2015福州3月份质检理数试卷(2)

2015福州3月份质检理数试卷(2)

‎2015年福州市高中毕业班质量检测 理科数学能力测试 ‎（完卷时间：120分钟；满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；‎ ‎2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．‎ 参考公式：‎ ‎1．样本数据的标准差 ‎，‎ 其中为样本平均数；‎ ‎2．球的表面积、体积公式：‎ ‎,，‎ 其中为球的半径．‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中有 且只有一个选项是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）‎ 1． 已知全集，集合，，则等于 A． B． C． D．‎ 第5题图 2． 在平面直角坐标系中，已知角的顶点与点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则的值是 A． B．‎0 ‎C． D．1‎ 3． 在等差数列中，若，，则的值是 A． B． C． D．‎ 4． 若，则的大小关系为 A． B． C． D．‎ 5． 执行如图所示的程序框图，输出的值为 A． B．1 C． D．‎ 6． 在棱长为3的正方体内任取一点，则点到该正方体的六个面的距离的最小值不大于1的概率为 A． B． C． D．‎ 1． ‎“直线垂直于平面”的一个必要不充分条件是 A．直线与平面内的任意一条直线垂直 B．过直线的任意一个平面与平面垂直C．存在平行于直线的直线与平面垂直 D．经过直线的某一个平面与平面垂直 第8题图 2． 已知是边长为1的正三角形，动点在平面内．若，，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ 3． 若函数满足：，都有成立，则称．对于函数,有 A．且 B．且 C．且 D．且 4． 某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有16名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：护士多于医生；女医生多于女护士；女护士多于男护士；至少有一名男医生．”请你推断说话的人的性别与职业是 A．男医生 B．男护士 C．女医生 D．女护士 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置上．）‎ 5． 已知，为虚数单位，若，则　★★★ ．‎ 6． 展开式的常数项为，则正数 ★★★ ．‎ 7． 已知抛物线的焦点为，是的准线上一点，是直线与的一个交点．若，则直线的方程为　★★★　．‎ 8． 已知一组正数的方差，则数据的平均数为　★★★　．‎ 9． 已知函数，有下列四个结论： ① 函数的图象关于轴对称； ② 存在常数，对任意的实数，恒有成立； ③ 对于任意给定的正数，都存在实数，使得； ④ 函数的图象上至少存在三个点，使得该函数在这些点处的切线重合． ‎ 其中正确结论的序号是 ★★★ (请把所有正确结论的序号都填上)．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ 1． ‎（本小题满分13分） 已知函数的图象与直线的相邻两个交点之间的 距离为． （Ⅰ）求函数的单调递增区间； （Ⅱ）设的内角所对的边分别是．若，求角 的大小．‎ 2． ‎（本小题满分13分） 调查表明，中年人的成就感与收入、学历、职业的满意度的指标有极强的相关性．现 将这三项的满意度指标分别记为，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意，再用综合指标的值评定中年人的成就感等级：若，则成就感为一级；若，则成就感为二级；若，则成就感为三级．为了了解目前某群体中年人的成就感情况，研究人员随机采访了该群体的10名中年人，得到如下结果：‎ 人员编号 人员编号 ‎（Ⅰ）在这10名被采访者中任取两人，求这两人的职业满意度指标相同的概率； ‎ ‎（Ⅱ）从成就感等级是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，从成就感等 级不是一级的被采访者中任取一人，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望．‎ 3． ‎（本小题满分13分） 已知一个空间几何体的直观图和三视图（尺寸如图所示）．‎ ‎（Ⅰ）设点为棱中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于 ‎？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．‎ 第19题图 ‎（本小题满分13分） 如图，已知椭圆（）的离心率．点分别为椭圆的 左焦点和右顶点，且． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点作一条直线交椭圆于两点，点关 于轴的对称点为．若，求证：．‎ 1． ‎（本小题满分14分） 已知函数，，为自然对数的底数． （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）设，比较与的 大小，并加以证明．‎ 2． 本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．若多做，则按所做的前两题计分．‎ ‎（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换 已知矩阵的逆矩阵．‎ ‎（Ⅰ）求矩阵；‎ ‎（Ⅱ）求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下所得的曲线方程．‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数）．在平面直角坐标系中，以坐 标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）把的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求与交点的极坐标（）．‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲 已知定义在上的函数的最小值为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求不等式的解集．‎ ‎2015年福州市高中毕业班质量检测 理科数学能力测试参考答案及评分细则 第Ⅰ卷 （选择题 共50分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）‎ ‎1． A 2． B 3． B 4． C 5． C 6．D 7．D 8． A 9． C 10． B 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）‎ ‎11． 12．　 13．或 14． 　 15．①③④‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分．)‎ ‎16．本小题主要考查三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）、两角差的正弦公式、利用正弦定理解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．‎ 解：(Ⅰ)因为，‎ 所以． 1分 所以函数的最大值为2． 2分 因为函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为，‎ 所以， 3分 所以，解得 4分 所以 令， 5分 解得．‎ 所以函数的单调递增区间是． 6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，‎ 在中，因为 所以 7分 所以 因为，所以． 9分 因为，根据据正弦定理，有， 10分 所以，所以， 11分 因为，所以，所以， 12分 所以． 13分 ‎17．本小题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）设事件为“从10名被采访者中随机抽取两人，他们的职业满意度指标相同”．‎ 职业满意度指标为0的有：；‎ 职业满意度指标为1的有：,,,,；‎ 职业满意度指标为2的有：,,,．‎ 从10名被采访者中随机抽取两人的所有可能结果数为， 1分 ‎， 2分 职业满意度指标相同的所有可能结果数为 3分 ‎， 4分 所以他们的职业满意度指标相同的概率． 5分 ‎（Ⅱ）计算10名被采访者的综合指标，可得下表：‎ 人员编号 综合指标 ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎3‎ 其中成就感是一级的（）有：、、、、、，共6名，成就感不是一级的（）有、、、，共4名．‎ 随机变量的所有可能取值为：． 6分 ‎, 7分 ‎， 8分 ‎ ， 9分 ‎ , 10分 ‎ ‎， 11分 所以的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ 12分 所以． 13分 ‎18．本小题主要考查空间体的直观图与三视图、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．‎ ‎（Ⅰ）证明：（方法一）由三视图知，两两垂直，故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．…………………1分 则,‎ 所以，‎ 易知平面的一个法向量等于，………3分 所以,‎ 所以， 4分 又平面，‎ 所以∥平面． 5分 ‎（方法二）由三视图知，两两垂直．‎ 连结，其交点记为，连结,． 1分 因为四边形为矩形，‎ 所以为中点．因为为中点，‎ 所以∥，且．………………………2分 又因为∥，且，‎ 所以∥, 且=．‎ 所以四边形是平行四边形，‎ 所以∥………………………………………4分 因为平面，平面 所以∥平面． 5分 ‎（Ⅱ）解：当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值为． 6分 理由如下：‎ 因为，设平面的法向量为，‎ 由得 7分 取，得平面的一个法向量． 8分 假设线段上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值等于．‎ 设，‎ 则，． 9分 所以 10分 ‎． 12分 所以，‎ 解得或(舍去)． ‎ 因此，线段上存在一点，当点与点重合时，直线与平面所成角的正弦值等于． 13分 ‎19．本小题主要考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系、推理与证明等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．‎ 解:（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，得 2分 解得 3分 所以椭圆的方程为． 4分 ‎（Ⅱ）方法一：依题意得， 与坐标轴不垂直．设．因为点与点关于轴对称,所以．由（Ⅰ）讨论可知，． ‎ 因为，所以直线与直线的斜率相等，故， 6分 解得． 7分 又因为点在椭圆上，所以，或． 8分 由椭圆对称性，不妨取，则直线的斜率．‎ 所以直线方程为． 9分 由得点坐标为． 10分 所以， 11分 ‎． 12分 所以． 13分 方法二：依题意，得与坐标轴不垂直．