2018年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）

2018年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）

‎2018年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＞1}，则A∪B=（　　）‎ A．（0，1） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）‎ ‎2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若是纯虚数，则a=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎3．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎4．（5分）下列说法中正确的是（　　）‎ A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法 B．线性回归直线不一定过样本中心点 C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1‎ D．设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则 ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（　　）‎ A．2 B．1 C． D．﹣1‎ ‎6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+φ）在上单调递减，则φ的值可能是（　　）‎ A．2π B．π C． D．‎ ‎7．（5分）已知α是锐角，若，则cos2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．若a1=1，a5=4，则a3=﹣2 B．若a1+a3＞0，则a2+a4＞0‎ C．若a2＞a1，则a3＞a2 D．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a2‎ ‎9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎10．（5分）已知实数a，b满足，则当时，的最大值是（　　）‎ A．5 B．2 C． D．‎ ‎11．（5分）当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[0，1）∪（1，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）‎ ‎12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，△PnPn+1Pn+2的面积为Sn，则（　　）‎ A．{Sn}是常数列 B．{Sn}不是单调数列 C．{Sn}是递增数列 D．{Sn}是递减数列 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）（1+x）（1﹣x）6的展开式中，x3的系数是　 　．（用数字作答）‎ ‎14．（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是　 　．‎ ‎15．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围是　 　．‎ ‎16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an+log2an}的前n项和．‎ ‎18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若，点D在边AB上，CD=BD，求CD的长．‎ ‎19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．‎ 表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 ‎[95，100）‎ ‎[100，105）‎ ‎[105，110）‎ ‎[110，115）‎ ‎[115，120）‎ ‎[120，125]‎ 频数 ‎1‎ ‎4‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎1‎ 图1：乙套设备的样本的频率分布直方图 ‎（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 ‎（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率．若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）．‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎．‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点处的切线方程为：．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）设k∈R，求函数在上的最大值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；‎ ‎（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b≤．‎ ‎　‎ ‎2018年四川省内江市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＞1}，则A∪B=（　　）‎ A．（0，1） B．（﹣1，+∞） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）‎ ‎【解答】解：集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，‎ B={x|2x＞1}={x|x＞0}，‎ 则A∪B={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若是纯虚数，则a=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1‎ ‎【解答】解：∵=是纯虚数，‎ ‎∴，解得a=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【解答】解：对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．‎ 对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．‎ 对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．‎ 对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）下列说法中正确的是（　　）‎ A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法 B．线性回归直线不一定过样本中心点 C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1‎ D．设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则 ‎【解答】解：在A中，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，‎ 然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法，故A错误；‎ 在B中，线性回归直线一定过样本中心点，故B错误；‎ 在C中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误；‎ 在D中，设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则由正态分布性质得，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（　　）‎ A．2 B．1 C． D．﹣1‎ ‎【解答】解：当a=2，k=0时，执行循环a=﹣1，满足继续循环的条件，k=1；‎ 执行循环a=，满足继续循环的条件，k=2；‎ 执行循环a=2，满足继续循环的条件，k=3； ‎ 执行循环a=﹣1，满足继续循环的条件，k=4；‎ 执行循环a=，满足继续循环的条件，k=5；‎ 执行循环a=2，不满足继续循环的条件，‎ 故输出的结果为2，‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+φ）在上单调递减，则φ的值可能是（　　）‎ A．