【数学】2019届一轮复习北师大版　参数方程学案

【数学】2019届一轮复习北师大版　参数方程学案

第2讲　参数方程 ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．‎ ‎(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝k(x－x0)‎ ‎(t为参数)‎ 圆 ‎(x－x0)2＋(y－y0)2‎ ‎＝R2‎ ‎(θ为参数且0≤θ<2π)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ ‎(t为参数且0≤t<2π)‎ 抛物线 y2＝2px(p>0)‎ (t为参数)‎ ‎[提醒]　(1)参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝.‎ ‎(2)利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题，常转化三角函数最值问题．‎ ‎(3)将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注意x，y的取值范围，保持等价转化．‎ ‎(4)确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．‎ 解：直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ 所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，‎ 则3－a＝0，‎ 所以a＝3.‎ ‎ 已知两曲线参数方程分别为(0≤θ≤π)和(t∈R)，求它们的交点坐标．‎ 解：根据题意，两曲线分别是椭圆＋y2＝1的上半部分和开口向右的抛物线y2＝x，联立易得它们的交点坐标为.‎ ‎ 如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．‎ 解：圆的半径为，记圆心为C，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝＋cos 2θ＝cos2θ，‎ yP＝sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．‎ 所以圆的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎ 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．‎ 解：化为直角坐标方程，利用圆的几何性质求解．直线l的普通方程是x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0，标准方程为(x－2)2＋y2＝4.圆心(2，0)到直线的距离为＝，‎ 所以直线l被圆C截得的弦长为2＝2＝2.‎ 参数方程与普通方程的互化 ‎ [典例引领]‎ ‎ 已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(θ为参数)．化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．‎ ‎【解】　曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：＋＝1，‎ 曲线C1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；‎ 曲线C2是中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．‎ 将参数方程化为普通方程的方法 ‎(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．‎ ‎(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．　 ‎ ‎ 将下列参数方程化为普通方程．‎ ‎(1)　(2) 解：(1)两式相除，得k＝，‎ 将其代入得x＝，‎ 化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．‎ ‎(2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)，x＝1－sin 2θ∈[0，2]，得y2＝2－x.‎ 即所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0，2]．‎ 参数方程的应用 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.‎ ‎【解】 (1)曲线C的普通方程为＋y2＝1.‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.‎ 由 解得，或 从而C与l的交点坐标为(3，0)，.‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为d＝.‎ 当a≥－4时，d的最大值为.‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝8；‎ 当a<－4时，d的最大值为，‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16.‎ 综上，a＝8或a＝－16.‎ ‎(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．‎ ‎(2)根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：‎ 过定点M0的直线与圆锥曲线相交，交点为M1，M2，所对应的参数分别为t1，t2.‎ ‎①弦长l＝|t1－t2|；‎ ‎②弦M1M2的中点⇒t1＋t2＝0；‎ ‎③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.　 ‎ ‎　(2018·广东惠州模拟)在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，l与C分别交于点M，N.‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程；‎ ‎(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．‎ 解：(1)曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)；‎ 直线l的普通方程为x－y－2＝0.‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入C的直角坐标方程，可得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.(*)‎ 由题意知Δ＝8a(4＋a)>0，‎ 又a>0，所以4＋a>0.‎ 设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1，t2恰为方程(*)的根．‎ 易知|PM|＝|t1|，|PN|＝|t2|，|MN|＝|t1－t2|，‎ 由题设得(t1－t2)2＝|t1t2|，‎ 即(t1＋t2)2－4t1t2＝|t1t2|.‎ 又由(*)得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)>0，‎ 则有(4＋a)2－5(4＋a)＝0，‎ 解得a＝1或a＝－4.‎ 因为a>0，所以a＝1.‎ 极坐标方程与参数方程的综合问题 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2018·贵州省适应性考试)曲线C1的参数方程为(α为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ.‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)过原点且倾斜角为α(<α≤)的射线l与曲线C1，C2分别相交于A，B两点(A，B异于原点)，求|OA|·|OB|的取值范围．‎ ‎【解】 (1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，‎ 即x2＋y2－4x＝0，‎ 故曲线C1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.‎ 由曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos2θ＝ρsin θ，‎ 故曲线C2的直角坐标方程为x2＝y.‎ ‎(2)法一：射线l的极坐标方程为θ＝α，<α≤，‎ 把射线l的极坐标方程代入曲线C1的极坐标方程得|OA|＝ρ＝4cos α，‎ 把射线l的极坐标方程代入曲线C2的极坐标方程得|OB|＝ρ＝，‎ 所以|OA|·|OB|＝4cos α·＝4tan α，‎ 因为<α≤，‎ 所以|OA|·|OB|的取值范围是.‎ 法二：射线l的参数方程为(t为参数，<α≤)．‎ 把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得t2－4tcos α＝0.‎ 解得t1＝0，t2＝4cos α.故|OA|＝|t2|＝4cos α.‎ 同理可得|OB|＝，‎ 所以|OA|·|OB|＝4cos α·＝4tan α，‎ 因为<α≤，‎ 所以|OA|·|OB|的取值范围是.‎ 涉及参数方程和极坐标方程的综合问题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．　 ‎ ‎ (2018·成都市第一次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ－4sin θ＝0.‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点P(1，0)．若点M的极坐标为，直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．‎ 解：(1)因为直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 所以直线l的普通方程为y＝tan α·(x－1)．