【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第九章平面解析几何9-6双曲线定义学案

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【数学】2018届一轮复习苏教版(理)第九章平面解析几何9-6双曲线定义学案

1.双曲线定义 平面内到两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双 曲线,两个定点 F1,F2 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合 P={M||MF1-MF2|=2a},F1F2=2c,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. (1)当 2aF1F2 时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0) y2 a2 -x2 b2 =1 (a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≥a 或 x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a 或 y≥a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±b ax y=±a bx 离心率 e=c a ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长 A1A2=2a;线段 B1B2 叫做双曲 线的虚轴,它的长 B1B2=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲 线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0) 【知识拓展】 巧设双曲线方程 (1)与双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2 a2 -y2 b2 =t(t≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2 m +y2 n =1(mn<0). 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程x2 m -y2 n =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( × ) (3)双曲线方程x2 m2 -y2 n2 =λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是x2 m2 -y2 n2 =0,即x m±y n =0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √ ) (5)若双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)与x2 b2 -y2 a2 =1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,则1 e21 +1 e22 =1(此 结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ ) 1.(教材改编)若双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲 线的离心率为________. 答案 5 解析 由题意得 b=2a,又 a2+b2=c2,∴5a2=c2. ∴e2=c2 a2 =5,∴e= 5. 2.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点, AB=4 3,则 C 的实轴长为________. 答案 4 解析 由题设 C:x2 a2 -y2 a2 =1. ∵抛物线 y2=16x 的准线为 x=-4,联立x2 a2 -y2 a2 =1 和 x=-4,得 A(-4, 16-a2),B(-4, - 16-a2), ∴AB=2 16-a2=4 3, ∴a=2,∴2a=4. ∴C 的实轴长为 4. 3.(2016·无锡一模)已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=±1 3x,那么双曲线的离心率 为________. 答案 10 3 解析 根据题意,设双曲线的方程为x2 a2 -y2 b2 =1,则b a =1 3 ,所以c a = 1+b a 2= 10 3 ,即双曲 线的离心率为 10 3 . 4.(2016·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线x2 7 -y2 3 =1 的焦距是________. 答案 2 10 解析 由已知,a2=7,b2=3,则 c2=7+3=10,故焦距为 2c=2 10. 5.双曲线x2 4 -y2=1 的顶点到其渐近线的距离等于________. 答案 2 5 5 解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0), 一条渐近线方程是 y=1 2x,即 x-2y=0, 则顶点到渐近线的距离 d=|2-0| 5 =2 5 5 . 题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点 1 利用定义求轨迹方程 例 1 已知圆 C1:(x+3)2+y2=1 和圆 C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外 切,则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________. 答案 x2-y2 8 =1(x≤-1) 解析 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B. 根据两圆外切的条件, 得 MC1-AC1=MA, MC2-BC2=MB, 因为 MA=MB, 所以 MC1-AC1= MC2-BC2, 即 MC2-MC1=BC2-AC1=2, 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于 C1C2=6. 又根据双曲线的定义,得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大,与 C1 的距离 小), 其中 a=1,c=3,则 b2=8. 故点 M 的轨迹方程为 x2-y2 8 =1(x≤-1). 命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程 例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)虚轴长为 12,离心率为5 4 ; (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); (3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7). 