宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2020届高三上学期第四次月考数学（文）试卷

宁夏银川市兴庆区长庆高级中学2020届高三上学期第四次月考数学（文）试卷

数 学（文 科）‎ 页数：共2页 满分：150分 答题时间：120分钟 命题人：张欣 ‎ 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ ‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 1. 若集合，，则 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 若角满足,,则角是（ ）‎ A. 第三象限角 B. 第四象限角 C. 第三象限角或第四象限角 D. 第二象限角或第四象限角 ‎3.已知向量，的夹角为，，，则(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 等差数列的前项和为，且，，则 (　　)‎ A. 56 B. 42 C. 35 D. 30‎ ‎5. 某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆)，‎ 则该几何体的表面积为(　　)‎ A． ‎ B． ‎ C． D． ‎ ‎6. 已知直线是曲线的一条切线，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 已知数列满足递推关系：，,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：‎ ‎(1)与平行；(2)与是异面直线；‎ ‎(3)与成；(4)与垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是(　　)‎ A． (3)(4) B． (2)(4) C． (3) D．(1)(2)(3) ‎ ‎9. 已知实数，满足，则的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.在三棱锥中，已知，，点，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 在中，，分别为内角，，所对的边，若，，则的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ 13. 设函数满足，则___________．‎ 14. 正方体的内切球与外接球的半径之比为___________． ‎ 15. 已知向量，，若与垂直，则实数__________． ‎ 16. 在数列中，已知其前项和为，则__________．‎ ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分 17. ‎（本题12分）已知在中，，分别为内角，，所对的边，若，角是最小的内角，且．‎ ‎（1）求的值； （2）若，求的值．‎ 18. ‎（本题12分）如图(a)，在直角梯形中，，∥，，，将沿折起，使平面⊥平面，得到几何体，如图(b)所示．‎ （1） 求证：⊥平面； ‎ ‎（2）求几何体的体积．‎ 13. ‎（本题12分）如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，,且∥.‎ ‎（1）证明：∥平面；‎ ‎（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积。‎ 14. ‎（本题12分）设数列的前项和为，且，，∥． （1）求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和．‎ 15. ‎（本题12分）已知函数 (是自然对数的底数)．‎ ‎（1）若函数在上单调递减，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，记，其中为的导函数；证明：对任意，．‎ ‎ （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．‎ 13. ‎（本题10分）[选修:极坐标与参数方程]‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求．‎ 14. ‎（本题10分）[选修:不等式选讲]‎ 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围.‎ BBCCA DCADD CD 13. ‎-1 14. 15. -1 16. ‎ ‎17.解：（Ⅰ）由且，‎ 由正弦定理得：，‎ 即，‎ 由于，整理可得，‎ 又，所以．‎ ‎（Ⅱ）因为角是最小的内角，所以，‎ 又由（Ⅰ）知，所以，‎ 由余弦定理得，即．‎ ‎18.(1)证明　在图中，可得AC＝BC＝2，‎ 从而AC2＋BC2＝AB2，‎ 故AC⊥BC，‎ 又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，‎ ‎∴BC⊥平面ACD.‎ ‎(2)解　由(1)可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，‎ ‎∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，‎ 由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.‎ ‎19.证明：取AB中点M，连OM,EM,‎ 因为EF//BC,EF=BC,且侧面ABCD是正方形，所以EF//OM,EF=OM.所以四边形EFOM是平行四边形，所以OF//EM,又EM平面ABE，OF平面ABE，所以0F//平面ABE. ...... 5分 ‎(2)取AD的中点G,BC的中点H,连接GH,FG,FH。‎ ADAB,所以AD底面ABE.则EF=3,AE=BE=,‎ 因为M为AB中点，EA=EB,所以EMAB,EM底面ABCD，从而FO平面ABC 又FO=EM=3,则 所以 ........... 12分.‎ ‎20. 证明 , , ,, 数列是以1为首项,以2为公比的等比数列 解：由可知, , , , 由错位相减得, ．  ‎ ‎21.解：（1）由得, ,由得.令,则令的,当 时, ,递减;当时, ,递增. 则的取值范围取值范围是 ‎（2）当时, ,令,所以令得.因此当时, ,单调递增;当时, ,单调递减. .即又时, 故),则,即对任意,‎ ‎22.解：（Ⅰ）由直线的参数方程为，消去参数，可得直线的方程为，由曲线的极坐标方程，根据，曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）将（参数），代入1，得，‎ 设所对应的参数分别为，则，‎ 则．‎ ‎23.解：（1），‎ ‎①当时，，由，解得；‎ ‎②当时，，由，解得；‎ ‎③当时，，由，解得.‎ 综上或.‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以函数在区间单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以函数的最小值.‎ 由题意得有解，‎ 所以有解.‎ 设，‎ 则.‎ 所以.‎ 故实数的取值范围是.‎