2018届高三数学一轮复习： 第7章 第2节 课时分层训练39

2018届高三数学一轮复习： 第7章 第2节 课时分层训练39

课时分层训练(三十九) 空间几何体的表面积与体积 A 组 基础达标 (建议用时：30 分钟) 一、选择题 1．(2014·全国卷Ⅱ)正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D 为 BC 中点，则三棱锥 AB1DC1 的体积为( ) A．3 B.3 2 C．1 D. 3 2 C [在正△ABC 中，D 为 BC 中点， 则有 AD＝ 3 2 AB＝ 3， S△DB1C1＝1 2 ×2× 3＝ 3. 又∵平面 BB1C1C⊥平面 ABC，AD⊥BC，AD⊂平面 ABC，∴AD⊥平面 BB1C1C，即 AD 为三棱锥 AB1DC1 底面上的高． ∴V 三棱锥 AB1DC1＝1 3S△DB1C1·AD＝1 3 × 3× 3＝1.] 2．已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上， 则该球的体积为( ) 【导学号：01772246】 A.32π 3 B.4π C．2π D.4π 3 D [依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径为 R， 则 2R＝ 12＋12＋ 22＝2，解得 R＝1，所以 V＝4π 3 R3＝4π 3 .] 3．(2016·山东高考)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图 728 所示，则该几何体的体积为( ) 图 728 A.1 3 ＋2 3π B.1 3 ＋ 2 3 π C.1 3 ＋ 2 6 π D.1＋ 2 6 π C [由三视图知，该四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视 图可得半球半径为 2 2 ，从而该几何体的体积为1 3 ×12×1＋1 2 ×4 3π× 2 2 3＝1 3 ＋ 2 6 π. 故选 C.] 4．某几何体的三视图如图 729 所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中 的 x 的值是( ) 图 729 【导学号：01772247】 A．2 B.9 2 C.3 2 D.3 D [由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且 S 底＝1 2 ×(1＋2)×2 ＝3， ∴V＝1 3x·3＝3，解得 x＝3.] 5．(2016·江南名校联考)一个四面体的三视图如图 7210 所示，则该四面体 的表面积是( ) 图 7210 A．1＋ 3 B.2＋ 3 C．1＋2 2 D.2 2 B [四面体的直观图如图所示． 侧面 SAC⊥底面 ABC，且△SAC 与△ABC 均为腰长是 2的等腰直角三角形， SA＝SC＝AB＝BC＝ 2，AC＝2. 设 AC 的中点为 O，连接 SO，BO，则 SO⊥AC， ∴SO⊥平面 ABC，∴SO⊥BO. 又 OS＝OB＝1，∴SB＝ 2， 故△SAB 与△SBC 均是边长为 2的正三角形，故该四面体的表面积为 2×1 2 × 2× 2＋2× 3 4 ×( 2)2＝2＋ 3.] 二、填空题 6．现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2，高为 8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的 新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为______． 【导学号：01772248】 7 [设新的底面半径为 r，由题意得 1 3 ×π×52×4＋π×22×8＝1 3 ×π×r2×4＋π×r2×8， ∴r2＝7，∴r＝ 7.] 7．一个六棱锥的体积为 2 3，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相 等，则该六棱锥的侧面积为________． 12 [设正六棱锥的高为 h，棱锥的斜高为 h′. 由题意，得1 3 ×6×1 2 ×2× 3×h＝2 3，∴h＝1， ∴斜高 h′＝ 12＋ 32＝2，∴S 侧＝6×1 2 ×2×2＝12.] 8．某几何体的三视图如图 7211 所示，则该几何体的体积为________． 图 7211 1 3 ＋π [由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由题 图中数据可得三棱锥的体积 V1 ＝1 3 ×1 2 ×2×1×1＝1 3 ，半圆柱的体积 V2 ＝ 1 2 ×π×12×2＝π，∴V＝1 3 ＋π.] 三、解答题 9．如图 7212，在三棱锥 DABC 中，已知 BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB ＋BD＝AC＋CD＝10，求三棱锥 DABC 的体积的最大值． 图 7212 [解] 由题意知，线段 AB＋BD 与线段 AC＋CD 的长度是定值，∵棱 AD 与 棱 BC 相互垂直，设 d 为 AD 到 BC 的距离，4 分 则 VDABC＝AD·BC×d×1 2 ×1 3 ＝2d， 当 d 最大时，VDABC 体积最大.8 分 ∵AB＋BD＝AC＋CD＝10， ∴当 AB＝BD＝AC＝CD＝5 时， d 有最大值 42－1＝ 15. 此时 V＝2 15.12 分 10．四面体 ABCD 及其三视图如图 7213 所示，平行于棱 AD，BC 的平面 分别交四面体的棱 AB，BD，DC，CA 于点 E，F，G，H. 图 7213 (1)求四面体 ABCD 的体积； (2)证明：四边形 EFGH 是矩形． [解] (1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝ DC＝2，AD＝1， ∴AD⊥平面 BDC，3 分 ∴四面体 ABCD 的体积 V＝1 3 ×1 2 ×2×2×1＝2 3.5 分 (2)证明：∵BC∥平面 EFGH，平面 EFGH∩平面 BDC＝FG，平面 EFGH∩ 平面 ABC＝EH，8 分 ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理 EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四边形 EFGH 是平行四边形． 又∵AD⊥平面 BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG. ∴四边形 EFGH 是矩形.12 分 B 组 能力提升 (建议用时：15 分钟) 1．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个 几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图 7214 所示．若该几何体的 表面积为 16＋20π，则 r＝( ) 图 7214 A．1 B.2 C.4 D.8 B [如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 r，圆 柱的底面半径为 r，高为 2r，则表面积 S＝1 2 ×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2. 又 S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选 B.] 2．已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H 为垂 足，α截球 O 所得截面的面积为π，则球 O 的表面积为________． 9 2π [如图，设球 O 的半径为 R，则由 AH∶HB＝1∶2 得 HA＝1 3·2R＝2 3R， ∴OH＝R 3. ∵截面面积为π＝π·(HM)2， ∴HM＝1. 在 Rt△HMO 中，OM2＝OH2＋HM2， ∴R2＝1 9R2＋HM2＝1 9R2＋1， ∴R＝3 2 4 ， ∴S 球＝4πR2＝4π· 3 2 4 2＝9 2π.] 3．(2016·全国卷Ⅰ)如图 7215，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形， PA＝6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E， 连接 PE 并延长交 AB 于点 G. 图 7215 (1)证明：G 是 AB 的中点； (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)，并求四面体 PDEF 的体积． [解] (1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D， 所以 AB⊥PD. 因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB⊥DE.3 分 因为 PD∩DE＝D，所以 AB⊥平面 PED，故 AB⊥PG. 又由已知可得，PA＝PB，所以 G 是 AB 的中点.5 分 (2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影.7 分 理由如下：由已知可得 PB⊥PA，PB⊥PC，又 EF∥PB，所以 EF⊥PA，EF ⊥PC.又 PA∩PC＝P，因此 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影． 连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的 中心．由(1)知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD＝2 3CG.10 分 由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE∥PC，因此 PE＝2 3PG， DE＝1 3PC. 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA＝6，可得 DE＝2，PE＝2 2. 在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF＝PF＝2， 所以四面体 PDEF 的体积 V＝1 3 ×1 2 ×2×2×2＝4 3.12 分