2π B．π C． D．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）在上单调递减，‎ 则，可得φ，k∈Z．‎ ‎∴φ=‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．（5分）已知α是锐角，若，则cos2α=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵已知α是锐角，若，∴cos（α﹣）==，‎ 则cos2α=sin（﹣2α）=﹣sin（2α﹣）=﹣2sin（α﹣）cos（α﹣）=﹣2××=﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是（　　）‎ A．若a1=1，a5=4，则a3=﹣2 B．若a1+a3＞0，则a2+a4＞0‎ C．若a2＞a1，则a3＞a2 D．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a2‎ ‎【解答】解：A．由等比数列的性质可得：=a1•a5=4，由于奇数项的符号相同，可得a3=2，因此不正确．‎ B．a1+a3＞0，则a2+a4=q（a1+a3），其正负由q确定，因此不正确；‎ C．若a2＞a1，则a1（q﹣1）＞0，于是a3﹣a2=a1q（q﹣1），其正负由q确定，因此不正确；‎ D．若a2＞a1＞0，则a1q＞a1＞0，可得a1＞0，q＞1，∴1+q2＞2q，则a1（1+q2）＞2a1q，即a1+a3＞2a2，因此正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2|x|，‎ ‎∴f（3）=9﹣8=1＞0，故排除C，D，‎ ‎∵f（0）=﹣1，f（）=﹣2=0.25﹣＜﹣1，故排除A，‎ 故选：B 当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣2xln2，‎ 故选：B ‎　‎ ‎10．（5分）已知实数a，b满足，则当时，的最大值是（　　）‎ A．5 B．2 C． D．‎ ‎【解答】解：当时，=asin2θ+bcos2θ=sin（2θ+φ），取值tanφ=，‎ 作出实数a，b满足的可行域如图：‎ 由可行域可知|AO|的距离是最大值，由，解得A（3，1），‎ ‎=，‎ 当时，2θ∈[0，]，‎ ‎=，时，tanφ==，‎ 所以的最大值是：．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（　　）‎ A．[0，1）∪（1，+∞） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）‎ ‎【解答】解：由题意令f（x）=x2+（1﹣a）x﹣alnx﹣2a+a2，‎ 则f′（x）=x+（1﹣a）x﹣=，‎ a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，‎ x→0时，f（x）→﹣∞，故不合题意，‎ a=0时，f（x）=x2+x＞0，符合题意，‎ a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，‎ 故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，‎ 故f（x）min=f（a）=a（a﹣1﹣lna），‎ 令h（a）=a﹣1﹣lna，（a＞0），‎ 故h′（a）=1﹣=，‎ 令h′（a）＞0，解得：a＞1，令h′（a）＜0，解得：0＜a＜1，‎ 故h（a）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，‎ 故h（a）≥h（1）=0，‎ 故a﹣1﹣lna≥0，‎ 故a＞0时，只要a≠1，则h（a）＞0，‎ 综上，a∈[0，1）∪（1，+∞），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，△PnPn+1Pn+2的面积为Sn，则（　　）‎ A．{Sn}是常数列 B．{Sn}不是单调数列 C．{Sn}是递增数列 D．{Sn}是递减数列 ‎【解答】解：根据题意，函数f1（x）=xex，‎ 其导数f1′（x）=（x）′ex+x（ex）′=（x+1）ex，‎ 分析可得在（﹣∞，﹣1）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，‎ 在（﹣1，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，‎ 曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣1，﹣），‎ 对于函数f2（x）=f1′（x）=（x+1）ex，‎ 其导数f2′（x）=（x+1）′ex+（x+1）（ex）′=（x+2）ex，‎ 分析可得在（﹣∞，﹣2）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，‎ 在（﹣2，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，‎ 曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣2，﹣），‎ ‎…‎ 分析可得曲线y=fn（x）的最低点Pn，其坐标为（﹣n，﹣）；‎ 则Pn+1（﹣n﹣1，﹣），Pn+2（﹣n﹣2，﹣）；‎ ‎∴|PnPn+1|==，‎ 直线PnPn+1的方程为，即为（e﹣1）x+en+1y+e﹣n=0，‎ 故点Pn+2到直线PnPn+1的距离d=，‎ ‎∴Sn=|PnPn+1|•d=，‎ 设g（n）=，易知函数g（n）为单调递减函数，‎ 故{Sn}是递减数列，‎ 故选：D ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．（5分）（1+x）（1﹣x）6的展开式中，x3的系数是　﹣5　．（用数字作答）‎ ‎【解答】解：（1﹣x）6展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣x）r，‎ ‎∴（1+x）（1﹣x）6的展开式中，x3的系数是 ‎•（﹣1）3+•（﹣1）2=﹣20+15=﹣5．‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是　乙　．‎ ‎【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，‎ 则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；‎ 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，‎ 则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；‎ 假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，‎ 则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意．‎ 故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙．‎ 故答案为：乙．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围是　（﹣∞，2）　．‎ ‎【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（﹣x﹣1）]=﹣x（x+1），‎ ‎①若x＜0，则x﹣1＜﹣1，‎ 由f（x）+f（x﹣1）＜2得﹣x（x+1）﹣（x﹣1）x＜2，‎ 即﹣2x2＜2，即x2＞﹣1，此时恒成立，此时x＜0．‎ ‎②若x≥1，则x﹣1≥0，‎ 由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2）＜2，‎ 即x2﹣2x＜0，即0＜x＜2，此时1≤x＜2，‎ ‎③若0≤x＜1，则x﹣1＜0，‎ 则由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）﹣（x﹣1）x＜2，‎ 即0＜2，此时不等式恒成立，此时0≤x＜1，‎ 综上x＜2，‎ 即不等式的解集为（﹣∞，2），‎ 故答案为：（﹣∞，2）‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是　　．