【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第九章平面解析几何9-6双曲线定义学案
1.双曲线定义
平面内到两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双
曲线,两个定点 F1,F2 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
集合 P={M||MF1-MF2|=2a},F1F2=2c,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0.
(1)当 2a
F1F2 时,P 点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2
a2
-y2
b2
=1
(a>0,b>0)
y2
a2
-x2
b2
=1
(a>0,b>0)
图形
性
质
范围 x≥a 或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a
对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a)
渐近线 y=±b
ax y=±a
bx
离心率 e=c
a
,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长 A1A2=2a;线段 B1B2 叫做双曲
线的虚轴,它的长 B1B2=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲
线的虚半轴长
a、b、c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2
a2
-y2
b2
=t(t≠0).
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2
m
+y2
n
=1(mn<0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( × )
(2)方程x2
m
-y2
n
=1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × )
(3)双曲线方程x2
m2
-y2
n2
=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2
m2
-y2
n2
=0,即x
m±y
n
=0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ )
(5)若双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)与x2
b2
-y2
a2
=1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,则1
e21
+1
e22
=1(此
结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )
1.(教材改编)若双曲线x2
a2
-y2
b2
=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲
线的离心率为________.
答案 5
解析 由题意得 b=2a,又 a2+b2=c2,∴5a2=c2.
∴e2=c2
a2
=5,∴e= 5.
2.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点,
AB=4 3,则 C 的实轴长为________.
答案 4
解析 由题设 C:x2
a2
-y2
a2
=1.
∵抛物线 y2=16x 的准线为 x=-4,联立x2
a2
-y2
a2
=1 和 x=-4,得 A(-4, 16-a2),B(-4,
- 16-a2),
∴AB=2 16-a2=4 3,
∴a=2,∴2a=4.
∴C 的实轴长为 4.
3.(2016·无锡一模)已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=±1
3x,那么双曲线的离心率
为________.
答案 10
3
解析 根据题意,设双曲线的方程为x2
a2
-y2
b2
=1,则b
a
=1
3
,所以c
a
= 1+b
a
2= 10
3
,即双曲
线的离心率为 10
3 .
4.(2016·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线x2
7
-y2
3
=1 的焦距是________.
答案 2 10
解析 由已知,a2=7,b2=3,则 c2=7+3=10,故焦距为 2c=2 10.
5.双曲线x2
4
-y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于________.
答案 2 5
5
解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0),
一条渐近线方程是 y=1
2x,即 x-2y=0,
则顶点到渐近线的距离 d=|2-0|
5
=2 5
5 .
题型一 双曲线的定义及标准方程
命题点 1 利用定义求轨迹方程
例 1 已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外
切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________.
答案 x2-y2
8
=1(x≤-1)
解析 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B.
根据两圆外切的条件,
得 MC1-AC1=MA,
MC2-BC2=MB,
因为 MA=MB,
所以 MC1-AC1=
MC2-BC2,
即 MC2-MC1=BC2-AC1=2,
所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于 C1C2=6.
又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距离
小),
其中 a=1,c=3,则 b2=8.
故点 M 的轨迹方程为 x2-y2
8
=1(x≤-1).
命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程
例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)虚轴长为 12,离心率为5
4
;
(2)焦距为 26,且经过点 M(0,12);
(3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7).
解 (1)设双曲线的标准方程为
x2
a2
-y2
b2
=1 或y2
a2
-x2
b2
=1(a>0,b>0).
由题意知,2b=12,e=c
a
=5
4.
∴b=6,c=10,a=8.
∴双曲线的标准方程为x2
64
-y2
36
=1 或y2
64
-x2
36
=1.
(2)∵双曲线经过点 M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a=12.
又 2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25.
∴双曲线的标准方程为 y2
144
-x2
25
=1.
(3)设双曲线方程为 mx2-ny2=1(mn>0).
∴ 9m-28n=1,
72m-49n=1,
解得
m=- 1
75
,
n=- 1
25.
∴双曲线的标准方程为y2
25
-x2
75
=1.
命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题
例 3 已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左,右焦点,点 P 在 C 上,PF1=2PF2,则 cos∠F1PF2
=________.
答案 3
4
解析 ∵由双曲线的定义有 PF1-PF2
=PF2=2a=2 2,
∴PF1=2PF2=4 2,
则 cos∠F1PF2=PF21+PF22-F1F22
2PF1·PF2
=4 22+2 22-42
2×4 2×2 2
=3
4.
引申探究
1.本例中,若将条件“PF1=2PF2”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2 的面积是多少?
解 不妨设点 P 在双曲线的右支上,
则 PF1-PF2=2a=2 2,
在△F1PF2 中,由余弦定理,得
cos∠F1PF2=PF21+PF22-F1F22
2PF1·PF2
=1
2
,所以 PF1·PF2=8,
所以
1 2F PFS△ =1
2PF1·PF2·sin 60°=2 3.
