)，则t等于(　　)‎ A．－2 B．2 C．－ D. 答案　B 解析　在椭圆中c＝1, e＝＝，得a＝，b＝1，故椭圆的方程为＋y2＝1.设A， B，由题意可知，当直线斜率不存在时， t可以为任意实数；当直线斜率存在时，可设直线方程为y＝k，联立方程组 得x2－4k2x＋2k2－2＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝， x1x2＝，‎ 使得∠APO＝∠BPO总成立，即使得PF为∠APB的角平分线，‎ 即直线PA和PB的斜率之和为0，‎ 即＋＝0， ①‎ 由y1＝k(x1－1), y2＝k，‎ 代入①整理得2x1x2－＋2t＝0，‎ 由根与系数的关系，可得－＋2t＝0，‎ 化简可得t＝2，故选B.‎ ‎13．(2017·武汉调研)已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.‎ 答案　2 解析　方法一　特殊化，设MN⊥x轴，则＝＝＝，2＝4, ＝＝2.‎ 方法二　由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，‎ 则MN方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 联立方程 整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.‎ 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ 则|MN|＝· ‎＝.‎ 直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，‎ 则解得x2＝，y2＝，‎ 则|OP|2＝x2＋y2＝，又|PQ|＝2|OP|，‎ 所以|PQ|2＝4|OP|2＝，∴＝2.‎ ‎14．(2017·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为.‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.‎ ‎①求直线FP的斜率；‎ ‎②求椭圆的方程．‎ 解　(1)设椭圆的离心率为e.‎ 由已知可得(c＋a)c＝.‎ 又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，‎ 即2e2＋e－1＝0，解得e＝－1或e＝.‎ 又因为00)，则直线FP的斜率为.‎ 由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，‎ 即x＋2y－2c＝0.与直线FP的方程联立，‎ 可得x＝，y＝，‎ 即点Q的坐标为.‎ 由已知|FQ|＝，‎ 有2＋2＝2，‎ 整理得3m2－4m＝0，所以m＝(m＝0舍去)，‎ 即直线FP的斜率为.‎ ‎②由a＝2c，可得b＝c，‎ 故椭圆方程可以表示为＋＝1.‎ 由①得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0，与椭圆方程联立得 消去y，整理得7x2＋6cx－13c2＝0，‎ 解得x＝－(舍去)或x＝c.因此可得点P，‎ 进而可得|FP|＝ ＝，‎ 所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝－＝c.‎ 由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.‎ 因为QN⊥FP，‎ 所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝×＝，‎ 所以△FQN的面积为|FQ||QN|＝.‎ 同理△FPM的面积等于.‎ 由四边形PQNM的面积为3c，得－＝3c，‎ 整理得c2＝2c.又由c>0，得c＝2.‎ 所以椭圆的方程为＋＝1.‎