‎ 由ρcos2θ－4sin θ＝0得ρ2cos2θ－4ρsin θ＝0，即x2－4y＝0.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＝4y.‎ ‎(2)因为点M的极坐标为，所以点M的直角坐标为(0，1)．‎ 所以tan α＝－1，直线l的倾斜角α＝.‎ 所以直线l的参数方程为(t为参数)．‎ 代入x2＝4y，得t2－6t＋2＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2.‎ 因为Q为线段AB的中点，‎ 所以点Q对应的参数值为＝＝3.‎ 又点P(1，0)，则|PQ|＝||＝3.‎ ‎ 直线参数方程的应用 已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|| ||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝.‎ ‎(2)若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.‎ ‎(3)若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.‎ ‎[注意]　在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．‎ ‎ 圆的参数方程的应用 ‎(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．‎ ‎(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．‎ ‎[注意]　把曲线的参数方程化为普通方程或极坐标方程时易忽视参数的范围而导致出错．‎ ‎ 圆与椭圆参数方程的异同 圆 椭圆 不同点 参数的几何意义为圆心角 参数的几何意义为离心角 相同点 利用三角代换可由一般方程化为参数方程 ‎1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l的参数方程为 (t为参数，α为直线的倾斜角)．‎ ‎(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求角α的大小．‎ 解：(1)当α＝时，直线l的普通方程为x＝－1；‎ 当α≠时，直线l的普通方程为y＝(x＋1)tan α.‎ 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，‎ 所以x2＋y2＝2x，‎ 即为曲线C的直角坐标方程．‎ ‎(2)把x＝－1＋tcos α，y＝tsin α代入x2＋y2＝2x，整理得t2－4tcos α＋3＝0.‎ 由Δ＝16cos2α－12＝0，得cos2α＝，‎ 所以cos α＝或cos α＝－，‎ 故直线l的倾斜角α为或.‎ ‎2．以极点为原点，以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝10，曲线C′的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)判断两曲线C和C′的位置关系；‎ ‎(2)若直线l与曲线C和C′均相切，求直线l的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝10得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝100，‎ 由得曲线C′的普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝25.‎ 曲线C表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；‎ 曲线C′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．‎ 因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C和圆C′的位置关系是内切．‎ ‎(2)由(1)建立方程组 解得可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为，‎ 所以直线l的直角坐标方程为y＋8＝(x－6)，‎ 即3x－4y－50＝0，‎ 所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.‎ ‎3．(2018·惠州市第三次调研考试)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是 (t为参数)．‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的倾斜角α的值．‎ 解：(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ.‎ 因为x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，‎ 即(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)将代入曲线C的方程得(tcos α－1)2＋(tsin α)2＝4，‎ 化简得t2－2tcos α－3＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则.‎ 所以|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，‎ 所以4cos2α＝2，cos α＝±，α＝或.‎ ‎4．(2018·陕西省高三教学质量检测试题(一))已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(1)判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．‎ 解：(1)直线l的普通方程为x－y＋4＝0.‎ 曲线C的直角坐标方程为＋＝1.‎ 圆心到直线x－y＋4＝0的距离 d＝＝5>1，‎ 所以直线l与曲线C的位置关系是相离．‎ ‎(2)设M，(θ为MC与x轴正半轴所成的角)‎ 则x＋y＝sin.‎ 因为0≤θ<2π，‎ 所以x＋y∈[－，]．‎ ‎5．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2－2x＋y2＝0，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(1)写出C的极坐标方程，并求l与C的交点M，N的极坐标；‎ ‎(2)设P是椭圆＋y2＝1上的动点，求△PMN面积的最大值．‎ 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 直线l的直角坐标方程为y＝x.‎ 联立方程组 解得或 所以点M，N的极坐标分别为(0，0)，.‎ ‎(2)由(1)易得|MN|＝.‎ 因为P是椭圆＋y2＝1上的动点，‎ 设P点坐标为(cos θ1，sin θ1)．‎ 则P到直线y＝x的距离 d＝，‎ 所以S△PMN＝|MN|d＝×× ‎＝≤1，‎ 当θ1＝kπ－，k∈Z时，S△PMN取得最大值1.‎ ‎1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程；‎ ‎(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ 解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．‎ 设P(x，y)，由题设得 消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．‎ 联立 得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝，‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.‎ ‎2．(2018·安徽省两校阶段性测试)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝－.‎ ‎(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．‎ 解：(1)由，消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，‎ 所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.‎ 由ρcos (θ＋)＝－，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2，0)，B(0，2)，化为极坐标为A(2，π)，B，‎ 设点P的坐标为(－5＋cos t，3＋sin t)，则点P到直线l的距离为 d＝ ‎＝.‎ 所以dmin＝＝2，‎ 又|AB|＝2.‎ 所以△PAB面积的最小值是S＝×2×2＝4.‎ ‎3．(2018·南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．‎ 解：(1)因为曲线C1的参数方程为，‎ 所以其普通方程为x－y－a＋1＝0.‎ 因为曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，‎ 所以ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，‎ 所以x2＋4x－x2－y2＝0，‎ 即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，‎ 由，‎ 得2t2－2t＋1－4a＝0.‎ Δ＝(2)2－4×2(1－4a)>0，‎ 即a>0，由根与系数的关系得 根据参数方程的几何意义可知|PA|＝2|t1|，|PB|＝2|t2|，‎ 又|PA|＝2|PB|可得2|t1|＝2×2|t2|，‎ 即t1＝2t2或t1＝－2t2.‎ 所以当t1＝2t2时，有，‎ 解得a＝>0，符合题意．‎ 当t1＝－2t2时，有，‎ 解得a＝>0，符合题意．‎ 综上所述，实数a的值为或.‎