2.本例中,若将条件“PF1=2PF2”改为“PF1
→ ·PF2
→ =0”,则△F1PF2 的面积是多少?
解 不妨设点 P 在双曲线的右支上,
则 PF1-PF2=2a=2 2,
由于PF1
→ ·PF2
→ =0,所以PF1
→ ⊥PF2
→ ,
所以在△F1PF2 中,有 PF21+PF22=F1F22,
即 PF21+PF22=16,
所以 PF1·PF2=4,
所以
1 2F PFS△ =1
2PF1·PF2=2.
思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要
求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1-PF2|=2a,运用平方
的方法,建立与 PF1·PF2 的联系.
(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,
然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值,如果已知双曲线的渐近线方
程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为x2
a2
-y2
b2
=λ(λ≠0),再由条件求
出λ的值即可.
(1)已知 F1,F2 为双曲线x2
5
-y2
4
=1 的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点 A
在双曲线上,则 AP+AF2 的最小值为__________.
(2)设 F1,F2 分别为双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点,双曲线上存在一点 P 使得 PF1
+PF2=3b,PF1·PF2=9
4ab,则该双曲线的离心率为________.
答案 (1) 37-2 5 (2)5
3
解析 (1)由题意知,AP+AF2=AP+AF1-2a,要求 AP+AF2 的最小值,只需求 AP+AF1 的
最小值,
当 A,P,F1 三点共线时,取得最小值,
则 AP+AF1=PF1= [3--3]2+1-02= 37,
∴AP+AF2 的最小值为 AP+AF1-2a= 37-2 5.
(2)不妨设 P 为双曲线右支上一点,PF1=r1,PF2=r2.根据双曲线的定义,得 r1-r2=2a,
又 r1+r2=3b,故 r1=3b+2a
2
,r2=3b-2a
2
.
又 r1·r2=9
4ab,所以3b+2a
2
·3b-2a
2
=9
4ab,解得b
a
=4
3(负值舍去),故 e=c
a
= a2+b2
a2
=
b
a
2+1 4
3
2+1=5
3.
题型二 双曲线的几何性质
例 4 (1)(2016·盐城三模)若圆 x2+y2=r2 过双曲线x2
a2
-y2
b2
=1 的右焦点 F,且圆与双曲线的渐
近线在第一、四象限的交点分别为 A,B,当四边形 OAFB 为菱形时,双曲线的离心率为
________.
(2)(2015·山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线
C2:x2=2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为________.
答案 (1)2 (2)3
2
解析 (1)若四边形 OAFB 为菱形,且点 A 在圆 x2+y2=r2 上,则点 A 坐标为(c
2
, 3
2 c),此时
r=c.又点 A 在渐近线上,所以 3
2 c=b
a·c
2
,即b
a
= 3,所以 e= 1+b
a
2=2.
(2)由题意,不妨设直线 OA 的方程为 y=b
ax,直线 OB 的方程为 y=-b
ax.
由
y=b
ax,
x2=2py,
得 x2=2p ·b
ax,
∴x=2pb
a
,y=2pb2
a2
,∴A
2pb
a
,2pb2
a2 .
设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F 0,p
2 ,
∴kAF=
2pb2
a2
-p
2
2pb
a
.
∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1,
即
2pb2
a2
-p
2
2pb
a
·
-b
a =-1,∴b2
a2
=5
4.
设 C1 的离心率为 e,则 e2=c2
a2
=a2+b2
a2
=1+5
4
=9
4.
∴e=3
2.
思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)
中,离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k=±b
a
满足关系式 e2=1+k2.
(2016·全国甲卷改编)已知 F1,F2 是双曲线 E:x2
a2
-y2
b2
=1 的左,右焦点,点 M
在 E 上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1=1
3
,则 E 的离心率为________.
答案 2
解析 离心率 e= F1F2
MF2-MF1
,由正弦定理得 e= F1F2
MF2-MF1
= sin∠F1MF2
sin∠MF1F2-sin∠MF2F1
=
2 2
3
1-1
3
= 2.
题型三 直线与双曲线的综合问题
例 5 (2016·苏州模拟)已知椭圆 C1 的方程为x2
4
+y2=1,双曲线 C2 的左,右焦点分别是 C1 的
左,右顶点,而 C2 的左,右顶点分别是 C1 的左,右焦点.
(1)求双曲线 C2 的方程;
(2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA→ ·OB→ >2(其中 O 为原点),
求 k 的取值范围.
解 (1)设双曲线 C2 的方程为x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0),
则 a2=4-1=3,c2=4,
再由 a2+b2=c2,得 b2=1.
故 C2 的方程为x2
3
-y2=1.