解 (1)设双曲线的标准方程为 x2 a2 -y2 b2 =1 或y2 a2 -x2 b2 =1(a>0,b>0). 由题意知,2b=12,e=c a =5 4. ∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为x2 64 -y2 36 =1 或y2 64 -x2 36 =1. (2)∵双曲线经过点 M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a=12. 又 2c=26,∴c=13,∴b2=c2-a2=25. ∴双曲线的标准方程为 y2 144 -x2 25 =1. (3)设双曲线方程为 mx2-ny2=1(mn>0). ∴ 9m-28n=1, 72m-49n=1, 解得 m=- 1 75 , n=- 1 25. ∴双曲线的标准方程为y2 25 -x2 75 =1. 命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题 例 3 已知 F1,F2 为双曲线 C:x2-y2=2 的左,右焦点,点 P 在 C 上,PF1=2PF2,则 cos∠F1PF2 =________. 答案 3 4 解析 ∵由双曲线的定义有 PF1-PF2 =PF2=2a=2 2, ∴PF1=2PF2=4 2, 则 cos∠F1PF2=PF21+PF22-F1F22 2PF1·PF2 =4 22+2 22-42 2×4 2×2 2 =3 4. 引申探究 1.本例中,若将条件“PF1=2PF2”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2 的面积是多少? 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上, 则 PF1-PF2=2a=2 2, 在△F1PF2 中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2=PF21+PF22-F1F22 2PF1·PF2 =1 2 ,所以 PF1·PF2=8, 所以 1 2F PFS△ =1 2PF1·PF2·sin 60°=2 3. 2.本例中,若将条件“PF1=2PF2”改为“PF1 → ·PF2 → =0”,则△F1PF2 的面积是多少? 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上, 则 PF1-PF2=2a=2 2, 由于PF1 → ·PF2 → =0,所以PF1 → ⊥PF2 → , 所以在△F1PF2 中,有 PF21+PF22=F1F22, 即 PF21+PF22=16, 所以 PF1·PF2=4, 所以 1 2F PFS△ =1 2PF1·PF2=2. 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要 求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1-PF2|=2a,运用平方 的方法,建立与 PF1·PF2 的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式, 然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值,如果已知双曲线的渐近线方 程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 =λ(λ≠0),再由条件求 出λ的值即可. (1)已知 F1,F2 为双曲线x2 5 -y2 4 =1 的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点 A 在双曲线上,则 AP+AF2 的最小值为__________. (2)设 F1,F2 分别为双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左,右焦点,双曲线上存在一点 P 使得 PF1 +PF2=3b,PF1·PF2=9 4ab,则该双曲线的离心率为________. 答案 (1) 37-2 5 (2)5 3 解析 (1)由题意知,AP+AF2=AP+AF1-2a,要求 AP+AF2 的最小值,只需求 AP+AF1 的 最小值, 当 A,P,F1 三点共线时,取得最小值, 则 AP+AF1=PF1= [3--3]2+1-02= 37, ∴AP+AF2 的最小值为 AP+AF1-2a= 37-2 5. (2)不妨设 P 为双曲线右支上一点,PF1=r1,PF2=r2.根据双曲线的定义,得 r1-r2=2a, 又 r1+r2=3b,故 r1=3b+2a 2 ,r2=3b-2a 2 . 又 r1·r2=9 4ab,所以3b+2a 2 ·3b-2a 2 =9 4ab,解得b a =4 3(负值舍去),故 e=c a = a2+b2 a2 = b a 2+1 4 3 2+1=5 3. 题型二 双曲线的几何性质 例 4 (1)(2016·盐城三模)若圆 x2+y2=r2 过双曲线x2 a2 -y2 b2 =1 的右焦点 F,且圆与双曲线的渐 近线在第一、四象限的交点分别为 A,B,当四边形 OAFB 为菱形时,双曲线的离心率为 ________. (2)(2015·山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 C2:x2=2py(p>0)交于点 O,A,B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点,则 C1 的离心率为________. 答案 (1)2 (2)3 2 解析 (1)若四边形 OAFB 为菱形,且点 A 在圆 x2+y2=r2 上,则点 A 坐标为(c 2 , 3 2 c),此时 r=c.又点 A 在渐近线上,所以 3 2 c=b a·c 2 ,即b a = 3,所以 e= 1+b a 2=2. (2)由题意,不妨设直线 OA 的方程为 y=b ax,直线 OB 的方程为 y=-b ax. 由 y=b ax, x2=2py, 得 x2=2p ·b ax, ∴x=2pb a ,y=2pb2 a2 ,∴A 2pb a ,2pb2 a2 . 设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F 0,p 2 , ∴kAF= 2pb2 a2 -p 2 2pb a . ∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB,∴kAF·kOB=-1, 即 2pb2 a2 -p 2 2pb a · -b a =-1,∴b2 a2 =5 4. 设 C1 的离心率为 e,则 e2=c2 a2 =a2+b2 a2 =1+5 4 =9 4. ∴e=3 2. 