数学卷·2018届江苏省南京中华中学、南京九中、溧水高级中学高三10月联考（2017

数学卷·2018届江苏省南京中华中学、南京九中、溧水高级中学高三10月联考（2017

‎2018届高三年级10月学情调研 数学Ⅰ 参考公式：‎ 圆柱的体积公式：=Sh，其中S是圆柱的底面积，h为高.‎ 圆锥的体积公式：=Sh，其中S是圆锥的底面积，h为高.‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1. 若集合,则　　　　. ‎ ‎2. 设复数满足 (为虚数单位),则=　　　　. ‎ ‎3. 某单位有职工52人,现将所有职工按1,2,3,…,52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号、32号、45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是　　　　. ‎ ‎4. 运行如图所示的程序框图,输出的=　　　　.  ‎ ‎(第4题)‎ ‎5. 若函数的图象关于点中心对称,则=　　　　. ‎ ‎6. 如图,在长方体中,，则三棱锥的体积为　　　　cm3. ‎ ‎(第6题)‎ ‎7. 从这四个数字中一次随机取两个数字,若用这两个数字组成无重复数字的两位数,则所得两位数为偶数的概率是　　　　. ‎ ‎8. 已知等差数列的公差为,且成等比数列,则=　　　　. ‎ ‎9. 在平面直角坐标系xOy中,双曲线E:的左顶点为A,过双曲线E的右焦点F作与实轴垂直的直线交双曲线E于B,C两点.若△ABC为直角三角形,则双曲线E的离心率为　　　　. ‎ ‎10. 已知,则的解集是　　　　. ‎ ‎11. 已知变量满足约束条件表示平面区域M.若时,动直线所经过的平面区域M的面积为,则=　　　　.  ‎ ‎12. 在平面直角坐标系中,圆C:分别交轴正半轴及轴负半轴于两点,点为圆C上任意一点,则的最大值为　　　　. ‎ ‎13. 如图所示,矩形的一边在轴上,另两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为,矩形的周长记为,则　　　　. ‎ ‎　(第13题)‎ ‎14. 设为函数图象上一动点,记,‎ 则的最小值为　　　　. ‎ 二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15. (本小题满分14分)已知，均为锐角,且,.‎ ‎(1) 求的值;(2) 求的值. ‎ ‎16. (本小题满分14分)在三棱锥中,平面,，点是边的中点,点是线段上一点,且,点是线段上一点.‎ ‎(第16题)‎ ‎(1) 求证:‎ ‎(2) 若平面,求证:∥平面.‎ ‎17. (本小题满分14分)如图,已知椭圆的右顶点为，点在椭圆上(为椭圆的离心率).‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 若点 (在第一象限)都在椭圆上,满足,且,求实数的值.‎ ‎(第17题)‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图,助跑道ABC是一段抛物线,某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处,飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内),D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系,x轴在地面上,助跑道一端点A(0,4),另一端点C(3,1),点B(2,0),单位:m.‎ ‎(1) 求助跑道所在的抛物线方程;‎ ‎(2) 若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线,为使运动员安全和空中姿态优美,要求运动员的飞行距离在4m到6m之间(包括4m和6m),试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围?‎ ‎(注:飞行距离指点C与点E的水平距离,即这两点横坐标差的绝对值)‎ ‎　(第18题)‎ ‎19．（本小题满分16分）已知数列中 (为非零常数),其前项和满足 ().‎ ‎(1) 求数列的通项公式;‎ ‎(2) 若,且,求的值;‎ ‎(3) 是否存在实数，使得对任意正整数,数列中满足的最大项恰为第项?若存在,分别求出与的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.（本小题满分16分）已知函数 ‎(1) 当时,求函数的极大值;‎ ‎(2) 求函数的单调区间;‎ ‎(3) 当时,设函数,若实数满足,且,求证:.‎ ‎2018届高三年级10月学情调研数学 第Ⅰ卷参考答案及评分标准 ‎1.[0,1]　【解析】因为M=[-1,1],N=[0,2],所以M∩N=[0,1].‎ ‎2.1　【解析】因为z==-i,所以|z|=1.‎ ‎3.19　【解析】系统抽样号码呈等距性,即成等差数列.‎ ‎4.17　【解析】由算法可知S=2×7+3=17.‎ ‎5　【解析】由题意知3sin2×+φ=0,则φ+=kπ(k∈Z),φ=kπ-(k∈Z).又0<φ<π,所以φ=.‎ ‎6.3　【解析】==××2×3×3=3.‎ ‎7.　【解析】无重复数字的两位数有10,12,13,20,21,23,30,31,32,共9个.其中偶数有10,12,20,30,32,共5个.故所求概率为.‎ ‎8.-30　【解析】由题意知a3=a1-4,a4=a1-6,又a1,a3,a4成等比数列,‎ 所以=a1·a4,即(a1-4)2=a1(a1-6),解得a1=8,所以a20=a1+19d=8-19×2=-30.