高考数学专题复习：课时达标检测（十九） 任意角和弧度制、任意角的三角函数
课时达标检测（十九） 任意角和弧度制、任意角的三角函数
[练基础小题——强化运算能力]
1．若cos α>0且tan α<0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选D 由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．
2．若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：选C 角α与θ终边相同，β与－θ终边相同．又角θ与－θ的终边关于x轴对称，所以角α与β的终边关于x轴对称．
3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )
A. B.
C. D．2
解析：选C 设圆的半径为r，则其内接正三角形的边长为r.根据题意，由r＝αr，得α＝.
4．角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且|OP|＝，则m－n等于( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：选A ∵角α的终边与直线y＝3x重合，且sin α<0，
∴角α的终边在第三象限．又P(m，n)是角α终边上一点，故m<0，n<0.又|OP|＝，∴解得m＝－1，n＝－3，故m－n＝2.
5．设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．
解析：由角α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋(k∈Z)，则kπ＋<
1，则角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B 由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．
2．若α是第三象限角，则y＝＋的值为( )
A．0 B．2
C．－2 D．2或－2
解析：选A 由于α是第三象限角，
所以是第二或第四象限角．
当是第二象限角时，sin>0，cos<0，
y＝＋＝1－1＝0；
当是第四象限角时，sin<0，cos>0，
y＝＋＝－1＋1＝0.故选A.
3．已知角α的终边经过一点P(x，x2＋1)(x>0)，则tan α的最小值为( )
A．1 B．2
C. D.
解析：选B tan α＝＝x＋≥2 ＝2，当且仅当x＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B.
4．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若
∠AOP＝θ，则点P的坐标是( )
A．(cos θ，sin θ)
B．(－cos θ，sin θ)
C．(sin θ，cos θ)
D．(－sin θ，cos θ)
解析：选A 由三角函数定义知，点P的横坐标x＝cos θ，纵坐标y＝sin θ.
5．已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P，则cos 2α＝( )
A．－ B．1
C. D．－
解析：选A ∵角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于P，
∴2＋(y0)2＝1，∴y0＝±，
则cos α＝，sin α＝±，
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－.
6．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D ∵＝，
∴角α为第四象限角，且sin α＝－，cos α＝.
∴角α的最小正值为.
二、填空题
7．已知点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，则θ是第________象限角．
解析：因为点P(sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，
所以即
所以θ为第二象限角．
答案：二
8．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，
则m＝________.
解析：由题设知点P的横坐标x＝－，纵坐标y＝m，
∴r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，
即r＝.
∴sin α＝＝＝，
∴r＝＝2，
即3＋m2＝8，解得m＝±.
答案：±
9．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．
解析：设扇形半径为R，内切圆半径为r，如图．
则(R－r)sin 60°＝r，
即R＝r.
又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝2r2＝πr2，S内切圆＝πr2，
所以＝.
答案：(7＋4)∶9
10．在(0,2π)内，使sin x>cos x成立的x的取值范围为________．
解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cos x的x值，sin＝cos＝，sin＝cos＝－.根据三角函数线的变化规律可知，满足题中条件的角x∈.
答案：
三、解答题
11．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求角α的集合；
(2)求角终边所在的象限；
(3)试判断 tansin cos的符号．
解：(1)由sin α＜0，知角α的终边在第三、四象限或y轴的非正半轴上；
由tan α＞0, 知角α的终边在第一、三象限，
故角α的终边在第三象限，其集合为
.
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，
当k为偶数时，角终边在第二象限；
当k为奇数时，角终边在第四象限．
故角终边在第二或第四象限．
(3)当角在第二象限时，tan ＜0，
sin ＞0, cos ＜0，
所以tansincos取正号；
当在第四象限时， tan＜0，
sin＜0, cos＞0，
所以 tansincos也取正号．
因此，tansin cos 取正号．
12．已知扇形AOB的周长为8.
(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
(1)由题意可得
解得或
∴α＝＝或α＝＝6.
(2)∵2r＋l＝8，
∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，
当且仅当r＝2，l＝4，
即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.
此时弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.
