数学卷·2018届江苏省苏州五中高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届江苏省苏州五中高二上学期10月月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年江苏省苏州五中高二（上）10月月考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AA1平行的棱有　　条．‎ ‎2．已知a，b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系是　　．‎ ‎3．已知命题： ⇒a∥b，在“横线”处补上一个条件使其构成真命题（其中a、b为直线，α，β为平面），这个条件是　　．‎ ‎4．下列四个结论：‎ ‎（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；‎ ‎（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；‎ ‎（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；‎ ‎（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．‎ 其中错误的结论序号是　　．‎ ‎5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣B1D1﹣A1的正切值为　　．‎ ‎6．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是　　．‎ ‎7．已知等腰直角△ABC的斜边AB长为2，以它的一条直角边AC所在直线为轴旋转一周形成一个几何体，则此几何体的侧面积为　　．‎ ‎8．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：‎ ‎①若α⊥β，m⊥α，则m∥β； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；‎ ‎③若m∥α，m⊥n，则n⊥α； ④若m∥α，m⊂β，则α∥β．‎ 其中所有真命题的序号是　　．‎ ‎9．棱长为1的正方体的8个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为　　．‎ ‎10．如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA⊥圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是　　．‎ ‎11．已知球半径与一圆锥及一圆柱底半径相等，球直径与它们的高相等，圆锥、球、圆柱体积之比为　　．‎ ‎12．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体（如图②使G1G2、G2G3三点重合于一点G），则下列结论中成立的有　　（填序号）．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF ‎13．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH的面积不改变；③当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是　　．（写出所以正确说法的序号）‎ ‎14．如图直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，合计90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎15．在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：‎ ‎（1）直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）BD⊥面EFC．‎ ‎16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．‎ 求证：‎ ‎（1）A1C⊥BD；‎ ‎（2）平面AB1D1∥平面BC1D．‎ ‎17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．‎ ‎（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；‎ ‎（2）求证：BE∥平面PAD．‎ ‎18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=，O为底面中心．‎ ‎（1）求证：A1O⊥平面BC1D；‎ ‎（2）求三棱锥A1﹣BC1D的体积．‎ ‎19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知PA=AB，∠ABC为直角，PA⊥BC．点D，E分别为PB，BC的中点．‎ ‎（1）求证：AD⊥平面PBC；‎ ‎（2）若F在线段AC上，当为何值时，AD∥平面PEF？请说明理由．‎ ‎20．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．‎ ‎（1）求证：AE⊥BD；‎ ‎（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；‎ ‎（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省苏州五中高二（上）10月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AA1平行的棱有　3　条．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】利用正方体的结构特征求解．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AA1平行的棱有：‎ BB1，CC1，DD1，共3条．‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎2．已知a，b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系是　相交或异面　．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c∥a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．‎ ‎【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c∥a ‎∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：‎ 若c∥b则由c∥a可得到a∥b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．