‎ ‎9.2　【解析】由题意知∠BAC=90°,所以AF=BF,AF=c+a.由F(c,0),‎ 知B,所以BF=,所以c+a=,即ac+a2=b2=c2-a2,‎ 所以c2-ac-2a2=0,所以--2=0,即e2-e-2=0,解得e=2.‎ ‎11.　【解析】f(x)=x|x+1|=如图,由f),‎ 所以m=+=+=+=6++.‎ 由x>,得x2-3>0,x-1>0.‎ 由基本不等式可知m≥6+2=8,当且仅当=,‎ 即x=2时“=”成立.‎ ‎15.（1）因为为锐角且，所以，，‎ 又因为， --------- 分 ‎(2) 因为为锐角且，所以，‎ 又 ‎ --------------14分 ‎16.(1) 因为AB=AC,D是BC的中点,‎ 所以AD⊥BC.‎ ‎⇒⇒‎ ‎⇒BC⊥AM.(7分)‎ ‎(2) 因为AM⊥平面SBC,‎ 所以AM⊥SD.‎ 令AB=a,BC=3a,则AD=a,SD=a,AM=a,MD=a,所以SM=4MD.‎ ‎⇒⇒EM∥平面ABS.(14分)‎ ‎17.(1) 由已知,a=2,e=,代入椭圆方程,得+=1.(2分)‎ 因为b2+c2=4,所以b2=1,c2=3,‎ 所以椭圆的方程为+y2=1.(4分)‎ ‎(2) 设直线OC的斜率为k,‎ 则直线OC的方程为y=kx,‎ 代入椭圆方程+y2=1,即x2+4y2=4,得(1+4k2)x2=4,所以xC=,‎ 则C.(6分)‎ 又直线AB的方程为y=k(x-2),代入椭圆方程x2+4y2=4,‎ 得(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0.因为xA=2,所以xB=,‎ 则B.(8分)‎ 因为·=0,‎ 所以·+·=0,所以k2=.‎ 因为点C在第一象限,所以k>0,k=.(10分)‎ 因为=,==,‎ 由=λ,得λ=.(12分)‎ 因为k=,所以λ=.(14分)‎ ‎18.(1) 设助跑道所在的抛物线方程为f(x)=a0x2+b0x+c0,‎ 依题意(2分)‎ 解得a0=1,b0=-4,c0=4, (4分)‎ 所以助跑道所在的抛物线方程为f(x)=x2-4x+4.(6分)‎ ‎(2) 设飞行轨迹所在抛物线为g(x)=ax2+bx+c(a<0),　‎ 依题意得解得(8分)‎ 所以g(x)=ax2+(2-6a)x+9a-5‎ ‎ =a+1-.‎ 令g(x)=1,得=.‎ 因为a<0,所以x=-=3-.(10分)‎ 当x=时,g(x)有最大值为1-,则运动员的飞行距离d=3--3=-,(12分)‎ 飞行过程中距离平台最大高度h=1--1=-,依题意,4≤-≤6,得2≤-≤3, (14分)‎ 答：飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2m到3m之间.(16分)‎ ‎19.(1) 由已知得a1=S1==0,所以Sn=,(2分)‎ 则有Sn+1=,‎ 所以2(Sn+1-Sn)=(n+1)an+1-nan,‎ 即(n-1)an+1=nan,n∈N*,‎ 所以nan+2=(n+1)an+1,‎ 两式相减,得2an+1=an+2+an,n∈N*,(4分)‎ 即an+1-an+1=an+1-an,n∈N*,‎ 故数列{an}是等差数列.‎ 又a1=0,a2=a,所以an=(n-1)a.(6分)‎ ‎(2) 若a=2,则an=2(n-1),‎ 所以Sn=n(n-1).‎ 由-Sn=11,得n2-n+11=(m-1)2,‎ 即4(m-1)2-(2n-1)2=43,所以(2m+2n-3)(2m-2n-1)=43.(8分)‎ 因为43是质数,2m+2n-3>2m-2n-1,2m+2n-3>0,‎ 所以 解得m=12,n=11.(10分)‎ ‎(3) 假设存在满足题意的a,b,由an+b≤p,得a(n-1)+b≤p.‎ 若a<0,则n≥+1,不合题意,舍去;(12分)‎ 若a>0,则n≤+1.因为不等式an+b≤p成立的最大正整数解为3p-2,‎ 所以3p-2≤+1<3p-1,(14分)‎ 即2a-b<(3a-1)p≤3a-b对任意正整数p都成立.所以3a-1=0,即a=,‎ 此时,-b<0≤1-b,解得-时,由f'(x)=0,得x1=,x2=.‎ Ⅰ) 若-x2>0,‎ 由f'(x)<0,得0x1;由f'(x)>0,得x20,则x1>0>x2,‎ 由f'(x)<0,得x>x1;由f'(x)>0,得01).‎ 由g=g(a),得=|ln(a-1)|.‎ 因为12.(12分)‎ 由g(b)=2g,得|ln(b-1)|=2=2.(*)‎ 因为≥=1,所以(*)式可化为ln(b-1)=2ln[(a-1)+(b-1)],‎ 即b-1=.(14分)‎ 令b-1=t(t>1),则t=,整理得t4-4t3+2t2+1=0,从而(t-1)(t3-3t2-t-1)=0,即t3-3t2-t-1=0.‎ 记h(t)=t3-3t2-t-1,t>1.h'(t)=3t2-6t-1,令h'(t)=0,得t=1-(舍去)或t=1+.‎ 列表:‎ t h'(t)‎ ‎-‎ ‎+‎ h(t)‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以h(t)在上单调递减,在上单调递增.又因为h(3)<0,h(4)>0,所以3|==.(6分)‎ ‎(2) 设平面A1B1D的一个法向量为m=(a,b,c),=(2,0,0).因为m·=a+2b-3c=0,m·=4a=0,‎ 所以a=0,2b=3c.令c=2,得b=3.所以m=(0,3,2).(8分)‎ 设二面角B1A1DC1的大小为α,‎ 所以|cosα|=-|cos|=-‎ ‎=-‎ ‎=-=-.‎ 钝二面角B1A1DC1的余弦值为(10分)‎