2012泉州3月份质检理数试卷

2012泉州3月份质检理数试卷

‎ 准考证号 姓名 ‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 保密★启用前 ‎2012年泉州市普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. ‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎5.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 参考公式： ‎ 样本数据、、…、的标准差：‎ ‎，其中为样本平均数；‎ 柱体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 锥体体积公式：，其中为底面面积，为高；‎ 球的表面积、体积公式：，，其中为球的半径.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.‎ ‎1. 复数等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知集合，，则等于 A. B. C. D.‎ ‎（第4题图）‎ 结束 开始 输出S 是 否 ‎3. 已知，则等于 ‎　 　A．　　　B．　　　C．5　　D．25　 ‎ ‎4. 执行右侧框图所表达的算法，如果最后输出的值为，那么判断框中实数的取值范围是 A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎5. 下列四个条件：‎ ‎①，，均为直线； ②，是直线，是平面； ‎ ‎③是直线，，是平面；④，，均为平面.‎ 其中，能使命题“”成立的有 ‎　 A．1个　　　 B．2个　 　C．3个　 　　 D．4个 ‎6. 已知实数满足则的最大值是 A．5　　 　B．‎-1　‎‎ ‎ 　 C．2　　 　 D. ‎ ‎7. 已知二次函数，则“”是“函数在单调递增”的 A．充要条件　 　 B．充分不必要条件　　‎ C．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎8. 已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足，则椭圆的离心率为 ‎　 A．　　　 B．　 　　C．　　 　D．‎ ‎9. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：‎ ‎（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3，……,100；‎ ‎（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；‎ ‎（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生. ‎ 如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，‎ 该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是 A.88% B. 90% C. 92% D.94%‎ ‎10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线的图象绕原点沿逆时针方向旋转就得到函数的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度后，能得到某一个函数的图象，则旋转角可以是 A．　　　 B．　　　 C．　　　 D． ‎ ‎ 准考证号 姓名 ‎ ‎（在此卷上答题无效）‎ 保密★启用前 ‎2012年泉州市普通高中毕业班质量检查 理 科 数 学 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 注意事项：‎ 用‎0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎11. 已知等差数列中, ,,则 .‎ ‎12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 .‎ ‎13. 在中，，则周长的最大值为 . ‎ ‎14. 已知，设，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为 . ‎ ‎15. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！‎ 二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；‎ 三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个；‎ 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个；‎ 由此推测：10位的回文数总共有　　　个.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.‎ ‎（Ⅰ）试判断点的轨迹的形状，并写出其方程.‎ ‎（Ⅱ）是否存在过的直线，使得直线被截得的弦恰好被点所平分？ ‎ ‎17.（本小题满分13分）‎ 将边长为1的正三角形按如图所示的方式放置，其中顶点与坐标原点重合.记边所在直线的倾斜角为，已知.‎ ‎（Ⅰ）试用表示的坐标（要求将结果化简为形如的形式）； ‎ ‎（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点、，称为、两点间的“taxi距离” ，并用符号表示.试求的最大值.‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ 已知等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为.‎ ‎（Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；‎ ‎（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为元，该同学决定按顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用的分布列及数学期望.‎ ‎19. （本小题满分13分）‎ 如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，，，，是侧棱上的动点.‎ ‎　　　　‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：；‎ ‎（Ⅱ）试求三棱锥的体积取得最大值时的值；‎ ‎（Ⅲ）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知，，，…，（）.‎ ‎(Ⅰ)请写出的表达式（不需证明）；‎ ‎(Ⅱ)设的极小值点为，求；‎ ‎(Ⅲ)设， 的最大值为，的最小值为，试求的最小值.‎ ‎21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作 ‎（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换 若二阶矩阵满足.‎ ‎（Ⅰ）求二阶矩阵；‎ ‎（Ⅱ）把矩阵所对应的变换作用在曲线上，求所得曲线的方程.‎ ‎（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为非零常数，为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，直线的方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，使得直线与曲线C有两个不同的公共点、，且（其中为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.‎ ‎（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 已知函数的最小值为，实数满足.