‎ 故答案为：相交或异面．‎ ‎　‎ ‎3．已知命题： ⇒a∥b，在“横线”处补上一个条件使其构成真命题（其中a、b为直线，α，β为平面），这个条件是　a∥β　．‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】由题意设α∩β=b，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解 ‎【解答】解：∵α∩β=b，a∥α，设a∥β，‎ 过直线a作与α、β都相交的平面γ，‎ 记α∩γ=d，β∩γ=c，‎ 则a∥d且a∥c，‎ ‎∴d∥c．‎ 又d⊂α，α∩β=l，‎ ‎∴d∥l．∴a∥d．‎ ‎∴⇒a∥b 故答案为：a∥β．‎ ‎　‎ ‎4．下列四个结论：‎ ‎（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；‎ ‎（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；‎ ‎（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；‎ ‎（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．‎ 其中错误的结论序号是　（1）（2）（3）（4）　．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】在（1）中，平行于同一个平面的两条直线平行、相交或异面；在（2）没有公共点的两条直线平行或异面；在（3）中，垂直于同一直线的两条直线平行、相交或异面；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，如果这无数条直线都是平行线，则这条直线和这个平面有可能相交．‎ ‎【解答】解：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行、相交或异面，故（1）错误；‎ ‎（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故（2）错误；‎ ‎（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行、相交或异面，故（3）错误；‎ ‎（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，如果这无数条直线都是平行线，‎ 则这条直线和这个平面有可能相交，故（4）错误．‎ 故答案为：（1）（2）（3）（4）‎ ‎　‎ ‎5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣B1D1﹣A1的正切值为　　．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣B1D1﹣A1的正切值．‎ ‎【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，‎ 则A（1，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），‎ ‎=（0，1，1），=（﹣1，0，1），‎ 设平面AB1D1的法向量=（x，y，z），‎ 则，取x=1，得=（1，﹣1，1），‎ 平面A1B1D1的法向量=（0，0，1），‎ 设二面角A﹣B1D1﹣A1的平面角为θ，‎ 则cosθ===，sinθ=，‎ ‎∴tanθ==，‎ ‎∴二面角A﹣B1D1﹣A1的正切值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎6．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是　相交、平行或l⊂α　．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据两点在平面α同侧，两点在平面α异侧，两点都在平面上，分别进行讨论，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：直线l上有两点到平面α的距离相等，‎ 如果两点在平面α同侧，则l∥α，‎ 如果两点在平面α异侧，则l与α相交，‎ 如果两点都在平面上，则l⊂α．‎ 故答案为：相交、平行或l⊂α．‎ ‎　‎ ‎7．已知等腰直角△ABC的斜边AB长为2，以它的一条直角边AC所在直线为轴旋转一周形成一个几何体，则此几何体的侧面积为　2π　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】易得此几何体为圆锥，那么圆锥的侧面积=×底面周长×母线长，从而求得其侧面积．‎ ‎【解答】解：∵在等腰直角三角形ABC中，AB=2，BC=，AC=，‎ 以它的一条直角边AC所在直线为轴旋转一周形成一个几何体是圆锥，‎ ‎∴圆锥的底面半径为，底面周长=2π，‎ ‎∴侧面积=×2π×2=2π．‎ 故答案为：2π．‎ ‎　‎ ‎8．已知m，n是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面．下列命题：‎ ‎①若α⊥β，m⊥α，则m∥β； ②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；‎ ‎③若m∥α，m⊥n，则n⊥α； ④若m∥α，m⊂β，则α∥β．‎ 其中所有真命题的序号是　②　．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由面面垂直和线面垂直的性质即可判断①；由垂直于同一直线的两平面平行，可判断②；由线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断③；由线面平行的性质和面面平行的判定，即可判断④．‎ ‎【解答】解：①若α⊥β，m⊥α，则m∥β或m⊂β，故①错；‎ ‎②若m⊥α，m⊥β，由面面平行的判定定理得α∥β，故②正确；‎ ‎③若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故③错；‎ ‎④若m∥α，m⊂β，则α∥β或α，β相交，故④错．‎ 故答案为：②．‎ ‎　‎ ‎9．棱长为1的正方体的8个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为　3π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，知道棱长为1的正方体的对角线是，做出半径，利用圆的表面积公式得到结果．