‎ ‎【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，‎ 菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，‎ 可设P（0，b），且﹣1≤b≤1；‎ ‎∴A（﹣，0），C（，0），D（0，1），‎ ‎∴=（﹣，﹣b），=（，﹣b），=（0，1﹣b），‎ ‎∴+=（，1﹣2b），‎ ‎∴=﹣3﹣b（1﹣2b）=﹣3﹣b+2b2=2﹣，‎ 当且仅当b=时，取得最小值﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列{an+log2an}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}满足 ‎∴当n≥2时，…（2分）‎ ‎∴当n≥2时，2n﹣1an=1，‎ 即…（4分）‎ 当n=1时，an=1满足上式 ‎∴数列{an}的通项公式…（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，…（7分）‎ ‎∴（a1+log2a1）+（a2+log2a2）+（a3+log2a3）+…+（an+log2an），‎ ‎=…（9分）‎ ‎=…（12分）‎ ‎　‎ ‎18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若，点D在边AB上，CD=BD，求CD的长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵bcosC+csinB=0‎ ‎∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0，‎ ‎∵0＜B＜π ‎∴sinB＞0，于是cosC+sinC=0，即tanC=﹣1，‎ ‎∵0＜C＜π ‎∴，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，‎ ‎∴c=5，‎ ‎∴，‎ ‎∵在△BCD中，CD=BD ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．‎ 表1：甲套设备的样本的频数分布表 质量指标值 ‎[95，100）‎ ‎[100，105）‎ ‎[105，110）‎ ‎[110，115）‎ ‎[115，120）‎ ‎[120，125]‎ 频数 ‎1‎ ‎4‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎1‎ 图1：乙套设备的样本的频率分布直方图 ‎（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 ‎（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；‎ ‎（Ⅲ）将频率视为概率．若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）．‎ 附：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表：‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 ‎48‎ ‎43‎ ‎91‎ 不合格品 ‎2‎ ‎7‎ ‎9‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ ‎…（3分）‎ 将列联表中的数据代入公式计算得 ‎；…（5分）‎ ‎∵3.053＞2.706，‎ ‎∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；…（6分）‎ ‎（Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，‎ 乙套设备生产的合格品的概率约为，‎ 甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115）之间，‎ 乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；‎ 因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，‎ 从而甲套设备优于乙套设备；…（9分）‎ ‎（Ⅲ）由题知，不合格品的概率为P==，‎ 且X～B（3，），…（11分）‎ ‎∴X的数学期望为．…（12分）‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点处的切线方程为：．‎ ‎（Ⅰ）求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）设k∈R，求函数在上的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由切线方程知，当时，y=0，‎ ‎∴，‎ ‎∵f'（x）=acosx﹣bsinx，‎ ‎∴由切线方程知，，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ ‎∴g（x）=kx﹣sinx，g'（x）=k﹣cosx，‎ ‎当k≤0时，当时，g'（x）≤0，故g（x）单调递减，‎ ‎∴g（x）在上的最大值为g（0）=0；‎ ‎②当0＜k＜1时，‎ ‎∵g'（0）=k﹣1＜0，，‎ ‎∴存在，使g'（x0）=0，‎ 当x∈[0，x0）时，g'（x）＜0，故g（x）单调递减，‎ 当时，g'（x）＞0，故g（x）单调递增．‎ ‎∴g（x）在上的最大值为g（0）或，‎ 又g（0）=0，，‎ ‎∴当时，g（x）在上的最大值为g（0）=0，‎ 当时，g（x）在上的最大值为，‎ ‎ƒ当k≥1时，当时，g'（x）≥0，故g（x）单调递增，‎ ‎∴g（x）在上的最大值为．‎ 综上所述，当时，g（x）在上的最大值为g（0）=0‎ 当时，g（x）在上的最大值为．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；‎ ‎（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：设h（x）=ex﹣x﹣1，则h'（x）=ex﹣1，‎ 令h'（x）=0，得x=0，‎ 当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，‎ 当x∈（0，+∞）时，h'（x）≥0，h（x）单调递增，‎ ‎∴h（x）≥h（0）=0，当且仅当x=0时取等号，‎ ‎∴对任意x∈R，ex≥x+1…（2分）‎ ‎∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1‎ ‎∴当x＞﹣1时，x≥ln（x+1）‎ ‎∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx…（4分）‎ ‎（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，+∞）‎ 当m≤0时，由（Ⅰ）知，g（x）=ex﹣lnx﹣2﹣m＞﹣m≥0，故g（x）无零点…（6分）‎ 当m=1时，g（x）=ex﹣lnx﹣3，‎ ‎∵g'（1）=e﹣1＞0，，且g'（x）为（0，+∞）上的增函数 ‎∴g'（x）有唯一的零点 当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减 当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增 ‎∴g（x）的最小值为…（8分）‎ 由x0为g'（x）的零点知，，于是 ‎∴g（x）的最小值 由知，，即g（x0）＜0…（10分）‎ 又g（2）=e2+ln2﹣3＞0，‎ ‎∴g（x）在上有一个零点，在（x0，2）上有一个零点 ‎∴g（x）有两个零点…（11分）‎ 综上所述，m的最小值为1…（12分）‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：极坐标与参数方程]‎ ‎22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），‎ 直线的普通方程为，‎ 极坐标方程为．‎ 曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）‎ ‎（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ）‎ ‎∴，‎ ‎∵‎ ‎∴，‎ ‎∴射线OM的极坐标方程为．‎ 联立，‎ 解得ρ=3．‎ ‎∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．‎ ‎（Ⅰ）求m的值；‎ ‎（Ⅱ）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b≤．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|=，‎ ‎∴f（x）在[）上单调递增，在（）上单调递减 ‎∴f（x）的最小值为f（）=…（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2a2+b2=，‎ ‎∵2ab≤a2+b2，‎ ‎∴（2a+b）2=4a2+b2+4ab≤4（a2+b2）+2（a2+b2）=3（2a2+b2）=5，当a=b时取等 ‎∴2a+b≤…（10分）‎ ‎　‎