【数学】2018届一轮复习人教A版直线、平面平行的判定与性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版直线、平面平行的判定与性质学案

第4讲　直线、平面平行的判定与性质 ‎,　　　　　　 　　[学生用书P131])‎ ‎1．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)‎ 因为l∥a，‎ a⊂α，l⊄α，‎ 所以l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)‎ 因为l∥α，‎ l⊂β，‎ α∩β＝b，‎ 所以l∥b ‎2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)‎ 因为a∥β，‎ b∥β，‎ a∩b＝P，‎ a⊂α，b⊂α，‎ 所以α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 因为α∥β，‎ α∩γ＝a，‎ β∩γ＝b，‎ 所以a∥b ‎1．辨明两个易误点 ‎(1)直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．‎ ‎(2)面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．‎ ‎2．线面、面面平行的判定中所遵循的原则 一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，不可过于“模式化”．‎ ‎1．(2017·大连模拟)对于直线m，n和平面α，若n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎[答案] D ‎2. 下列命题为真的是(　　)‎ A．若直线l与平面α有两个公共点，则l⊄α B．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 C．若α∥β，a⊂α，则a∥β D．若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交 ‎　C　[解析] A错误．直线l和平面有两个公共点，则l⊂α.‎ B错误．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b异面或平行．‎ C正确．因为a与β无公共点，则a∥β.‎ D错误．a与β有可能平行．故选C.‎ ‎3. 如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)‎ A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交 ‎　D　[解析] 因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.‎ ‎4. 设m，n表示直线，α、β表示平面，则下列命题为真的是(　　)‎ A．⇒m∥n　　　　　　　 B．⇒m∥β C．⇒m∥n D．⇒m∥n ‎　C　[解析] A错误，因为m可能与n相交或异面．‎ B错误，因为m可能在β内．‎ D错误，m、n可能异面相交，故选C.‎ ‎　线面平行的判定与性质(高频考点)[学生用书P131]‎ 平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行在高考试题中出现的频率很高，一般出现在解答题中．‎ 高考对线面平行的判定及性质的考查主要有以下三个命题角度：‎ ‎(1)判断线面的位置关系；‎ ‎(2)线面平行的证明；‎ ‎(3)线面平行性质的应用．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．‎ ‎(1)证明MN∥平面PAB；‎ ‎(2)求四面体NBCM的体积．‎ ‎【解】　‎ ‎(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.‎ 取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，‎ TN＝BC＝2.‎ 又AD∥BC，‎ 故TNAM，‎ 四边形AMNT为平行四边形，‎ 于是MN∥AT.‎ 因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，‎ 所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，‎ 所以N到平面ABCD的距离为PA.‎ 取BC的中点E，连接AE，‎ 由AB＝AC＝3，‎ 得AE⊥BC，AE＝＝.‎ 由AM∥BC，得M到BC的距离为，‎ 故S△BCM＝×4×＝2.‎ 所以四面体NBCM的体积VNBCM＝×S△BCM×＝.‎ 判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点)；‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．　 ‎ ‎[题点通关]‎ ‎ 角度一　判断线面的位置关系 ‎1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．‎ ‎[解析] 如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，‎ 而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，‎ 所以BD1∥平面ACE.‎ ‎[答案] 平行 ‎ 角度二　线面平行的证明 ‎2．如图，四棱锥PABCD中AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．‎ ‎(1)求证：AP∥平面BEF；‎ ‎(2)求证：GH∥平面PAD.‎ ‎[证明] (1)连接EC，因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BCAE，‎ 所以四边形ABCE是平行四边形，所以O为AC的中点．‎ 又因为F是PC的中点，‎ 所以FO∥AP，‎ FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，‎ 所以AP∥平面BEF.‎ ‎(2)连接FH，OH，‎ 因为F，H分别是PC，CD的中点，‎ 所以FH∥PD，所以FH∥平面PAD.‎ 又因为O是BE的中点，H是CD的中点，‎ 所以OH∥AD，所以OH∥平面PAD.‎ 又FH∩OH＝H，‎ 所以平面OHF∥平面PAD.