四川省棠湖中学2020届高三下学期第一次在线月考数学(理)试题

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四川省棠湖中学2020届高三下学期第一次在线月考数学(理)试题

‎2020年春四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题(60分)‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知复数满足(为虚数单位),则复数的共轭复数的虚部为 ‎ A.-1 B.‎1 ‎C. D.‎ ‎2.设,,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎3.公差不为零的等差数列的前n项和为是的等比中项,,则S10等于 A.18 B.‎24 ‎C.60 D.90‎ ‎4.函数的图像大致是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.某面粉供应商所供应的某种袋装面粉质量服从正态分布(单位:)现抽取500袋样本,表示抽取的面粉质量在的袋数,则的数学期望约为 ‎ 附:若,则,‎ A.171 B.‎239 ‎C.341 D.477‎ ‎6.已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为,为了得到函数的图象,只需将的图象 ‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎7.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积 (单位:cm3)是 A.8 B. C.16 D.16‎ ‎8.甲,乙,丙,丁四名学生,仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时,甲说:“丙或丁阅读了”;乙说:“丙阅读了”;丙说:“甲和丁都没有阅读”;丁说:“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的,那么读了该篇文章的学生是 ‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎9.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2,O为坐标原点,则△OFP的面积为 ‎ A. B.‎1 ‎C. D.2‎ ‎11.设,,,则,,的大小关系是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图,直角梯形,,,,是边中点,沿翻折成四棱锥,则点到平面距离的最大值为 A. B. C. D.‎ 第II卷 非选择题(90分)‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为______.‎ ‎14.若,,,成等比数列,且,,则公比______.‎ ‎15.若函数在上单调递增,则的取值范围是__________.‎ ‎16.已知函数的图象是以点为中心的中心对称图形,,曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直,则__________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)已知数列为等差数列,,且依次成等比数列.‎ ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎(II)设,数列的前项和为,若,求的值.‎ ‎18.(12分)“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款,大学生的微信好友中有400位好友参与了“微信运动”.他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友(女20人,男20人)在某天的走路步数,经统计,其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别:、0~2000步,(说明:“0~‎2000”‎表示“大于或等于0,小于‎2000”‎,以下同理),、2000~5000步,、5000~8000步,、8000~10000步,、10000~12000步,且三种类别的人数比例为,将统计结果绘制如图所示的柱形图;男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图.‎ 若某人一天的走路步数大于或等于8000,则被系统认定为“超越者”,否则被系统认定为“参与者”.‎ ‎(Ⅰ)若以大学生抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布,作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布,试估计大学生的参与“微信运动”的400位微信好友中,每天走路步数在2000~8000的人数;‎ ‎(Ⅱ)若在大学生该天抽取的步数在8000~12000的微信好友中,按男女比例分层抽取9人进行身体状况调查,然后再从这9位微信好友中随机抽取4人进行采访,求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率;‎ ‎(Ⅲ)请根据抽取的样本数据完成下面的列联表,并据此判断能否有的把握认为“认定类别”与“性别”有关?‎ ‎19.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为边长为2的菱形,∠DAB=60°,∠ADP=90°,面ADP⊥面ABCD,点F为棱PD的中点.