2018-2019学年广西南宁市第三中学高二下学期第一次月考数学（文）试题 Word版
南宁三中2018~2019学年度下学期高二月考（一）
文科数学试题
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.演绎推理“因为对数函数（a＞0且a≠1）是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误
2.从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2)，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球 B．恰有一个红球，恰有两个绿球
C．至少有一个红球，都是红球 D．至少有一个红球，都是绿球
3.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（ ）
A．若a>b，c>b，则a>c B．若a>b，c>d，则
C．若a2>b2，则a>b D．若a>－b，则c－a
，即m2＋n2<5，所以点P(m，n)在圆x2＋y2＝5的内部，而该圆在椭圆＋＝1内部，故点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，所以过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1一定相交，故公共点的个数是2.
12.B 解：②中R2越大，拟合效果越好；③中回归直线同样可以远远偏离变异点；①④正确．注意④，e是随机变量，其方差衡量预报精度．故选B.
13. A
14. 5 解：由柯西不等式得=25,
，当且仅当，即x=4时，等号成立.
15. 99 解：因为6.669与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．故填99.
16. 2 解：圆ρ＝4cosθ在直角坐标系下的方程为(x－2)2＋y2＝4，直线的普通方程为x－y－4＝0，圆心到直线的距离是＝，弦长为2＝2.
17.解：(1)因为正弦定理＝＝，又A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)＝3sinBcosC，
即sinBcosC＋cosBsinC＝3sinBcosC，
所以cosBsinC＝2sinBcosC，即＝2.故＝2.
(2)由A＋B＋C＝π得tan(B＋C)＝tan(π－A)＝－3，
即＝－3,
将tanC＝2tanB代入得＝－3，解得tanB＝1或tanB＝－，
根据tanC＝2tanB得tanC，tanB同正，所以tanB＝1，tanC＝2.
可得sinB＝，sinC＝，sinA＝，
代入正弦定理可得＝，所以b＝，
所以S△ABC＝absinC＝×3××＝3.
18.解：(1)因为数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，
所以a1＝11，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2＋8n－3(n－1)2－8(n－1)＝6n＋5，
又an＝6n＋5对n＝1也成立，所以an＝6n＋5.
又因为{bn}是等差数列，设公差为d，则an＝bn＋bn＋1＝2bn＋d.
当n＝1时，2b1＝11－d；
当n＝2时，2b2＝17－d，解得d＝3，
所以数列{bn}的通项公式为bn＝＝3n＋1.
(2)由cn＝＝＝(3n＋3)·2n＋1，
于是Tn＝6×22＋9×23＋12×24＋…＋(3n＋3)×2n＋1，
两边同乘以2，得
2Tn＝6×23＋9×24＋…＋(3n)×2n＋1＋ (3n＋3)×2n＋2，
两式相减，得
－Tn＝6×22＋3×23＋3×24＋…＋3×2n＋1－(3n＋3)×2n＋2
＝3×22＋－(3n＋3)×2n＋2，
所以Tn＝－12＋3×22(1－2n)＋(3n＋3)×2n＋2＝3n·2n＋2.
19.解：(1)45×0.01×10＋55×0.025×10＋65×0.04×10＋75×0.02×10＋85×0.005×10＝63.5≈64.
所以丹东市网友的平均留言条数是64条．
(2)留言条数超过80条的网友中，丹东市网友有0.005×10×100×＝3(人)，
乌鲁木齐市网友有0.005×10×100×＝2(人)，
丹东市网友设为，，，乌鲁木齐市网友为，．
从5人中随机取出2次的所有取法为，，，，，，，，，，共计10种情况，
其中至少有一名乌鲁木齐市网友的结果为，，，，，，共计7种，
因此，至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率为 P＝.
(3)①列联表如下：
强烈关注
非强烈关注
合计
丹东市
15
45
60
乌鲁木齐市
15
25
40
合计
30
70
100
②K2的观测值k＝＝≈1.79.
因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关．
20.解：(1)由已知得，F1(－，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则＋y2＝1，且－2≤x≤2.
所以·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝x2－2，
当x＝0，即P(0，±1)时，(·)min＝－2；
当x＝±2，即P(±2，0)时，(·)max＝1.
(2)由题意可知，过点M(0，2)的直线l的斜率存在．
设l的方程为y＝kx＋2，
由消去y，化简整理得
(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
又∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，
有x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·＋2k·＋4＞0，解得k2＜4，
所以＜k2＜4，即k∈.
21.解：(1)由题意知f′(x)＝ex－a≥0对x∈R恒成立，且ex＞0，故a的取值范围为(－∞，0]．
(2)证明：由a＞0，及f′(x)＝ex－a，可得函数f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故函数f(x)的最小值为g(a)＝f(lna)＝elna－alna－1＝a－alna－1，则g′(a)＝－lna，
故当a∈(0，1)时，g′(a)＞0，
当a∈(1，＋∞)时，g′(a)＜0，
从而可知g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g(1)＝0，
故g(a)≤0.
(3)证明：由(2)可知，当a＝1时，
总有f(x)＝ex－x－1≥0，当且仅当x＝0时等号成立．即当x＋1＞0且x≠0时，总有
ex＞x＋1.于是，可得(x＋1)n＋1＜(ex)n＋1＝e(n＋1)x.
令x＋1＝，即x＝－，可得；
令x＋1＝，即x＝－，可得；
令x＋1＝，即x＝－，可得；
……
令x＋1＝，即x＝－，可得.
累加可得
.
故对任意的正整数n，都有.
22.解：(1)把圆C的参数方程(θ为参数)化为直角坐标方程为x2＋y2＝25.
由条件可得直线l的参数方程为即(t为参数)．
(2)把直线l的参数方程代入圆C的方程化简可得t2＋(3＋2)t－12＝0，
所以t1t2＝－12，故|PA|·|PB|＝|t1t2|＝12.