(2)将 y=kx+ 2代入x2
3
-y2=1,得
(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.
由直线 l 与双曲线 C2 有两个不同的交点,得
1-3k2≠0,
Δ=-6 2k2+361-3k2=361-k2>0,
∴k2≠1
3
且 k2<1. ①
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2= 6 2k
1-3k2
,x1x2= -9
1-3k2.
∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2)
=(k2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2
=3k2+7
3k2-1
.
又∵OA→ ·OB→ >2,得 x1x2+y1y2>2,
∴3k2+7
3k2-1
>2,即-3k2+9
3k2-1
>0,
解得1
30,b>0)的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的一条渐
近线上,则 C 的方程为________________.
答案 x2
20
-y2
5
=1
解析 依题意
a2+b2=25,
1=b
a
×2, 解得 a2=20,
b2=5,
∴双曲线 C 的方程为x2
20
-y2
5
=1.
2.(2016·全国乙卷改编)已知方程 x2
m2+n
- y2
3m2-n
=1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离
为 4,则 n 的取值范围是________.
答案 (-1,3)
解析 ∵方程 x2
m2+n
- y2
3m2-n
=1 表示双曲线,
∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m20,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直
于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的
取值范围是____________.
答案 (1,2)
解析 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A(-c,b2
a ),B(-c,-b2
a ),E(a,0),
∵△ABE 是锐角三角形,∴EA→·EB→>0,
即EA→·EB→=(-c-a,b2
a )·(-c-a,-b2
a )>0,
整理得 3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0,
∴e(e+1)2(e-2)<0,
解得 e∈(0,2),又 e>1,∴e∈(1,2).
6.(2016·浙江)设双曲线 x2-y2
3
=1 的左,右焦点分别为 F1,F2,若点 P 在双曲线上,且△F1PF2
为锐角三角形,则 PF1+PF2 的取值范围是________.
答案 (2 7,8)
解析 如图,由已知可得 a=1,b= 3,c=2,从而 F1F2=4,由对称性不妨设 P 在右支上,
设 PF2=m,
则 PF1=m+2a=m+2,
由于△PF1F2 为锐角三角形,
结合实际意义需满足 m+22<m2+42,
42<m+22+m2,
解得-1+ 7<m<3,又 PF1+PF2=2m+2,
∴2 7<2m+2<8.
7.(2016·南京三模)设 F 是双曲线的一个焦点,点 P 在双曲线上,且线段 PF 的中点恰为双曲
线虚轴的一个端点,则双曲线的离心率为________.
答案 5
解析 不妨设双曲线方程为x2
a2
-y2
b2
=1 (a>0,b>0),设 F(-c,0),线段 PF 的中点为(0,b),则
P(c,2b).由点 P 在双曲线上,得c2
a2
-4=1,所以 e= 5.
8.设双曲线x2
4
-y2
5
=1 的左,右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线上位于第一象限内的一点,且
△PF1F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为____________.
答案 (6 5
5
,2)
解析 由双曲线x2
4
-y2
5
=1 的左,右焦点分别为 F1,F2,所以 F1F2=6,设 P(x,y) (x>0,y>0),
因为△PF1F2 的面积为 6,所以 1
2F1F2·y=1
2
×6×y=6,解得 y=2,将 y=2 代入x2
4
-y2
5
=1 得 x
=6 5
5 .所以 P(6 5
5
,2).
9.已知 F1,F2 分别是双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若在双曲线的右支上存在一
点 M,使得(OM→ +OF2
→ )·F2M→ =0(其中 O 为坐标原点),且|MF1
→ |= 3|MF2
→ |,则双曲线的离心率
为______.
答案 3+1
解析 ∵F2M→ =OM→ -OF2
→ ,
∴(OM→ +OF2
→ )·F2M→ =(OM→ +OF2
→ )·(OM→ -OF2
→ )=0,
即 OM→ 2-OF2
→ 2=0,∴|OF2
→ |=|OM→ |=c,
在△MF1F2 中,边 F1F2 上的中线等于 F1F2 的一半,可得MF1
→ ⊥MF2
→ .
∵|MF1
→ |= 3|MF2
→ |,
∴可设|MF2
→ |=λ(λ>0),|MF1
→ |= 3λ,
得( 3λ)2+λ2=4c2,解得λ=c,
∴|MF1
→ |= 3c,|MF2
→ |=c,
∴根据双曲线定义得 2a=|MF1
→ |-|MF2
→ |=( 3-1)c,
∴双曲线的离心率 e=2c
2a
= 3+1.
10.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:x2
2
-y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两
个焦点,若MF1
→ ·MF2
→ <0,则 y0 的取值范围是______________.
