数学理卷·2017届江西省抚州市七校高三上学期联考（2016

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数学试卷（理科） 第 I 卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.) 1.若集合    2| 6 , | 11 18 0M x N x N x x x       ，则 M N 等于（ ）． A． 3,4,5 B． | 2 6x x  C． | 3 5x x  D． 2,3,4,5 2. , ,A B C 三个学生参加了一次考试， ,A B 的得分均为 70 分，C 的得分为 65 分．已知命 题 :p 若及格分低于 70 分，则 , ,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为 p 的逆否命题的 是（ ）． A．若及格分不低于 70 分，则 , ,A B C 都及格 B．若 , ,A B C 都及格，则及格分不低于 70 分 C．若 , ,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于 70 分 D．若 , ,A B C 至少有一人及格，则及格分高于 70 分 3.设     1 2 , x x f x g x tdt x R     ，若函数  f x 为奇函数，则  g x 的解析式可以为 （ ）. A． 3x B．1 x C． cos x D． xxe 4.在 ABC 中， , ,A B C 的对边分别是 , ,a b c ，若 2cos cos , 2b A a B c a b    ，则 ABC 的周长为（ ）. A．7.5 B．7 C．6 D．5 5.在正项等差数列 na 中， 2 1 5 92a a a  ，且 5 6 7 18a a a   ，则（ ）. A． 1 2 3, ,a a a 成等比数列 B． 4 6 9, ,a a a 成等比数列 C． 3 4 8, ,a a a 成等比数列 D． 2 3 6, ,a a a 成等比数列 6.若 1sin 6 3x      ，则 tan 2 3x     等于（ ）． A． 7 9 B． 7 9  C． 4 2 7 D． 4 2 7  7. 在 Rt AOB 中， 0, 5, 2 5,OA OB OA OB AB       边上的高线为 OD ，点 E 位于 线段 OD 上，若 3 4OE EA    ，则向量 EA 在向量 OD 上的投影为（ ）． A． 3 2 B．1 C．1 或 1 2 D． 1 2 或 3 2 8.已知函数  f x 与  f x 的图像如下图所示，则函数     x f xg x e  的递减区间为（ ）． A． 0,4 B．  4,1 , ,43      C． 40, 3      D．   0,1 , 4, 9.将函数   2sin 2 6f x x      的图像向左平移 12  个单位，再向上平移 1 个单位，得到  g x 的图像．若    1 2 9g x g x  ，且  1 2, 2 ,2x x    ，则 1 22x x 的最大值为（ ）． A． 49 12  B． 35 6  C． 25 6  D． 17 4  10.若数列 na 满足       1 12 3 2 5 2 3 2 5 lg 1n nn a n a n n n           ，且 1 5a  ， 则数列 2 3 na n     的第 100 项为（ ）． A．2 B．3 C．1 lg99 D． 2 lg99 11. 已知函数     22 5, 4xf x g x x x    ，给出下列 3 个命题： 1 :p 若 x R ，则    f x f x 的最大值为 16． 2 :p 不等式    f x g x 的解集为集合 | 1 3x x   的真子集． 3 :p 当 0a  时，若      1 2 1 2, , 2 ,x x a a f x g x    恒成立，则 3a  ． 那么，这 3 个命题中所有的真命题是（ ）． A． 1 2 3p p p、 、 B． 2 3p p、 C． 1 2p p、 D． 1p 12.已知函数   2 , 0 1 , 0 x x a x f x xx        ，的图像上存在不同的两点 ,A B ，使得曲线  y f x 在这两点处的切线重合，则实数 a 的取值范围是（ ）． A． 1, 4     B． 2, C． 12, 4     D．  1,2 ,4      第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡中的横线上） 13. 0 0 0 0sin 63 cos18 cos63 cos108  _____________． 14.设函数     6 2 1 log , 4 , 4 x x f x f x x     ，则    3 4f f  _____________． 15. 在 ABC 中， D 为线段 BC 上一点（不能与端点重合）， , 7, 3, 13ACB AB AC BD     ，则 AD  _____________． 16. 在数列 na 及 nb 中， 2 2 2 2 1 1 1 1, , 1, 1n n n n n n n n n na a b a b b a b a b a b           ．设 1 12n n n n c a b       ，则 数列 nc 的前 n 项和为_____________． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分） 已知 0m  ，向量  ,3a m m ，向量  1,6b m  ，集合    2| 2 0A x x m x m     . （1）判断“ / /a b ”是“ 10a  ”的什么条件； （2）设命题 :p 若 a b ，则 19m   .命题 :q 若集合 A 的子集个数为 2，则 1m  .判断 p q ， p q ， q 的真假，并说明理由. 18.（本小题满分 12 分） 已知 ABC 的面积为 3 2 AB AC   ，且 2, 3AC AB  . （1）求 sin sin A B ； （2）若点 D 为 AB 边上一点，且 ACD 与 ABC 的面积之比为 1:3. ①求证： AB CD ； ②求 ACD 内切圆的半径 r . 