‎ 又因为GH⊂平面OHF，‎ 所以GH∥平面PAD.‎ ‎ 角度三　线面平行性质的应用 ‎3. 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.‎ ‎[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，‎ 因为四边形ABCD是平行四边形，‎ 所以O是AC的中点，又M是PC的中点，‎ 所以PA∥MO.‎ 又MO⊂平面MBD，‎ 所以PA∥平面MBD.‎ 因为平面PAHG∩平面BMD＝GH，‎ 且PA⊂平面PAHG，‎ 所以AP∥GH.‎ ‎　面面平行的判定与性质[学生用书P132]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎【证明】　(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.‎ 又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，‎ 所以B，C，H，G四点共面．‎ ‎(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，‎ 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ 所以EF∥平面BCHG.‎ 因为A1GEB，‎ 所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.‎ 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ 所以A1E∥平面BCHG.‎ 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.‎ 在本例条件下，线段BC1上是否存在一点M使得EM∥平面A1ACC1?‎ ‎[解] 存在．当M为BC1的中点时成立．‎ 证明如下：连接EM，AC1(图略)，在△ABC1中，‎ E，M分别为AB，BC1的中点，‎ 所以EMAC1，又EM⊄平面A1ACC1，‎ AC1⊂平面A1ACC1，所以EM∥平面A1ACC1.‎ 判定面面平行的方法 ‎(1)利用定义，即证两个平面没有公共点(不常用)；‎ ‎(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)；‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)；‎ ‎(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用)．　 ‎ ‎　一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；‎ ‎(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎[解] (1)点F，G，H的位置如图所示．‎ ‎(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：‎ 因为ABCDEFGH为正方体，‎ 所以BC∥FG，BC＝FG，‎ 又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，‎ 于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.‎ 又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，‎ 所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.‎ 又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.‎ ‎　平行关系的综合应用[学生用书P133]‎ ‎[典例引领]‎ ‎　(2017·洛阳月考)如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．‎ ‎(1)求证：BE∥平面DMF；‎ ‎(2)求证：平面BDE∥平面MNG.‎ ‎【证明】　(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，‎ 又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，‎ 所以BE∥平面DMF.‎ ‎(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，‎ 所以DE∥GN，‎ 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，‎ 所以DE∥平面MNG.‎ 又M为AB中点，‎ 所以MN为△ABD的中位线，‎ 所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，‎ 所以BD∥平面MNG，‎ 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，‎ 所以平面BDE∥平面MNG.‎ 空间平行关系的转化 平行关系之间的转化如图所示：‎ 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．　 ‎ ‎　如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：‎ ‎(1)直线EG∥平面BDD1B1；‎ ‎(2)平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎[证明] (1)如图，连接SB，‎ 因为E、G分别是BC、SC的中点，所以EG∥SB.‎ 又因为SB⊂平面BDD1B1，‎ EG⊄平面BDD1B1，‎ 所以直线EG∥平面BDD1B1.‎ ‎(2)连接SD，‎ 因为F、G分别是DC、SC的中点，所以FG∥SD.‎ 又因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，‎ 所以FG∥平面BDD1B1，又EG⊂平面EFG，‎ FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，‎ 所以平面EFG∥平面BDD1B1.