答案 - 3
3
, 3
3
解析 由题意知 a= 2,b=1,c= 3,
∴F1(- 3,0),F2( 3,0),
∴MF1
→ =(- 3-x0,-y0),MF2
→ =( 3-x0,-y0).
∵MF1
→ ·MF2
→ <0,
∴(- 3-x0)( 3-x0)+y20<0,
即 x20-3+y20<0.∵点 M(x0,y0)在双曲线上,
∴x20
2
-y20=1,即 x20=2+2y20,
∴2+2y20-3+y20<0,∴- 3
3 0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且
PF1=4PF2,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________.
答案 5
3
解析 由定义,知 PF1-PF2=2a.
又 PF1=4PF2,∴PF1=8
3a,PF2=2
3a.
在△PF1F2 中,由余弦定理,得
cos∠F1PF2=
64
9 a2+4
9a2-4c2
2·8
3a·2
3a
=17
8
-9
8e2.
要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值,
∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e=5
3
,
即 e 的最大值为5
3.
12.(2015·课标全国Ⅰ)已知 F 是双曲线 C:x2-y2
8
=1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6).
当△APF 的周长最小时,该三角形的面积为________.
答案 12 6
解析 设左焦点为 F1,PF-PF1=2a=2,
∴PF=2+PF1,△APF 的周长为 AF+AP+PF=AF+AP+2+PF1,△APF 周长最小即为 AP
+PF1 最小,当 A、P、F1 三点在一条直线时最小,过 AF1 的直线方程为 x
-3
+ y
6 6
=1,与 x2
-y2
8
=1 联立,解得 P 点坐标为(-2,2 6),此时 S△APF=S△AF1F-S△F1PF=12 6.
13.(2016·江西丰城中学模拟)一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 3的双曲线x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于 P,Q 两点,直线 l 与 y 轴交于 R 点,且OP→ ·OQ→ =-3,PR→=3RQ→ ,求直线和双曲线的方
程.
解 ∵e= 3,∴b2=2a2,
∴双曲线方程可化为 2x2-y2=2a2.
设直线 l 的方程为 y=x+m.
由 y=x+m,
2x2-y2=2a2,
得
x2-2mx-m2-2a2=0,
∴Δ=4m2+4(m2+2a2)>0,
∴直线 l 一定与双曲线相交.
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
则 x1+x2=2m,x1x2=-m2-2a2.
∵PR→=3RQ→ ,xR=x1+3x2
4
=0,
∴x1=-3x2,∴x2=-m,-3x22=-m2-2a2.
消去 x2,得 m2=a2.
OP→ ·OQ→ =x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)
=2x1x2+m(x1+x2)+m2
=m2-4a2=-3,
∴m=±1,a2=1,b2=2.
直线 l 的方程为 y=x±1,双曲线的方程为 x2-y2
2
=1.
*14.已知双曲线 C:x2
a2
-y2
b2
=1(a>0,b>0)的一个焦点是 F2(2,0),且 b= 3a.
(1)求双曲线 C 的方程;
(2)设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为(m,1),当直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点
A,B 时,求实数 m 的取值范围,并证明 AB 中点 M 在曲线 3(x-1)2-y2=3 上;
(3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点,问是否存在实数 m,使得∠AOB 为锐角?
若存在,请求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
解 (1)由已知,得 c=2,c2=a2+b2,b= 3a,
∴4=a2+3a2,∴a2=1,b2=3,
∴双曲线 C 的方程为 x2-y2
3
=1.
(2)由题意,得直线 l:m(x-2)+y=0,
由
y=-mx+2m,
x2-y2
3
=1,
得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0.
由Δ>0,得 4m4+(3-m2)(4m2+3)>0,
12m2+9-3m2>0,即 m2+1>0 恒成立.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),
则 x1+x2= 4m2
m2-3
,x1x2=4m2+3
m2-3
.
又 x1+x2>0,
x1·x2>0,
∴
4m2
m2-3
>0,
4m2+3
m2-3
>0,
∴m2>3,∴m∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞).
∵x1+x2
2
= 2m2
m2-3
,y1+y2
2
=- 2m3
m2-3
+2m
=- 6m
m2-3
,
∴AB 的中点 M( 2m2
m2-3
,- 6m
m2-3
),
∵3( 2m2
m2-3
-1)2- 36m2
m2-32
=3×m2+32
m2-32
- 36m2
m2-32
=3×m4+6m2+9-12m2
m2-32
=3,
∴M 在曲线 3(x-1)2-y2=3 上.
(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
假设存在实数 m,使∠AOB 为锐角,则OA→ ·OB→ >0,
∴x1x2+y1y2>0.
∵y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m)
=m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2,
∴(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0,
∴(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0,
即 7m2+3-12m2>0,∴m2<3
5
,
与 m2>3 矛盾,
∴不存在实数 m,使得∠AOB 为锐角.