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ ‎2012届泉州市普通中学高中毕业班质量检查 理科数学试题参考解答及评分标准 ‎ 说明：‎ ‎ 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．‎ ‎ 二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．‎ ‎ 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．‎ ‎ 1． A 2．B 3．C 4．A 5．C ‎ ‎6． D 7．C 8．D 9．B 10．C ‎ ‎ 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.‎ ‎11． 12． 13. 14． 15．90000 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）因点到点的距离等于它到直线的距离，所以点的轨迹是以为焦点、直线为准线的抛物线， ………………2分 其方程为. ………………5分 ‎（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，‎ 依题意，得. ………………6分 ‎①当直线的斜率不存在时，不合题意. ………………7分 ‎②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，………8分 联立方程组，‎ 消去，得，（*） ………………9分 ‎∴，解得. ………………10分 此时，方程（*）为，其判别式大于零， ………………11分 ‎∴存在满足题设的直线　　　　　　　　　　 ………………12分 且直线的方程为：即. 　　 ………………13分 解法二：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，‎ 依题意，得. ………………6分 易判断直线不可能垂直轴， ………………7分 ‎∴设直线的方程为，………8分 联立方程组，‎ 消去，得， ………………9分 ‎∵, ‎ ‎ ∴直线与轨迹必相交. ………………10分 又，∴. ………………11分 ‎∴存在满足题设的直线　　　　　 ………………12分 且直线的方程为：即. ………………13分 解法三：假设存在满足题设的直线.设直线与轨迹交于，‎ 依题意，得. ………………6分 ‎∵在轨迹上，‎ ‎∴有，将，得. ………8分 当时，弦的中点不是，不合题意， ………9分 ‎∴，即直线的斜率, ………10分 注意到点在曲线的张口内（或：经检验，直线与轨迹相交）…11分 ‎∴存在满足题设的直线　 ………………12分 且直线的方程为：即. ………………13分 ‎17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）解法一：因为，， ……2分 所以 ………3分 ‎. ………7分 解法二：平移到（移到，移到），………2分 由的坐标与的坐标相等，都等于点的坐标. ………3分 由平几知识易得直线的倾斜角为，‎ ‎∵，∴根据三角函数的定义可得，‎ 所以. ………7分 ‎（Ⅱ）解法一：，………8分 ‎∵，∴， ………9分 ‎∴ ………11分 ‎， ………12分 所以当时，取得最大值. ………13分 解法二：，………8分 ‎∵，∴，即，‎ ‎∴. ………9分 ‎∵，∴， ‎ ‎∴, ………10分 ‎+ Ks5u ‎ , ………12分 所以当时，取得最大值. ………13分 ‎18. 本题主要考查概率与统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分13分．‎ 解：（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为. ………4分 ‎（Ⅱ）设该同学共参加了次考试的概率为（）.‎ ‎∵， ‎ ‎∴所以该同学参加考试所需费用的分布列如下：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎ ………7分 所以， ………8分 令, …（1）‎ 则, …（2）‎ 由（1）-（2）得，‎ 所以， ………11分 所以 ‎(元). ………13分Ks5u ‎19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.‎ 解：（Ⅰ）证法一：∵面，∴，.‎ 又∵，∴四边形是正方形，‎ ‎∴. ………1分 ‎∵，‎ ‎∴. ………2分 又∵, ∴. ………3分 ‎∵,‎ ‎∴. ………4分 证法二：∵面，∴，.‎ 又∵，‎ ‎∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ……1分 则，‎ ‎，Ks5u ‎∴， …2分 ‎　∴. …3分 又∵‎ ‎∴. …4分 证法三：∵面，∴，.‎ 又∵，‎ ‎∴分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. ……1分 则,‎ ‎.‎ ‎　设平面的法向量，‎ 则，解得.‎ ‎　令，则， ……3分 ‎∵, ∴. ……4分 ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴点到平面的距离等于点到平面的距离 ‎∴, …5分 ‎　　　　，‎ ‎　　　令，得（舍去）或，‎ 列表，得 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ 递增 极大值 递减 ‎∴当时，. …8分 ‎（Ⅲ）分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.‎ 则,‎ ‎，Ks5u ‎，. ……9分Ks5u ‎　设平面的法向量，‎ 则，解得,‎ ‎　令，则. …10分 ‎　设平面的法向量，‎ 则.‎ 由于，所以解得.‎ ‎　令，则. …11分 ‎　设二面角的平面角为，‎ 则有.‎ ‎　化简得,解得（舍去）或.‎ ‎　 所以当时，二面角的平面角的余弦值为. …13分 ‎20. 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分14分．‎ 解：(Ⅰ) （）. ……4分 ‎(Ⅱ)∵，‎ ‎∴当时，；当时，.‎ ‎∴当时，取得极小值，‎ 即（）. ……8分Ks5u ‎(Ⅲ) 解法一：∵，所以.……9分 又，‎ ‎∴，‎ 令，则. ……10分 ‎∵在单调递增，∴，‎ ‎∵，，‎ ‎∴存在使得. ……12分 ‎∵在单调递增，‎ ‎∴当时，；当时，，‎ 即在单调递增，在单调递减，‎ ‎∴， ‎ 又∵，，，‎ ‎∴当时，取得最小值. ……14分 解法二： ∵，所以.……9分 又，‎ ‎∴，‎ 令， ‎ 则，……10分 当时，‎ ‎，又因为，所以，，，所以，所以.……12分Ks5u 又，， ‎ ‎∴当时，取得最小值. ……14分 ‎21.（1）选修4—2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.‎ 解：（Ⅰ）记矩阵，故，故. ……2分 由已知得. ……3分 ‎（Ⅱ）设二阶矩阵所对应的变换为，得，‎ 解得， ……5分 又，故有，化简得.故所得曲线的方程为. ……7分 ‎（2）选修4—4:坐标系与参数方程 本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.‎ 解：（Ⅰ）∵，∴可将曲线C的方程化为普通方程：. ……1分 ‎①当时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； ……2分 ‎②当时，曲线C为中心在原点的椭圆. ……3分 ‎（Ⅱ）直线的普通方程为：. ……4分 联立直线与曲线的方程，消得，化简得.‎ 若直线与曲线C有两个不同的公共点，则，解得.‎ ‎……5分 又 ……6分 故 ‎.‎ 解得与相矛盾. ‎ 故不存在满足题意的实数. ……7分 ‎（3）选修4—5；不等式选讲 本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.‎ 解：（Ⅰ）法一： ，……2分 可得函数的最小值为2.故. ……3分Ks5u 法二：， ……2分 当且仅当时，等号成立，故. ……3分 ‎（Ⅱ）‎ ‎ ……5分 ‎ 即：,‎ ‎ 故. ……7分