‎ ‎【解答】解：∵棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，‎ ‎∴球的直径是正方体的对角线，‎ ‎∴球的半径是r=，‎ ‎∴球的表面积是4×π×=3π 故答案为：3π．‎ ‎　‎ ‎10．如图，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，SA⊥圆O所在的平面，连接SB、SC、AB、BC，则图中直角三角形的个数是　4　．‎ ‎【考点】棱锥的结构特征．‎ ‎【分析】先寻找出图形中的垂直关系再由垂直关系确定出直角三角形的个数．‎ ‎【解答】解：题题意SA⊥圆O所在的平面，AC为圆O的直径，B为圆周上不与A、C重合的点，可得出AB，BC垂直 由此两个关系可以证明出CB垂直于面SAB，由此可得△ADB，△SAC，△ABC，△SBC都是直角三角形 故图中直角三角形的个数是4个 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎11．已知球半径与一圆锥及一圆柱底半径相等，球直径与它们的高相等，圆锥、球、圆柱体积之比为　1：2：3　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】设球半径为r，分另别求出圆锥、球、圆柱的体积，由此能求出圆锥、球、圆柱体积之比．‎ ‎【解答】解：设球半径为r，‎ 则圆锥体积V1=SH=，‎ 球体积V2=，‎ 圆柱体积V3=SH=πr2•2r=2πr3，‎ ‎∴圆锥、球、圆柱体积之比为：1：2：3．‎ 故答案为：1：2：3．‎ ‎　‎ ‎12．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体（如图②使G1G2、G2G3三点重合于一点G），则下列结论中成立的有　①　（填序号）．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF ‎【考点】直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】根据题意，在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，由线面垂直的判定定理，易得SG⊥平面EFG．‎ ‎【解答】解：∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG，即①正确；‎ 设正方形的棱长为2a，则DG=a，SD=a，∵SG2≠DG2+SD2，∴SD与DG不垂直，∴②④不正确；‎ ‎∵SG⊥GF，∴GF与SF不垂直，∴③不正确；‎ 故答案为：①．‎ ‎　‎ ‎13．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；②水面形成的四边形EFGH的面积不改变；③当E∈‎ AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是　①③　．（写出所以正确说法的序号）‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】由已知中长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内装进一些水，将容器底面一边BC固定于底面上，再将容器倾斜．结合棱柱的结构特征我们可以判断①②③的真假，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由于底面一边BC固定于底面上，故倾斜过程中，与BC边垂直的两个面始终平行，且其它面均为平行四边形，满足棱柱的结构特征，故①正确；‎ 水面形成的四边形EFGH的面积会发生改变，故②错误；‎ E∈AA1时，AE+BF=AA1，故③正确；‎ 故答案为：①③‎ ‎　‎ ‎14．如图直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，DC上有一动点P，则△APC1周长的最小值是　5+　．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】不妨令CP=a，则DP=4﹣a，分别在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C1PC求出C1P，在直角三角形C1CA求出C1A，然后相交求周长．将周长表示为参数a的函数，由于a∈[0，4]，在这个区间上求出周长的最小值即可．‎ ‎【解答】解：DC上有一动点P，令CP=a，则DP=4﹣a，‎ 由于直三棱柱ABB1﹣DCC1中，∠ABB1=90°，AB=4，BC=2，CC1=1，‎ ‎∴周长S=AP+C1P+C1A=++‎ ‎=++‎ ‎=++‎ ‎=++‎ 其中是+可以看作平面直角坐标系中（a，0）与两点（4，﹣2）以及（0，1）两点距离和的最小值，由图形中点（a，0）恰好是过两点（4，﹣2）与（0，1）的直线与x轴的交点时，上式的值最小．‎ 由两点式知过两点（4，﹣2）与（0，1）的直线的方程是3x+4y﹣4=0，其与x轴的交点是（，0），‎ 即当a=时， +的最小值为两点（4，﹣2）与（0，1）的距离，其值为=5，故周长为5+‎ 故答案为5+‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，合计90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎15．在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证：‎ ‎（1）直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）BD⊥面EFC．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）根据已知中E，F分别为AB，BD的中点，由三角形中位线定理可得EF∥AD，再由线面平行的判定定理，即可得到直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）由AD⊥BD结合（1）的结论可得EF⊥BD，再由CB=CD，结合等腰三角形“三线合一”的性质，得到CF⊥BD，结合线面垂直的判定定理即可得到BD⊥面EFC．‎ ‎【解答】证明：（1）E，F分别为AB，BD的中点⇒EF∥AD ‎．‎ ‎（2）‎ ‎　‎ ‎16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．‎ 求证：‎ ‎（1）A1C⊥BD；‎ ‎（2）平面AB1D1∥平面BC1D．‎ ‎【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）要证A1C⊥BD，只需证DB⊥面A1ACC1即可，‎ ‎（2）利用线面平行的判定证明．