思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0) 中,离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k=±b a 满足关系式 e2=1+k2. (2016·全国甲卷改编)已知 F1,F2 是双曲线 E:x2 a2 -y2 b2 =1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1=1 3 ,则 E 的离心率为________. 答案 2 解析 离心率 e= F1F2 MF2-MF1 ,由正弦定理得 e= F1F2 MF2-MF1 = sin∠F1MF2 sin∠MF1F2-sin∠MF2F1 = 2 2 3 1-1 3 = 2. 题型三 直线与双曲线的综合问题 例 5 (2016·苏州模拟)已知椭圆 C1 的方程为x2 4 +y2=1,双曲线 C2 的左,右焦点分别是 C1 的 左,右顶点,而 C2 的左,右顶点分别是 C1 的左,右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; (2)若直线 l:y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B,且OA→ ·OB→ >2(其中 O 为原点), 求 k 的取值范围. 解 (1)设双曲线 C2 的方程为x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0), 则 a2=4-1=3,c2=4, 再由 a2+b2=c2,得 b2=1. 故 C2 的方程为x2 3 -y2=1. (2)将 y=kx+ 2代入x2 3 -y2=1,得 (1-3k2)x2-6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 有两个不同的交点,得 1-3k2≠0, Δ=-6 2k2+361-3k2=361-k2>0, ∴k2≠1 3 且 k2<1. ① 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 6 2k 1-3k2 ,x1x2= -9 1-3k2. ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) =(k2+1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2 =3k2+7 3k2-1 . 又∵OA→ ·OB→ >2,得 x1x2+y1y2>2, ∴3k2+7 3k2-1 >2,即-3k2+9 3k2-1 >0, 解得1 30,b>0)的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的一条渐 近线上,则 C 的方程为________________. 答案 x2 20 -y2 5 =1 解析 依题意 a2+b2=25, 1=b a ×2, 解得 a2=20, b2=5, ∴双曲线 C 的方程为x2 20 -y2 5 =1. 2.(2016·全国乙卷改编)已知方程 x2 m2+n - y2 3m2-n =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离 为 4,则 n 的取值范围是________. 答案 (-1,3) 解析 ∵方程 x2 m2+n - y2 3m2-n =1 表示双曲线, ∴(m2+n)·(3m2-n)>0,解得-m20,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直 于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的 取值范围是____________. 答案 (1,2) 解析 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A(-c,b2 a ),B(-c,-b2 a ),E(a,0), ∵△ABE 是锐角三角形,∴EA→·EB→>0, 即EA→·EB→=(-c-a,b2 a )·(-c-a,-b2 a )>0, 整理得 3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0, ∴e(e+1)2(e-2)<0, 解得 e∈(0,2),又 e>1,∴e∈(1,2). 6.(2016·浙江)设双曲线 x2-y2 3 =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,若点 P 在双曲线上,且△F1PF2 为锐角三角形,则 PF1+PF2 的取值范围是________. 答案 (2 7,8) 解析 如图,由已知可得 a=1,b= 3,c=2,从而 F1F2=4,由对称性不妨设 P 在右支上, 设 PF2=m, 则 PF1=m+2a=m+2, 由于△PF1F2 为锐角三角形, 结合实际意义需满足 m+22<m2+42, 42<m+22+m2, 解得-1+ 7<m<3,又 PF1+PF2=2m+2, ∴2 7<2m+2<8. 7.(2016·南京三模)设 F 是双曲线的一个焦点,点 P 在双曲线上,且线段 PF 的中点恰为双曲 线虚轴的一个端点,则双曲线的离心率为________. 答案 5 解析 不妨设双曲线方程为x2 a2 -y2 b2 =1 (a>0,b>0),设 F(-c,0),线段 PF 的中点为(0,b),则 P(c,2b).由点 P 在双曲线上,得c2 a2 -4=1,所以 e= 5. 8.设双曲线x2 4 -y2 5 =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线上位于第一象限内的一点,且 △PF1F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为____________. 答案 (6 5 5 ,2) 解析 由双曲线x2 4 -y2 5 =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,所以 F1F2=6,设 P(x,y) (x>0,y>0), 因为△PF1F2 的面积为 6,所以 1 2F1F2·y=1 2 ×6×y=6,解得 y=2,将 y=2 代入x2 4 -y2 5 =1 得 x =6 5 5 .所以 P(6 5 5 ,2). 9.已知 F1,F2 分别是双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的左,右焦点,若在双曲线的右支上存在一 点 M,使得(OM→ +OF2 → )·F2M→ =0(其中 O 为坐标原点),且|MF1 → |= 3|MF2 → |,则双曲线的离心率 为______. 答案 3+1 解析 ∵F2M→ =OM→ -OF2 → , ∴(OM→ +OF2 → )·F2M→ =(OM→ +OF2 → )·(OM→ -OF2 → )=0, 即 OM→ 2-OF2 → 2=0,∴|OF2 → |=|OM→ |=c, 在△MF1F2 中,边 F1F2 上的中线等于 F1F2 的一半,可得MF1 → ⊥MF2 → . ∵|MF1 → |= 3|MF2 → |, ∴可设|MF2 → |=λ(λ>0),|MF1 → |= 3λ, 得( 3λ)2+λ2=4c2,解得λ=c, ∴|MF1 → |= 3c,|MF2 → |=c, ∴根据双曲线定义得 2a=|MF1 → |-|MF2 → |=( 3-1)c, ∴双曲线的离心率 e=2c 2a = 3+1. 