‎ 设方程为（），．‎ 因为点与点关于轴对称,所以．‎ 又因为椭圆关于轴对称，所以点也在椭圆上．‎ 由消去得 ． 5分 所以． 6分 因为，所以直线的方程为．‎ 由消去得． 7分 因为直线交椭圆于两点，‎ 所以，故． 8分 所以，‎ 解得． 9分 所以． 10分 所以，‎ ‎． 12分 所以． 13分 方法三：依题意，得与坐标轴不垂直．‎ 设方程为（），．‎ 因为点与点关于轴对称,所以．‎ 又因为椭圆关于轴对称，所以点也在椭圆上．‎ 直线过定点， 5分 理由如下：‎ 由消去得． 6分 所以． 7分 所以，‎ ‎． 9分 因为，‎ 所以， 11分 所以，所以三点共线，即直线过定点． 12分 因为为线段中点，，‎ 所以． 13分 方法四：依题意，得与坐标轴不垂直．‎ 设方程为（），．‎ 因为点与点关于轴对称,所以． 5分 因为三点共线，所以与共线，‎ 所以． 6分 因为，所以可设（），即，‎ 所以． 7分 所以，即． 8分 依题意，，所以． 9分 因为点在椭圆上，所以，‎ 解得 或． 10分 由椭圆对称性，不妨取，则 ‎，‎ 因为点在椭圆上，所以，‎ 解得 或（舍去）． 12分 所以，即． 13分 方法六：依题意，得与坐标轴不垂直．‎ 设方程为（），．‎ 因为点与点关于轴对称,所以．‎ 由消去得． 6分 所以． 7分 因为，所以直线的方程为．‎ 由消去得，． 8分 因为直线交椭圆于两点，‎ 所以，即． 9分 设（），则，‎ 所以． 10分 所以，解得， 12分 所以． 13分 ‎20．本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用（单调性、最值）、用点斜式求直线方程、比较不等式、证明不等式、数学归纳法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、有限与无限思想等．满分14分．‎ 解：（Ⅰ）当时，函数，则， 1分 所以，且， 2分 于是在点处的切线方程为， 3分 故所求的切线方程为． 4分 ‎（Ⅱ）解法一：．‎ ‎ 5分 理由如下：因为，‎ 构造函数， 6分 所以，‎ 因为，所以，所以． 7分 所以函数在上单调递增，且，‎ 所以， 9分 即当，且时，恒成立，‎ 所以． 10分 取，得成立． 11分 所以， 12分 所以， 13分 所以成立． 14分 解法二：．‎ ‎ 5分 理由如下：因为，‎ 欲证成立，‎ 只需证，‎ 只需证， 6分 即证． 8分 构造函数，则． 10分 因为，所以．‎ 令，得；‎ 令，得．‎ 所以函数在单调递增；在上单调递减．‎ 所以函数的最大值为．所以， 11分 所以，即，则 ‎， 12分 所以．‎ 取，得成立． 13分 所以当时，‎ 成立． 14分 解法三：．‎ ‎ 5分 理由如下：因为，‎ 欲证成立，‎ 只需证，‎ 只需证， 6分 即证． 8分 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，成立，‎ ‎②当时，假设成立， 9分 那么当时， ，‎ 下面只需证明， 10分 只需证明，‎ 因为，所以，所以只需证明，‎ 所以只需证明，只需证明，‎ 只需证明对恒成立即可． 11分 构造函数，‎ 因为在单调递增，所以． 12分 所以当时，成立，‎ 由①和②可知，对一切，成立． 13分 所以当时，‎ 成立． 14分 解法四：． 4分 理由如下：因为，‎ 欲证成立，‎ 只要证，‎ 只需证， 6分 即证． 8分 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，成立，‎ ‎②当时，假设成立， 9分 那么当时， ，‎ 下面只需证明， 10分 注意到且，则 ‎， 12分 所以当时，成立，‎ 由①和②可知，对一切，成立． 13分 所以当时，‎ 成立． 14分 ‎21（1）本小题主要考查矩阵及其逆矩阵、求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）因为矩阵是矩阵的逆矩阵，‎ 且， 2分 所以． 3分 ‎（Ⅱ）解法一：设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点，则， 4分 由此得 5分 代入方程，得. 6分 所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为． 7分 解法二：设上任意一点在矩阵所对应的线性变换作用下的像为点，则， 4分 其坐标变换公式为由此得 5分 代入方程，得. 6分 所以在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线方程为． 7分 ‎（2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程、极点坐标等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）将消去参数，得，‎ 所以的普通方程为：． 1分 将代入得， 2分 所以的极坐标方程为． 3分 ‎（Ⅱ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程得：． 4分 由 5分 解得或 6分 所以与交点的极坐标分别为或． 7分 ‎（3）本小题主要考查平均值不等式、解含有绝对值号的不等式等基础知识，考查推理论证能力, 考查化归与转化思想．满分7分．‎ 解：（Ⅰ）因为,，根据三个正数的算术—几何平均不等式，得 ‎，当且仅当，即时等号成立， 1分 又因为函数的最小值为，所以， 2分 解得． 3分 ‎（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：．‎ 原不等式等价于或或 5分 所以或或， 6分 解得．所以原不等式解集为． 7分 解法二：由（Ⅰ）得：．‎ 由绝对值的几何意义，可知该不等式即求数轴上到点和点的距离之和不大于的点的集合． 5分 故原不等式解集为． 7分