‎ ‎【解答】（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则有DB⊥AC，DB⊥AA1，‎ 且AA1∩AC=A，∴DB⊥面AA1C1C，‎ ‎∵A1C⊂面AA1C1C，‎ ‎∴A1C⊥BD；‎ ‎（2）∵∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴AD1∥BC1，‎ 又∵DB∥B1D1，AD1⊂面AD1B1，B1D1⊂面AD1B1，‎ BD⊂面DBC1，BC1⊂面DBC1，且AD1 ∩D1B1=D1．‎ ‎∴平面AB1D1∥平面BC1D．‎ ‎　‎ ‎17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E为PC中点．‎ ‎（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；‎ ‎（2）求证：BE∥平面PAD．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：PA⊥CD，结合CD⊥AD与线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD，再利用面面垂直的判定定理得到面面垂直．‎ ‎（2）取PD的中点为F，连接EF，AF，即可得到EF∥CD，CD=2EF，由题中条件可得EF=AB，并且EF∥AB，进而得到四边形ABEF为平行四边形，得到BE∥AF，再利用线面平行的判定定理得到线面平行．‎ ‎【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥CD，‎ 又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，‎ 所以CD⊥平面PAD，‎ 因为CD⊂平面PCD，‎ 所以平面PDC⊥平面PAD．‎ ‎（2）取PD的中点为F，连接EF，AF，‎ 因为E为PC的中点，‎ 所以EF为△PCD的中位线，‎ 所以EF∥CD，CD=2EF，‎ 又因为CD=2AB，AB∥CD，‎ 所以EF=AB，并且EF∥AB，‎ 所以四边形ABEF为平行四边形，‎ 所以BE∥AF，‎ 因为AF⊂平面PAD，‎ 所以BE∥平面PAD．‎ ‎　‎ ‎18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=，O为底面中心．‎ ‎（1）求证：A1O⊥平面BC1D；‎ ‎（2）求三棱锥A1﹣BC1D的体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1O⊥平面BC1D．‎ ‎（2）先求出==2， =2，由此能求出三棱锥A1﹣BC1D的体积．‎ ‎【解答】证明：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵AB=AD=2，AA1=，O为底面中心，‎ ‎∴A1（0，0，），O（1，1，0），B（2，0，0），D（0，2，0），C1（2，2，），‎ ‎=（1，1，﹣），=（0，2，），=（﹣2，2，0），‎ ‎•=0+2﹣2=0， =﹣2+2=0，‎ ‎∴A1O⊥BC1，A1O⊥BD，‎ 又BC1∩BD=B，∴A1O⊥平面BC1D．‎ 解：（2）cos＜，＞===，sin＜＞==，‎ ‎∴===2，‎ ‎=，‎ ‎∴三棱锥A1﹣BC1D的体积===．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知PA=AB，∠ABC为直角，PA⊥BC．点D，E分别为PB，BC的中点．‎ ‎（1）求证：AD⊥平面PBC；‎ ‎（2）若F在线段AC上，当为何值时，AD∥平面PEF？请说明理由．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明：BC⊥AD，AD⊥PB，即可证明AD⊥平面PBC；‎ ‎（2）当AM∥EF，即=时，可得平面ADM∥平面PEF，即可得出结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠ABC为直角，PA⊥BC，‎ ‎∴BC⊥平面PAB，‎ ‎∵AD⊂平面PAB，‎ ‎∴BC⊥AD，‎ ‎∵PA=AB，D是PB的中点，‎ ‎∴AD⊥PB，‎ ‎∵PB∩BC=B，‎ ‎∴AD⊥平面PBC；‎ ‎（2）解：取BE的中点M，则PE∥DM，‎ 当AM∥EF，即=时，可得平面ADM∥平面PEF，∴AD∥平面PEF，‎ 故=时，AD∥平面PEF．‎ ‎　‎ ‎20．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点．将△ABE沿AE折起后如图2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，设F是CD的中点，P是棱BC的中点．‎ ‎（1）求证：AE⊥BD；‎ ‎（2）求证：平面PEF⊥平面AECD；‎ ‎（3）判断DE能否垂直于平面ABC，并说明理由．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明AE⊥BD，只需证明AE⊥平面BDM，利用△ABE与△ADE是等边三角形，即可证明；‎ ‎（2）证明平面PEF⊥平面AECD，只需证明PN⊥平面AECD，只需证明BM⊥平面AECD即可；‎ ‎（3）DE与平面ABC不垂直．假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，从而可证明DE⊥平面ABE，可得DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾．‎ ‎【解答】（1）证明：设AE中点为M，连接BM，‎ ‎∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．‎ ‎∴BM⊥AE，DM⊥AE．‎ ‎∵BM∩DM=M，BM、DM⊂平面BDM，‎ ‎∴AE⊥平面BDM．‎ ‎∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD．‎ ‎（2）证明：连接CM交EF于点N，∵ME∥FC，ME=FC，∴四边形MECF是平行四边形，∴N是线段CM的中点．‎ ‎∵P是BC的中点，∴PN∥BM．‎ ‎∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．‎ 又∵PN⊂平面PEF，‎ ‎∴平面PEF⊥平面AECD．‎ ‎（3）解：DE与平面ABC不垂直．‎ 证明：假设DE⊥平面ABC，则DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．‎ ‎∵AB∩BM=B，AB、BM⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE．‎ ‎∵AE⊂平面ABE，∴DE⊥AE，这与∠AED=60°矛盾．‎ ‎∴DE与平面ABC不垂直．‎ ‎　‎ ‎2017年4月18日