‎ ‎(I)在棱AB上是否存在一点E,使得AF∥面PCE,并说明理由;‎ ‎(II)当二面角D﹣FC﹣B的余弦值为时,求直线PB与平面ABCD所成的角.‎ ‎20.(12分)已知椭圆:的短轴端点为,,点是椭圆上的动点,且不与,重合,点满足,.‎ ‎(Ⅰ)求动点的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)求四边形面积的最大值.‎ ‎21.(12分)已知设函数.‎ ‎(I)若,求极值;‎ ‎(II)证明:当,时,函数在上存在零点.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数,且,),曲线的参数方程为(为参数,且).以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(I)求与的交点到极点的距离;‎ ‎(II)设与交于点,与交于点,当在上变化时,求的最大值.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲(10分)‎ 设,且,记的最小值为.‎ ‎(I)求的值,并写出此时,的值;‎ ‎(II)解关于的不等式:.‎ ‎2020年春四川省棠湖中学高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1.A 2.B 3.C 4.A 5.B 6.D 7.B 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B ‎13. 14. 15. 16.‎ ‎17.解:(1)设数列{an}为公差为d的等差数列,‎ a7﹣a2=10,即5d=10,即d=2,‎ a1,a6,a21依次成等比数列,可得 a62=a‎1a21,即(a1+10)2=a1(a1+40),‎ 解得a1=5,‎ 则an=5+2(n﹣1)=2n+3;‎ ‎(2)bn(),‎ 即有前n项和为Sn()‎ ‎(),‎ 由Sn,可得5n=4n+10,解得n=10.‎ ‎18.(Ⅰ)所抽取的40人中,该天行走2000~8000步的人数:男12人,‎ 女14人,400位参与“微信运动”的微信好友中,每天行走2000~8000步的人数 约为:人;‎ ‎(Ⅱ)该天抽取的步数在8000~12000的人数:男8人,女4人,‎ 再按男女比例分层抽取9人,则其中男6人,女3人 所求概率(或) ‎ ‎(Ⅲ)完成列联表 参与者 超越者 合计 男 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 女 ‎16‎ ‎4‎ ‎20‎ 合计 ‎28‎ ‎12‎ ‎40‎ 计算,‎ 因为,所以没有理由认为“认定类别”与“性别”有关,‎ 即“认定类别”与“性别”无关 ‎19.(1)在棱AB上存在点E,使得AF∥面PCE,点E为棱AB的中点.‎ 理由如下:取PC的中点Q,连结EQ、FQ,由题意,FQ∥DC且,AE∥CD且,‎ 故AE∥FQ且AE=FQ.所以,四边形AEQF为平行四边形.所以,AF∥EQ,又EQ⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,‎ 所以,AF∥平面PEC.‎ ‎(2)由题意知△ABD为正三角形,所以ED⊥AB,亦即ED⊥CD,又∠ADP=90°,‎ 所以PD⊥AD,且面ADP⊥面ABCD,面ADP∩面ABCD=AD,‎ 所以PD⊥面ABCD,故以D为坐标原点建立如图空间坐标系,‎ 设FD=a,则由题意知D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),,‎ ‎,,设平面FBC的法向量为,‎ 则由得,令x=1,则,,‎ 所以取,显然可取平面DFC的法向量,‎ 由题意:,所以a=1.‎ 由于PD⊥面ABCD,所以PB在平面ABCD内的射影为BD,‎ 所以∠PBD为直线PB与平面ABCD所成的角,‎ 易知在Rt△PBD中,从而∠PBD=45°,‎ 所以直线PB与平面ABCD所成的角为45°.‎ ‎20.(Ⅰ)法一:设,, ‎ 直线 直线 ‎ 得 又,,‎ 整理得点的轨迹方程为 法二:设,, ‎ 直线 直线 ‎ 由,解得:,又,‎ 故,代入得.‎ 点的轨迹方程为 法三:设直线,则直线 ‎ 直线与椭圆的交点的坐标为.‎ 则直线的斜率为.‎ 直线 ‎ 由 解得:点的轨迹方程为:‎ ‎(Ⅱ)法一:设,由(Ⅰ)法二得:‎ 四边形的面积,‎ ‎,当时,的最大值为.‎ 法二:由(Ⅰ)法三得:四边形的面积 ‎ ‎ 当且仅当时,取得最大值.‎ ‎21.(1)当时,,定义域为,由得.‎ 当变化时,, 的变化情况如下表:‎ 极大值 故当时,取得极大值,无极小值. ‎ ‎(2),.‎ 当时,因为,所以,‎ 在单调递减.‎ 因为,,‎ 所以有且仅有一个,使,‎ 当时,,当时,,‎ 所以在单调递增,在单调递减.‎ 所以,而,‎ 所以在存在零点.‎ 当时,由(1)得,‎ 于是,所以.‎ 所以.‎ 于是.‎ 因为,所以所以在存在零点.‎ 综上,当,时,函数在上存在零点.‎ ‎22.(1)联立曲线的极坐标方程得: ,解得,即交点到极点的距离为. ‎ ‎(2)曲线的极坐标方程为,‎ 曲线的极坐标方程为联立得 即 曲线与曲线的极坐标方程联立得,‎ 即, ‎ 所以,其中的终边经过点,‎ 当,即时,取得最大值为.‎ ‎23.因为,所以,‎ 根据均值不等式有,‎ 当且仅当,即时取等号,所以M的值为 当时,原不等式等价于,‎ 解得;‎ 当时,原不等式等价于,‎ 解得;‎ 当时,原不等式等价于,‎ 解得;‎ 综上所述原不等式解集为.‎
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