‎ ‎,　　　　　　 　　[学生用书P134])‎ ‎——立体几何中的探索性问题的求解方法 ‎　如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解】　点E为AB的中点时DE∥平面AB1C1，证明如下：‎ 法一：取AB1的中点F，连接DE、EF、FC1，‎ 因为E、F分别为AB、AB1的中点，‎ 所以EF∥BB1且EF＝BB1.‎ 在三棱柱ABCA1B1C1中，‎ DC1∥BB1且DC1＝BB1，‎ 所以EFDC1，四边形EFC1D为平行四边形，所以ED∥FC1.又ED⊄平面AB1C1，FC1⊂平面AB1C1，‎ 所以ED∥平面AB1C1.‎ 法二：取BB1的中点H，连接EH，DH，DE，‎ 因为E，H分别是AB，BB1的中点，则EH∥AB1.又EH⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，‎ 所以EH∥平面AB1C1，又HD∥B1C1，‎ 同理可得HD∥平面AB1C1，又EH∩HD＝H，‎ 所以平面EHD∥平面AB1C1，‎ 因为ED⊂平面EHD，所以ED∥平面AB1C1.‎ ‎　(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设．‎ ‎(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．‎ ‎　如图，在四棱锥SABCD中，已知底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝.‎ ‎(1)求四棱锥SABCD的体积；‎ ‎(2)在棱SD上找一点E，使CE∥平面SAB，并证明．‎ ‎[解] (1)因为SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝，SA＝2，‎ 所以AD＝3.‎ 由题意知四棱锥SABCD的底面为直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，‎ VSABCD＝×SA××(BC＋AD)×AB ‎＝×2××(2＋3)×2＝.‎ ‎(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时，可使CE∥平面SAB.‎ 证明如下：取SD上靠近D的三等分点为E，取SA上靠近A的三等分点为F，连接CE，EF，BF，‎ 则EFAD，BCAD，‎ 所以BCEF，所以CE∥BF.‎ 又因为BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，‎ 所以CE∥平面SAB.‎ ‎,　　　　　　　 　　[学生用书P273(独立成册)])‎ ‎1．设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．m∥l1且n∥l2　　　　　 B．m∥β且n∥l2‎ C．m∥β且n∥β D．m∥β且l1∥α ‎　A　[解析] 由m∥l1，m⊂α，得l1∥α，同理l2∥α，又l1，l2相交，l1，l2⊂β，所以α∥β，反之不成立，所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一个充分不必要条件．‎ ‎2．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　)‎ A．①③ B．②③‎ C．①④ D．②④‎ ‎　C　[解析] 对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．‎ ‎3．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：‎ ‎①若a∥b，b⊂α，则a∥α；‎ ‎②若a∥b，a∥α，则b∥α；‎ ‎③若a∥α，b∥α，则a∥b.‎ 其中真命题的个数是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ ‎　A　[解析] 对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①是假命题；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②是假命题；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．‎ ‎4. 如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则(　　)‎ A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形 ‎　B　[解析] 由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EFBD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HGBD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．‎ ‎5．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；‎ ‎②若m∥l，且m∥α，则l∥α；‎ ‎③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；‎ ‎④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎　B　[解析] 由题易知①正确；②错误，l也可以在α内；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明，故选B.‎ ‎6．已知直线a，b异面，给出以下命题：‎ ‎①一定存在平行于a的平面α使b⊥α；‎ ‎②一定存在平行于a的平面α使b∥α；‎ ‎③一定存在平行于a的平面α使b⊂α；‎ ‎④一定存在无数个平行于a的平面α与b交于一定点．则其中论断正确的是(　　)‎ A．①④ B．②③‎ C．①②③ D．②③④‎ ‎　D　[解析] 对于①，若存在平面α使得b⊥α，则有b⊥a，而直线a，b未必垂直，因此①不正确；对于②，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面α，此时平面α与直线a，b均平行，因此②正确；对于③，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面α，此时平面α与直线a平行，且b⊂α，因此③正确；对于④，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此④正确．综上所述，②③④正确．‎ ‎7．棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．‎ ‎[解析] 由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.‎ ‎[答案] ‎8．设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确条件的序号都填上)．‎ ‎[解析] 由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故填入的条件为①或③.‎ ‎[答案] ①或③‎ ‎9．已知平面α∥β，P∉α且P∉ β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．‎ ‎[解析] 如图1，因为AC∩BD＝P，‎ 图1‎ 所以经过直线AC与BD可确定平面PCD.‎ 因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，‎ β∩平面PCD＝CD，‎ 所以AB∥CD.所以＝，‎ 即＝，所以BD＝.‎ 如图2，同理可证AB∥CD.‎ 图2‎ 所以＝，即＝，‎ 所以BD＝24.综上所述，BD＝或24.‎ ‎[答案] 或24‎ ‎10. (2017·湖南省长沙一中高考模拟)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．‎ ‎[解析] 因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥PQ.‎ 又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，‎ 设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，‎ 所以△APM∽△DPQ.‎ 所以＝＝2，即PQ＝2PM.‎ 又知△APM∽△ADB，‎ 所以＝＝，‎ 所以PM＝BD，又BD＝a，所以PQ＝a.‎ ‎[答案] a ‎11．如图，在三棱台DEFABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.‎ ‎[证明] 如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.‎ 在三棱台DEFABC中，‎ AB＝2DE，点G为AC的中点，‎ 可得DF∥GC，DF＝GC，‎ 所以四边形DFCG为平行四边形，‎ 所以点O为CD的中点．‎ 又因为点H为BC的中点，‎ 所以OH∥BD.又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，‎ 所以BD∥平面FGH.‎ ‎12．如图，矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是________．‎ ‎①|BM|是定值；‎ ‎②点M在圆上运动；‎ ‎③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；‎ ‎④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE.‎ ‎[解析] 取DC中点N，连接MN，NB，则MN∥A1D，NB∥DE，‎ 所以平面MNB∥平面A1DE，‎ 因为MB⊂平面MNB，‎ 所以MB∥平面A1DE，④正确；‎ ‎∠A1DE＝∠MNB，MN＝A1D＝定值，NB＝DE＝定值，根据余弦定理得，MB2＝MN2＋NB2－2MN·NB·cos∠MNB，所以MB是定值．①正确；‎ B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的圆上，‎ ‎②正确；‎ 当矩形ABCD满足AC⊥DE时存在，其他情况不存在，‎ ‎③不正确．‎ 所以①②④正确．‎ ‎[答案] ①②④‎ ‎13. 如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.‎ ‎(1)求几何体ABCDFE的体积；‎ ‎(2)证明：平面ADE∥平面BCF.‎ ‎[解] (1)取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.‎ 因为AO⊥BC，AO⊂平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，‎ 所以AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.‎ 因为AO＝FG＝，‎ 所以VABCDFE＝×4××2＝.‎ ‎(2)证明：由(1)知AO∥FG，AO＝FG，‎ 所以四边形AOFG为平行四边形，所以AG∥OF.‎ 又因为DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面ADE，AG⊂平面ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，‎ 所以平面ADE∥平面BCF.‎ ‎14. (2017·阜阳月考)如图，在三棱锥ABOC 中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝，AB＝AC＝2，BC＝，D，E分别为AB，OB的中点．‎ ‎(1)求证：CO⊥平面AOB；‎ ‎(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解] (1)证明：因为AO⊥平面COB，‎ 所以AO⊥CO，AO⊥BO，‎ 即△AOC与△AOB为直角三角形．‎ 又因为∠OAB＝∠OAC＝，AB＝AC＝2，‎ 所以OB＝OC＝1.‎ 由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，‎ 可知△BOC为直角三角形．‎ 所以CO⊥ BO，‎ 又因为AO∩BO＝O，所以CO⊥平面AOB.‎ ‎(2)在线段CB上存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，此时F为线段CB的中点．‎ 证明如下，如图，连接DF，EF，因为D，E分别为AB，OB的中点，所以DE∥OA.‎ 又DE⊄平面AOC，所以DE∥平面AOC.‎ 因为E，F分别为OB，BC的中点，所以EF∥OC.‎ 又EF⊄平面AOC，‎ 所以EF∥平面AOC，‎ 又EF∩DE＝E，EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，‎ 所以平面DEF∥平面AOC.‎