10.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:x2 2 -y2=1 上的一点,F1,F2 是 C 的两 个焦点,若MF1 → ·MF2 → <0,则 y0 的取值范围是______________. 答案 - 3 3 , 3 3 解析 由题意知 a= 2,b=1,c= 3, ∴F1(- 3,0),F2( 3,0), ∴MF1 → =(- 3-x0,-y0),MF2 → =( 3-x0,-y0). ∵MF1 → ·MF2 → <0, ∴(- 3-x0)( 3-x0)+y20<0, 即 x20-3+y20<0.∵点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴x20 2 -y20=1,即 x20=2+2y20, ∴2+2y20-3+y20<0,∴- 3 3 0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且 PF1=4PF2,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 答案 5 3 解析 由定义,知 PF1-PF2=2a. 又 PF1=4PF2,∴PF1=8 3a,PF2=2 3a. 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 cos∠F1PF2= 64 9 a2+4 9a2-4c2 2·8 3a·2 3a =17 8 -9 8e2. 要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值, ∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e=5 3 , 即 e 的最大值为5 3. 12.(2015·课标全国Ⅰ)已知 F 是双曲线 C:x2-y2 8 =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6). 当△APF 的周长最小时,该三角形的面积为________. 答案 12 6 解析 设左焦点为 F1,PF-PF1=2a=2, ∴PF=2+PF1,△APF 的周长为 AF+AP+PF=AF+AP+2+PF1,△APF 周长最小即为 AP +PF1 最小,当 A、P、F1 三点在一条直线时最小,过 AF1 的直线方程为 x -3 + y 6 6 =1,与 x2 -y2 8 =1 联立,解得 P 点坐标为(-2,2 6),此时 S△APF=S△AF1F-S△F1PF=12 6. 13.(2016·江西丰城中学模拟)一条斜率为 1 的直线 l 与离心率为 3的双曲线x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0) 交于 P,Q 两点,直线 l 与 y 轴交于 R 点,且OP→ ·OQ→ =-3,PR→=3RQ→ ,求直线和双曲线的方 程. 解 ∵e= 3,∴b2=2a2, ∴双曲线方程可化为 2x2-y2=2a2. 设直线 l 的方程为 y=x+m. 由 y=x+m, 2x2-y2=2a2, 得 x2-2mx-m2-2a2=0, ∴Δ=4m2+4(m2+2a2)>0, ∴直线 l 一定与双曲线相交. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1+x2=2m,x1x2=-m2-2a2. ∵PR→=3RQ→ ,xR=x1+3x2 4 =0, ∴x1=-3x2,∴x2=-m,-3x22=-m2-2a2. 消去 x2,得 m2=a2. OP→ ·OQ→ =x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m) =2x1x2+m(x1+x2)+m2 =m2-4a2=-3, ∴m=±1,a2=1,b2=2. 直线 l 的方程为 y=x±1,双曲线的方程为 x2-y2 2 =1. *14.已知双曲线 C:x2 a2 -y2 b2 =1(a>0,b>0)的一个焦点是 F2(2,0),且 b= 3a. (1)求双曲线 C 的方程; (2)设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为(m,1),当直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点 A,B 时,求实数 m 的取值范围,并证明 AB 中点 M 在曲线 3(x-1)2-y2=3 上; (3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A,B 两点,问是否存在实数 m,使得∠AOB 为锐角? 若存在,请求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解 (1)由已知,得 c=2,c2=a2+b2,b= 3a, ∴4=a2+3a2,∴a2=1,b2=3, ∴双曲线 C 的方程为 x2-y2 3 =1. (2)由题意,得直线 l:m(x-2)+y=0, 由 y=-mx+2m, x2-y2 3 =1, 得(3-m2)x2+4m2x-4m2-3=0. 由Δ>0,得 4m4+(3-m2)(4m2+3)>0, 12m2+9-3m2>0,即 m2+1>0 恒成立. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 4m2 m2-3 ,x1x2=4m2+3 m2-3 . 又 x1+x2>0, x1·x2>0, ∴ 4m2 m2-3 >0, 4m2+3 m2-3 >0, ∴m2>3,∴m∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞). ∵x1+x2 2 = 2m2 m2-3 ,y1+y2 2 =- 2m3 m2-3 +2m =- 6m m2-3 , ∴AB 的中点 M( 2m2 m2-3 ,- 6m m2-3 ), ∵3( 2m2 m2-3 -1)2- 36m2 m2-32 =3×m2+32 m2-32 - 36m2 m2-32 =3×m4+6m2+9-12m2 m2-32 =3, ∴M 在曲线 3(x-1)2-y2=3 上. (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 假设存在实数 m,使∠AOB 为锐角,则OA→ ·OB→ >0, ∴x1x2+y1y2>0. ∵y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m) =m2x1x2-2m2(x1+x2)+4m2, ∴(1+m2)x1x2-2m2(x1+x2)+4m2>0, ∴(1+m2)(4m2+3)-8m4+4m2(m2-3)>0, 即 7m2+3-12m2>0,∴m2<3 5 , 与 m2>3 矛盾, ∴不存在实数 m,使得∠AOB 为锐角.
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