19.（本小题满分 12 分） 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害， 为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200 万元，搭建了甲、乙两个无公害 蔬菜大棚，每个大棚至少要投入 20 万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往 的种菜经验，发现种西红柿的年收入 P、种黄瓜的年收入Q 与投入 a （单位：万元）满足 180 4 2 , 1204P a Q a    .设甲大棚的投入为 x （单位：万元），每年两个大棚的总收 益为  f x （单位：万元） （1）求  50f 的值； （2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益  f x 最大？ 20.（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和 2 1n nS n a   ，且 1 4,a a 是等比数列 nb 的前两项，记 nb 与 1nb  之间包含的数列 na 的项数为 nc ，如 1b 与 2b 之间包含 na 中的项为 2 3,a a ，则 1 2c  . （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）求数列 n na c 的前 n 项和. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数     xf x x a e  ，其中 a R . （1）若曲线  y f x 在点  0,A a 处的切线l 与直线 2 2y a x  平行，求l 的方程； （2）若  1,2a  ，函数  f x 在 ,2ab e 上为增函数，求证： 2 3 2ae b e    . 22.（本小题满分 12 分） 记  max ,m n 表示 ,m n 中的最大值，如  max 3, 10 10 .已知函数      2 2 2 21max 1,2lnx , max ln , 2 42f x x g x x x x a x a a               . （1）设      213 12h x f x x x       ，求函数  h x 在 0,1 上零点的个数； （2）试探讨是否存在实数  2,a   ，使得   3 42g x x a  对  2,x a   恒成立？ 若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由. 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C B D B D D D A B A C 二、填空题 13. 2 2 14. 4 15. 7 16. 22 4n  三、解答题 （2）若 a b ，则  1 18 0m m m   ，∴ 19m   （ 0m  舍去），∴ p 为真命题，．．．．．5 分 由  2 2 0x m x m    得 2x m ，或 2x m  ，若集合 A 的子集个数为 2，则集合 A 中只有 1 个元素，则 2 2m m  ，∴ 1m  或-2，故 q 为假命 题，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 分 ∴ p q 为真命题， p q 为假命题， q 为真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 18.解：（1）∵ ABC 的面积为 1 3sin cos2 2bc A bc A ，∴ tan 3A  ，∴ 3A  ．．．．．3 分 由余弦定理得 2 2 2 2 cos 4 9 6 7a b c bc A       ，∴ 7a  ，．．．．．．．．．．．．．5 分 ∴由余弦定理得 sin 7 sin 2 A a B b   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （2）①∵ ACD 与 ABC 的面积之比为 : 1:3AD AB  ，∴ 1AD  ，．．．．．．．．．．．．．．．8 分 由余弦定理得 3CD  ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9 分 ∴ 2 2 2AD CD AC  ，∴ AD CD 即 AB CD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 ②（法一）在 Rt ADC 中， 3 1 2 2 AD CD ACr     ．．．．．．．．．．．．．．．12 分 （法二）设 ACD 的周长为C ，由 1 1 1 32 2C r    得 3 1 2r  ．．．．．．．．．．．．12 分 19.解：（1）因为甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 分 所以   150 80 4 2 50 150 120 277.54f        ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 （2）    1 180 4 2 200 120 4 2 2504 4f x x x x x         ， 依题意得 20 20 180200 20 x xx       ，故    1 4 2 250 20 1804f x x x x      ．．．．．．8 分 令 2 5,6 5t x      ， 则    221 14 2 250 8 2 2824 4f x t t t        ， 当 8 2t  ，即 128x  时，  max 282f x  ， 所以投入甲大棚 128 万元，乙大棚 72 万元时，总收益最大，且最大收益为 282 万 元．．．．．．．．．．．12 分 20.解：（1）由题意知，    22 1 11, 1 1 2n n n nS n a S n a n         ，两式作差得 12 1n n na n a a     ，即  1 2 1 2na n n    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分 所以 2 1na n  ，则 1 43, 9a a  ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 分 所以 2 1 2 1 3, 9, 3bb b q b     ，所以 1 1 3n n nb b q    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （2） 1 13 , 3n n n nb b    ，因为数列 na 是由连续的奇数组成的数列，而 nb 和 1nb  都是奇数， 所以 nb 与 1nb  之间包含的奇数个数为 13 3 1 3 12 n n n      ，所以 3 1n nc   ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分       2 1 3 1 2 1 3 2 1n n n na c n n n       ．设   2 1 3nn  的前 n 项和为 nT ，  1 23 3 5 3 2 1 3n nT n       ，①  2 3 13 3 3 5 3 2 1 3 n nT n        ，② ①---②，得   1 1 19 32 9 2 2 1 3 2 31 3 n n n nT n n           ，则 13n nT n   ，．．．．．．．．．11 分 所以数列 n na c 的前 n 项和为 1 23 2n n nT S n n n    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 21.解：（1）∵  0 1 2 2f a a     ，∴ 3a  或 1 3 ．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分 当 3a  时，      3 , 0 3xf x x e f   ，∴l 的方程为： 4 3y x  ．．．．．．．．．．．．4 分 当 1 3a  时，    1 1, 03 3 xf x x e f      ，∴l 的方程为： 4 1 3 3y x  ．．．．．．．．．．．．．．．6 分 （2）由题可得    1 0xf x x a e     对  ,2ax b e  恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．7 分 ∵ 0xe  ，∴ 1 0x a   ，即 1x a   对  ,2ax b e  恒成立， ∴ 1 aa b e    ，即 1ab e a   对  1,2a 恒成立， 设    1, 1,2ag a e a a    ， 则   1 0ag a e    ，∴  g a 在 1,2 上递增，∴     2 max 2 3g a g e   ，∴ 2 3b e  ． 又 2ab e  ，∴ 2 3 2ae b e    ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分 22.解：（1）设       2 2 1 121 2ln , 2 x xF x x x F x x x x        ，．．．．．．．．．．．．．1 分 令   0F x  ，得  1,x F x 递增；令   0F x  ，得  0 1,x F x  递 减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2 分 ∴    min 1 0F x F  ，∴   0F x  ，即 2 1 2lnx x  ，∴   2 1f x x  ．．．．．．．．．．．．．3 分 设    213 12G x x x      ，结合  f x 与  G x 在 0,1 上图象可知，这两个函数的图象 在 0,1 上有两个交点，即  h x 在 0,1 上零点的个数为 2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分 （或由方程    f x G x 在 0,1 上有两根可得） （2）假设存在实数  2,a   ，使得   3 42g x x a  对  2,x a   恒成立， 则 2 2 2 3ln 42 1 32 4 42 2 x x x a x a x a a x a                ，对  2,x a   恒成立， 即   2 1ln 42 2 0 x x a x x a        ，对  2,x a   恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 分 ①设    1 1 1 2ln ,2 2 2 xH x x x H x x x      ， 令   0H x  ，得  0 2,x H x  递增；令   0H x  ，得  2,x H x 递减， ∴    max 2 ln 2 1H x h   ， 当 0 2 2a   即 2 0a   时， 4 ln 2 1a   ，∴ ln 2 1 4a  ，∵ 0a  ，∴ 4 ln 2 1,04a     ． 故当 ln 2 1,04a     时， 1ln 42x x a  对  2,x a   恒成 立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分 当 2 2a   即 0a  时，  H x 在 2,a   上递减，∴       12 ln 2 12H x H a a a      ． ∵   1 1 1ln 2 1 02 2 2a a a           ，∴    2 0 ln 2 1 0H a H     ， 故当 0a  时， 1ln 42x x a  对  2,x a   恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 分 ②若   22 0x x a   对  2,x a   恒成立，则 22a a  ，∴  1,2a  ．．．．．．．．．．．11 分 由①及②得， ln 2 1,24a     ． 故存在实数  2,a   ，使得   3 42g x x a  对  2,x a   恒成立， 且 a 的取值范围为 ln 2 1,24      ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 分